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函数定义域--抽象函数定义域的求法


抽象函数的定义域 抽象函数的定义域
知识闯关 考点明示: 考点明示 1、 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域 2、 会求一些较为复杂的函数的定义域; 3、 理解并初步掌握求定义域的逆向思维 知识梳理 已知函数的解析式, 若未加特殊说明, 则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。 一般有以下几种情况:1、分式中的分母不为零;2、偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 3、指数式的底数大于零且不等于一;4、对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。5、 正切函数 y = tan x

π ? ? ? x ∈ R,且x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?
x( x ? 1) + x 的定义域为
B.{x|x≥1}? D.{x|0≤x≤1}? ( )?

1.(2008·全国Ⅰ理,1)函数 y= 全国Ⅰ 全国 ? A.{x|x≥0}? ? C.{x|x≥1}∪{0}? 答案 C ??

2.(2009·河南新郑二中模拟 河南新郑二中模拟)函数 y= 河南新郑二中模拟

log 2 ( x ? 1) 2? x

的定义域是





? A.

(1,2]

B.(1,2)?

C.(2,+∞)?

D.(-∞,2)

答案 B ? 3.(2008·湖北理 湖北理,4)函数 f(x)= 湖北理 ? A.(-∞,-4]∪[2,+∞)? C.[-4,0)∪(0,1]? 答案? 答案 D ??

1 2 2 ln( x ? 3 x + 2 + ? x ? 3 x + 4 )的定义域为 x
B.(-4,0)∪(0,1)? D.[-4,0)∪(0,1)?



)?

4、y=

( x + 1) 0 | x | ?x

解:由题意得 ?

?x + 1 ≠ 0 ? x ≠ ?1 ? x ≠ ?1 , 化简得 ? ,即? . 故函数的定义域为{x|x<0 且 x≠-1}.? ?| x | ? x > 0 ?| x |> x ? x < 0

难点突破或易错点明晰(此处结构为 难点突破或易错点明晰

考查角度(知识点) ,单独成行。 例题精析(例题+分析) 变式训练(附答案及解析,也就是做成教师用书格

式) 考查角度:

f ( x) 的定义域,求 f [ g ( x)] 的定义域 2、已知 f [ g ( x)] 的定义域,求 f ( x) 的定义域, 的定义域, 1、已知
的定义域 3、已知 的定义域, 的定义域,求 的定义域 4、求由有限个抽象函数经四则

应用题中的定义域除了要使解析式有意义外, 运算得到的函数的定义域 5、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外,还需考虑实际上 的有效范围。 的有效范围。 例题精析:

, 例 1 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ ?1 5] ,求 f (3 x ? 5) 的定义域.
分析: 分析:若 f ( x ) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ,则在 f [ g ( x) ] 中,a ≤ g ( x) ≤ b ,从中解得 x 的取值范围即为 f [ g ( x) ] 的定义域.本题该函数是由 u = 3 x ? 5 和 f (u ) 构成的复合函数, 其中 x 是自变量, u 是中间变量,由于 f ( x ) 与 f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知

?1 ≤ u ≤ 5 ,即 ?1 ≤ 3 x ? 5 ≤ 5 ,求 x 的取值范围.

, 解:Q f ( x ) 的定义域为 [ ?1 5] ,∴?1 ≤ 3 x ? 5 ≤ 5 ,∴ ≤ x ≤
故函数 f (3 x ? 5) 的定义域为 ? , ? . 3 3 变式训练: 若函数 y = f ( x ) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log 2 x) 的定义域为 2

4 3

10 . 3

? 4 10 ? ? ?

?1 ? ? ?



分析: 分析:由函数 y = f ( x ) 的定义域为 ? ,2? 可知: ≤ x ≤ 2 ;所以 y = f (log 2 x) 中有 2 2

?1 ? ? ?

1

1 ≤ log 2 x ≤ 2 。 2
解:依题意知:

1 ≤ log 2 x ≤ 2 2


解之,得: 2 ≤ x ≤ 4

f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 ≤ x ≤ 4

{

}

2 3 例 2 已知函数 f ( x ? 2 x + 2) 的定义域为 [ 0,] ,求函数 f ( x) 的定义域.

分析: 分析:若 f [ g ( x) ] 的定义域为 m ≤ x ≤ n ,则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为

f ( x) 的定义域.这种情况下, f ( x) 的定义域即为复合函数 f [ g ( x)] 的内函数的值域。
本题中令 u = x ? 2 x + 2 ,则 f ( x 2 ? 2 x + 2) = f (u ) ,
2

由于 f (u ) 与 f ( x) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域. 解:由 0 ≤ x ≤ 3 ,得 1 ≤ x ? 2 x + 2 ≤ 5 .
2

令 u = x ? 2 x + 2 ,则 f ( x ? 2 x + 2) = f (u ) , 1 ≤ u ≤ 5 .
2 2

故 f ( x ) 的定义域为 [1 5] . , 变式训练:

已知函数 ________。 解:由 所以 例 3. 函数 ,得

的定义域为

,则

的定义域为

,故填 定义域是 ,则 的定义域是( )

A.

B.

C. 的定义域,求

D. 的定义域,可先由 的定义域 定义域求得

分析:已知

的定义域,再由 解:先求 的定义域 的定义域是

的定义域求得





的定义域是

,再求

的定义域

的定义域是

,故应选 A

变式训练: x 已知函数 f(2 )的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域.? x 分析:先求 2 的值域为 M 则 log2x 的值域也是 M,再根据 log2x 的值域求定义域。

1 x ,即-1≤x≤1,∴ 2 ≤2 ≤2.? 解 ∵y=f(2 )的定义域是[-1,1]
x

1 ∴函数 y=f(log2x)中 2 ≤log2x≤2.即 log2 2 ≤log2x≤log24,∴ 2 ≤x≤4.?
故函数 f(log2x)的定义域为[ 2 ,4]

, 例 4 若 f ( x ) 的定义域为 [ ?3 5] ,求 ? ( x ) = f ( ? x) + f (2 x + 5) 的定义域.
分析: 分析:求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个 函数的定义域,然后再求交集.

, 解:由 f ( x ) 的定义域为 [ ?3 5] ,则 ? ( x ) 必有 ?
所以函数 ? ( x ) 的定义域为 [ ?4,] . 0 变式训练:

??3 ≤ ? x ≤ 5, 解得 ?4 ≤ x ≤ 0 . ??3 ≤ 2 x + 5 ≤ 5,

已知函数 域。

的定义域是

, 求

的定义

分析:分别求 f(x+a)与 f(x-a)的定义域,再取交集。 解: 由已知,有

,即 函数的定义域由 确定

函数

的定义域是

例 3、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下 部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三 2 角形. 要求框架围成的总面积 8cm . 问 x、 分别为多少(精 y 确到 0.001m) 时用料最省? 分析: 分析:应用题中的定义域除了要使解析式有意义外,还 需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围,即实际 问题要有意义,一般来说有以下几中常见情况: (1)面积问题中,要考虑部分的面积小于整体的面积; (2)销售问题中,要考虑日期只能是自然数,价格不能 小于 0 也不能大于题设中规定的值(有的题没有规定) ; (3)生产问题中,要考虑日期、月份、年份等只能是自

然数, 增长率要满足题设 ; (4)路程 问题中,要考虑 路程的范围。本题中总 面积为

S 三角形 + S 矩形 = xy +

1 2 1 x = 8 ,由于 xy > 0 ,于是 x 2 < 8 ,即 x < 4 2 。又 x > 0 ,∴ 4 4

x 的取值范围是 0 < x < 4 2 。
解:由题意得

xy+

1 2 x =8,∴y= 4

8?

x2 4 = 8 ? x (0<x<4 2 ). x x 4

于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

2 3 16 x )=( + 2 )x+ ≥4 6 + 4 2 . 2 2 x

当(

3 16 + 2 )x= ,即 x=8-4 2 时等号成立. 2 x

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省. 变式训练: 13.(2007·北京理 ·北京理,19)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r.计划将此钢板 切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上.记 CD=2x,梯形面积为 S. ? (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域;? (2)求面积 S 的最大值.? , 解(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O-xy(如图) 则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标 y 满足方程

x2 y2 + = 1 (y≥0),? r 2 4r 2
解得 y=2 r ? x
2 2 2

(0<x<r).S=
2

1 2 2 (2x+2r)·2 r ? x ? 2

=2(x+r)· r ? x ,其定义域为{x|0<x<r}.? (2)记 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,则 f′(x)=8(x+r) (r-2x).?
2 2 2 2

1 r r.因为当 0<x< 时,f′(x)>0;? 2 2 r 1 当 <x<r 时,f′(x)<0,所以 f( r)是 f(x)的最大值.? 2 2
令 f′(x)=0,得 x= 因此,当 x=

1 r 时,S 也取得最大值,最大值为 2 3 3 2 r . 2

1 3 3 2 f ( r) = r .? 2 2

即梯形面积 S 的最大值为

巩固训练(各专题题目数量尽量一致,各题均附答案及解析) 巩固训练

1. 设函数 (1)函数 (2)函数

的定义域为

,则

的定义域为________。 的定义域为__________。

分析:做法与例题 1 相同。 (1)由已知有 解: 故 的定义域为 ,解得 ,解得

(2)由已知,得
故 的定义域为

2、已知函数 ________。 分析:做法与例题 2 相同。 解:由
所以

的定义域为

,则

的定义域为

,得
,故填

3、已知函数 ________。 分析:做法与例题 3 相同。 解:由
所以

的定义域为

,则 y=f(3x-5)的定义域为

,得
,所以 0≤3x-5≤1,所以 5/3≤x≤2.

y=f(x)的定义域为 的定义域为[ ,q y=f( 4、设函数 y=f(x)的定义域为[0,1] q 求 y=f x + ) + f ( x ? ) 定义域。 ,

1 3

1 3

分析:做法与例题 4 相同。
解 :由条件,y 的定义域是 f ( x + ) 与 ( x ? ) 定义域的交集.?

1 3

1 3

2 1 ? ? 1 ?0 ≤ x + 3 ≤ 1 ?? 3 ≤ x ≤ 3 1 2 ? ? 列出不等式组 ? ?? ? ≤x≤ , 3 3 ?0 ≤ x ? 1 ≤ 1 ? 1 ≤ x ≤ 4 ? ?3 3 3 ? ?

故 y=f ( x + ) + f ( x ? ) 的定义域为 ? , ? . 3 3 3 3

1

1

?1 2 ? ? ?


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