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轴对称的性质及线段的垂直平分线性质课件


如果一个图形沿着一条直线 对折 ,两侧的 图形能够 完全重合,这个图形就是轴对称图形。

对称轴 折痕所在的这条直线叫做______。

A

A′

B

B′ C
C′

A

A′ B′

B C C′

把一个图形沿着某一条直线 折叠 ,如果 它能够 与另一个图形重合 ,那么就说这两个 图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴, 折叠后重合的点是对应点,叫做 对称点 。

?

轴对称和轴对称图形的区 别是什么?

比较归纳:
轴对称图形 两个图形成轴对称

区别

一 _个图形

两 _个图形

联 系

1.沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合 ____. 对称轴 2.都有____. 3.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成 两个图形,那么这两个图形关于这条直线 对称 ___;如果把两个成轴对称的图形看成 轴对称图形 一个图形,那么这个图形就是____.

思考
如图,△ABC和 △A′B′C′关于直线MN对称, 点A、B、C的对称点是什 么?线段AA′、BB′、CC′与 直线MN有什么关系?

A与A′,B与B′,C与C′,D与D′为对称 点.MN垂直平分AA ′ BB ′ CC ′ DD ′. 因此,对称轴所在直线经过对称点所连 线段的中点,并且垂直于这条线段。

线段垂直平分线的概念
定义:经过线段的中点并且 垂直于这条线段的直线,就 叫这条线段的垂直平分线, 也叫中垂线。
B A

M

p
F

Q
C D E

G
N 图中的两个三角形关于直线MN对称

直线MN垂直 平分线段AF、 CD、BE

M

图形轴对称的性质1
1.如果两个图形关于 某条直线对称,那么对称 轴是任何一对对称点所连 线段的垂直平分线。

A

p
F

Q 这个结论对于轴 对称图形是否仍 D C 然成立? B G
N

E

即对称轴垂直平分对称 点的连线。

轴对称图形的性质2

AA/ BB/ CC/

画一画
线段AB的中垂线MN,垂足为C;在MN上任取一 点P,连结PA、PB;

量一量:PA、PB的长,你能发现什么?
PA=PB P1A=P1B …… P

M

由此你能得到什么规律? 命题:线段垂直平分线上的 点和这条线段两个端点的距 A 离相等。



P1

C

B

N

证一证
命题:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距 离相等。 M 已知:如图, 直线MN⊥AB,垂足为 C, P 且AC=CB.点P在MN上. 求证: PA=PB 证明:∵MN⊥AB
∴ ∠ PCA= ∠ PCB 在 ΔPAC和Δ PBC中, AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC(SAS) ∴PA=PB

A

C N

B

结论

线段垂直平分线的性质

性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。 M
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等

P

PA=PB

性质定理有何作用?

可证明线段相等
定理应用格式: ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离 N 相等).
A C B

垂直平分线的性质1
结论:线段垂直平分线上的点与这

条线段两个端点的距离相等.
有一个点在线段的垂直平分线上 如果:______________________________
这个点与这条线段两个端点的距离相等. 那么:______________________________ 几何语言:∵PC是AB的中垂线
∴____________ PA=PB

请你证明这个几何命题! 它的逆命题是什么?

证明略

换一换

反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB 的垂直平分线上?
P

点P在线段 AB的垂直 平分线上

PA=PB

判定定理有何作用? 用途:判定一条直线是线段的中垂线 (利用全等,仿照性质定理自己证明)

判定定理:和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上。

A

C

B

线段垂直平分线的判定命题
如果PA =PB,那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢? P 点P 在线段AB 的垂直平分线上.

已知:如图,PA =PB. 求证:点P 在线段AB 的垂直平 A 分线上.

C

B

线段垂直平分线的判定证明过程
证明:过点P 作线段AB 的垂线PC, 垂足为C.则∠PCA =∠PCB =90°. 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中, ∵ PA =PB,PC =PC, ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB(HL). ∴ AC =BC. A 又 PC⊥AB, ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上.

P

C

B

PA=PB

垂直平分线的性质2
结论:与一条线段的两个端点的距离相等

的点,在这条线段的垂直平分线上。
有一个点与线段的两个端点距离相等。 如果:______________________________ 这个点在这条线段的垂直平分线上。 那么:______________________________
几何语言:∵PA=PB
P在AB的中垂线上 ∴____________

线段的垂直平分线可以看成是与线 段两端点距离相等的所有点的集合.

A
B D C

1、∵

AD为BC的中垂线 , ∴AB=AC(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. _______________________ _____________ )

与一条线段两个端点距离相等的 2、∵ _______________________ , AB=AC M ∴ A在线段BC的中垂线上(点,在这条线段的垂直平分线上。 _____________________ _______

3、如图, NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有:①②③ 。

A

D N

B

①AB⊥MN,②AD=DB, ③MN⊥AB, ④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线

4 如图,在△ABC 中,BC =a,AB 的中垂线 交BC于D,AC 的中垂线交BC 与E,则△ADE 的周长等 于______. a A

B

D

E

C

线段的垂直平分线的性质 一、图形轴对称的性质: 二、性质定理:线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的距离相等。

三、判定定理:和一条线段两个端点距 离相等的点,在这条线段的垂直平分线 上。 四、 线段的垂直平分线的集合定义: 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合

作业
1、课本第62页练习第二题 2、预习下一节


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