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高中数学必修4人教A教案3.2简单的三角恒等变换


3. 2 简单的三角恒等变换
三维目标 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、 余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思 想,提高推理能力. 2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角 恒等变换在数学中的应用. 3.通过例题的解答, 引导对变换对象目标进行对比、 分析, 形成对解题过程中如何选择公式, 如何根据问题的条件进行公式变形, 以及变换过程中体现的换元、 逆向使用公式等数学思想 方法的认识,从而加深理解变换思想,提高推理能力. 重点难点 教学重点:1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从 整体上把握变换过程的能力. 教学过程

引言:
三角函数的化简、求值、证明,都离不开三角恒等变换.学习了和角公式,差角公式,倍角 公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰 富和灵活,同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平 台.

应用:
例1、 试以 cos ? 表示 sin2

a a a ,cos2 , tan2 . 2 2 2

例2、 练习:求证 tan

sin ? 1 ? cos? a = 。 ? sin ? 2 1 ? cos?

1

例 2、证明(1)sinαcosβ=

1 [sin(α+β)+sin(α-β)]; 2 ? ?? ? ?? (2)sinθ+sinφ=2sin . cos 2 2

练习:课后练习 2(2) 、3(2) 、题

2

例3、 求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值。

练习:求下列函数的最小正周期,递增区间及最大值。 (! y ? sin 2 x cos 2 x ) (2) y ? 2 cos
2

x ?1 2

(3) y ?

3 cos 4 x ? sin 4 x

阅读内容: 函数 y=asinx+bcosx 的变形与应用(辅助角公式) 函数 y=asinx+bcosx= a ? b (
2 2

a a ?b
2 2

sin x ? a

b a ? b2
2

cosx),

∵( (

a a2 ? b2

)2 ? (

b a2 ? b2
2 2

) 2 ? 1从而可令

a2 ? b2

? cos? ,

b a2 ? b2

? sin φ,

则有 asinx+bcosx= a ? b (sinxcosφ+cosxsinφ) = a ? b sin(x+φ).因此,我们有如下结论:asinx+bcosx= a ? b sin(x+φ) ,其中
2 2 2 2

tanφ=

b . a
3

例 4、 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

? 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的 3

内接矩形.记∠COP=α,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

课堂小结 1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换 与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证 明. 2、 本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和 “活”的数学. 作业 课本习题 3.2 A 组 1(2) (4) 、3、5、题

4


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