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河北省唐山市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题


唐山市 2014-2015 学年度高三年级第一次模拟考试 理
只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U ? x x 2 ? 1 ,集合 ? ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 ?U ? ? ( A. ?1,3?
2







一、选择题(本大题共 1

2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

?

?

?

?



B. ? ??,1? )

?3, ???

C. ? ??, ?1?

?3, ???

D. ? ??, ?1?

?3, ???

? 2i ? 2、 ? ? ?( ? 1? i ?
A. ? 2i

B. ? 4i

C. 2i )

D. 4i

3、已知抛物线的焦点 F ? a,0 ? ( a ? 0 ) ,则抛物线的标准方程是( A. y 2 ? 2ax B. y 2 ? 4ax C. y 2 ? ?2ax

D. y 2 ? ?4ax

4 、命题 p : ?x ? ? , x3 ? x 2 ;命题 q : ?a ?? 0,1?

?1,??? ,函数

f ? x ? ? loga ? x ?1? 的图象过点 ? 2, 0 ? ,则(
A. p 假 q 真 C. p 假 q 假 B. p 真 q 假 D. p 真 q 真



5、执行右边的程序框图,则输出的 ? 是( A. C.
29 12
29 70



B. D.

70 29
169 70

?? //CD , ?? ? 2?C ? 2CD , o s D ? C? ? ( ???C ? 90 , 6、 在直角梯形 ?? CD 中, 则c



A.

10 10

B.

3 10 10

C. )
4 C. ? 或 0 3

5 5

D.

2 5 5

7、已知 2sin 2? ? 1 ? cos 2? ,则 tan 2? ? ( A. ?
4 3
3

B.

4 3

D.

4 或0 3

1 ? ? 8、 ? x 2 ? 2 ? 2 ? 展开式中的常数项为( x ? ?
A. ?8 B. ?12

) C. ?20
·1 ·

D. 20

9、函数 f ? x ? ? sin x ? 2 cos x 的值域为(
? A. ? ?1, 5 ?


? C. ? ? 2, 5 ? ? D. ? ? 5,3?

B. ?1, 2?

10、 F 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点,过点 F 向 C 的一条渐近线引垂 a 2 b2

线,垂足为 ? ,交另一条渐近线于点 ? .若 2?F ? F? ,则 C 的离心率是( A. 2 B. 2 C.
2 3 3


14 3

D.

11、 直线 y ? a 分别与曲线 y ? 2 ? x ? 1? ,y ? x ? ln x 交于 ? ,? , 则 ?? 的最小值为 ( A.3 B.2
3 2 C. 4
3 D. 2



12、 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( A. 4 C. 3 3 ? 12 B. 21 ? 3 D.
3 3 ? 12 2



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、已知 a ? ? ?1,3? , b ? ?1, t ? ,若 a ? 2b ? a ,则 b ?

?

?



14、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得 ? ? 0.85x ? 0.25 .由以上信息,得到下表中 c 的值为 回归直线方程为 y . 3 4 5 6 7 天数 t (天) 2.5 3 4.5 6 4 繁殖个数 y (千 个) 15、在半径为 2 的球面上有不同的四点 ? , ? , C , D ,若 ?? ? ?C ? ?D ? 2 ,则平面
? CD 被球所截得图形的面积为

. .

16、已知 x , y ? R ,满足 x2 ? 2xy ? 4 y2 ? 6 ,则 z ? x2 ? 4 y 2 的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17 、 (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 ?1 ? q ? Sn ? qan ? 1 ,且

q ? q ?1? ? 0 .

? ? ? 求 ?an ? 的通项公式; ? ?? ? 若 S3 , S9 , S6 成等差数列,求证: a2 , a8 , a5 成等差数列.

·2 ·

18、 (本小题满分 12 分)小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放 红包,每次发放 1 个. ? ? ? 若小王发放 5 元的红包 2 个,求甲恰得 1 个的概率;

? ?? ? 若小王发放 3 个红包,其中 5 元的 2 个,10 元的 1 个.记乙所得红包的总钱数为 ? ,
求 ? 的分布列和期望.

19、 (本小题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, 侧面 ?CC1?1 与侧面 C??1C1 都是菱形, ??CC1 ? ?CC1?1 ? 60 , ?C ? 2 .

? ? ? 求证: ??1 ? CC1 ; ? ?? ? 若 ??1 ? 6 ,求二面角 C ? ??1 ? ?1 .

20、 (本小题满分 12 分)已知圆 ? : x2 ? y 2 ? 4 ,点 ? 切于圆 ? ,记点 ? 的轨迹为 ? . ? ? ? 求曲线 ? 的方程;

?

3, 0 ,以线段 ?? 为直径的圆内

?

? ?? ? 直线 ?? 交圆 ? 于 C , D 两点,当 ? 为 CD 的中点时,
求直线 ?? 的方程.

·3 ·

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? e

x

? x ? 1? ?
2

2

, g ? x ? ? 2ln ? x ? 1? ? e? x .

? ? ? x ? ? ?1, ??? 时,证明: f ? x? ? 0 ; ? ?? ? a ? 0 ,若 g ? x? ? ax ?1 ,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 ? C 的延长线交于点 ? , ?D 交 ? C 于点 F . ? ? ? 求证: ?C//D? ;

? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ?C ? ?C ,求 ???C .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x2 y 2 ? x ? ?3 ? 3t ? ? 1 ,直线 l : ? 已知椭圆 C : ( t 为参数) . 4 3 y ? 2 3 ? t ? ? ? ? ? 写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程;

? ?? ? 设 ? ?1,0? ,若椭圆 C 上的点 ? 满足到点 ? 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 ? 的
坐标.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? x ?1 .
·4 ·

? ? ? 当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 3 ; ? ?? ? 若 f ? x ? 的最小值为 1 ,求 a 的值.

·5 ·

参考答案
一、选择题: 1、C 2、A 3、B 4、A 5、B 6、B 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、C 二、填空题: 13、 5 14、6 15、16π 16、[4,12]

三、解答题: 17、解: (Ⅰ)当 n=1 时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1. 当 n≥2 时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减得 an=qan-1, 又 q(q-1)≠0,所以{an}是以 1 为首项,q 为公比的等比数列, - 故 an=qn 1. ?6 分 1-anq 1-a3q 1-a6q 2(1-a9q) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 Sn= ,又 S3+S6=2S9,得 + = , 1-q 1-q 1-q 1-q 化简得 a3+a6=2a9,两边同除以 q 得 a2+a5=2a8. 故 a2,a8,a5 成等差数列. ?12 分 1 2 4 18、解: (Ⅰ)设“甲恰得一个红包”为事件 A,P(A)=C1 2× × = . 3 3 9 (Ⅱ)X 的所有可能值为 0,5,10,15,20. 2 2 8 (3 ) ×3 = , 27 1 2 2 1 6 P(X=10)=( ) × +( ) × = , 3 3 3 3 27 1 1 P(X=20)=( ) = . 3 27 P(X=0)=
2 2 2 3

?4 分

( ) 1 2 4 P(X=15)=C ×( ) × = , 3 3 27
1 2 2 8 P(X=5)=C1 = , 2× × 3 3 27
1 2 2

?10 分 15 4 27 20 1 27 =
z A A1

X 的分布列: 0 5 10 8 8 6 P 27 27 27 8 8 6 4 1 E(X) = 0 × + 5 × + 10 × + 15 × + 20 × 27 27 27 27 27 ?12 分 X

20 . 3

19、解: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则 △ACC1 和△B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 y O CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 C1 C CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1. ?4 分 B x B1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3,又 AB1 所以 OA⊥OB1.如图所示,分别以 OB1,OC1,OA 为正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0,-1,0),B1( 3,0,0),A(0,0, 3), ?6 分

= 6,

设平面 CAB1 的法向量为 m=(x1,y1,z1), 因为→ AB1 =( 3,0,- 3),→ AC =(0,-1,- 3), ? ? 3×x1+0×y1- 3×z1=0, 所以? 取 m=(1,- 3,1). ?8 分 ? ?0×x1-1×y1- 3×z1=0,
·6 ·

设平面 A1AB1 的法向量为 n=(x2,y2,z2), 因为→ AB1 =( 3,0,- 3),→ AA1 = (0,2,0), ? 3×x2+0×y2- 3×z2=0, 所以? 取 n=(1,0,1). ?10 分 ?0×x1+2×y1+0×z1=0, m·n 2 10 则 cos ?m,n?= = = ,因为二面角 C-AB1-A1 为钝角, 5 |m||n| 5× 2 10 所以二面角 C-AB1-A1 的余弦值为- . 5 y ?12 分 20、解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连 OM,MN, |OM|+|MN|=|ON|=2,取 A 关于 y 轴的对称点 A?, 连 A?B,故|A?B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4. 所以点 B 的轨迹是以 A?,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. x2 其中,a=2,c= 3,b=1,则曲线 Γ 的方程为 +y2=1. 4 ?5 分 (Ⅱ)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD, 则→ OB ⊥→ AB .设 B(x0,y0), 2 则 x0(x0- 3)+y0=0. 2 x0 2 2 2 又 +y0=1 解得 x0= ,y0=± . 4 3 3 2 则 kOB=± ,kAB= 2, 2 则直线 AB 的方程为 y=± 2(x- 3), 即 x-y- 6=0 或 2x+y- 6=0. ?7 分
B O A x A? O B M

N A x



y

D

?10 分 ?12 分

C

21、解: (Ⅰ)令 p ( x)=f ?( x)=ex-x-1,p?( x)=ex-1, 在(-1,0)内,p?( x)<0,p ( x)单减;在(0,+∞)内,p?( x) >0,p ( x)单增. 所以 p ( x)的最小值为 p (0)=0,即 f ?(x)≥0, 所以 f ( x)在(-1,+∞)内单调递增,即 f ( x)>f ( -1)>0. ?4 分 2 - (Ⅱ)令 h ( x)=g ( x)-(ax+1),则 h ?( x)= -e x-a, x+1 2 1 2 - 令 q ( x)= -e x-a,q?( x)= x - . e (x+1)2 x+1 由 (Ⅰ)得 q?( x)<0,则 q ( x)在(-1,+∞)上单调递减. ?6 分 (1)当 a=1 时,q (0)=h?(0)=0 且 h (0)=0. 在(-1,0)上 h?( x)>0,h ( x)单调递增,在(0,+∞)上 h'( x)<0,h ( x)单调递减, 所以 h ( x)的最大值为 h (0),即 h ( x)≤0 恒成立. ?7 分 (2)当 a>1 时,h?(0)<0, 1-a 2 2 - x∈(-1,0)时,h?( x)= -e x-a< -1-a=0,解得 x= ∈(-1,0). x+1 x+1 a+1 即 x∈ -a (1 ,0)时 h?( x)<0,h ( x)单调递减, a+1 ?9 分

又 h (0)=0,所以此时 h ( x)>0,与 h ( x)≤0 恒成立矛盾. (3)当 0<a<1 时,h?(0)>0,
·7 ·

1-a 2 2 - x∈(0,+∞)时,h?( x)= -e x-a> -1-a=0,解得 x= ∈(0,+∞). x+1 x+1 a+1 1-a 即 x∈ 0, 时 h?( x)>0,h ( x)单调递增, a+1 又 h (0)=0,所以此时 h ( x)>0,与 h ( x)≤0 恒成立矛盾. 综上,a 的取值为 1.

(

)

?11 分 ?12 分

22、解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. ?4 分 E (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED C 由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, F 因为⌒ AC=⌒ BC,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, π 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= , 7 2π 所以∠BAC=2x= . ?10 分 7 ?x=2cos θ, 23、解: (Ⅰ)C:? (θ 为为参数) ,l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ
A

D

B

?4 分

(Ⅱ)设 P(2cos θ, 3sin θ),则|AP|= (2cos θ-1)2+( 3sin θ)2=2-cos θ, |2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 3 4 由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin 2 θ +cos 2 θ=1,得 sin θ= , cos θ=- . 5 5 8 3 3 故P - , . 5 5

(

)

?10 分

? ?-x+2,-1≤x≤ 1 ; 2 24、解: (Ⅰ)因为 f (x)=|2x-1|+|x+1|=? 1 ? ?3x, x≥ 2
且 f (1)=f (-1)=3,所以,f (x)<3 的解集为{x|-1<x<1}; (Ⅱ)|2x-a|+|x+1|= x- 当且仅当(x+1) x- ?4 分

-3x, x≤-1;

|

a a a a +|x+1|+ x- ≥ 1+ +0= 1+ 2 2 2 2

|

|

| |

|

|

|

(

a a ≤0 且 x- =0 时,取等号. 2 2 ?10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

)

a 所以 1+ =1,解得 a=-4 或 0. 2

|

|

·8 ·


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