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培训2【数列应用】


第二讲
一、选择题 1. 某商品降价 10%,欲恢复原价,应提价 A.10% B.9%

数列的应用

( C.11% D.



100 % 9

2 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分不必纳税,超 过 2000 元的

部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分别累进计算. 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ? 税率 5% 10% 15% ?

某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于 (A)800~900 元 (B)900~1200 元 (C)1200~1500 元 (D)1500~2800 元

3、 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收 入为 1800 元,其它收入为 1350 元), 预计该地区自 2004 年起的 5 年内,农民的工资性收入将以每年 6% 的年增长率增长,其它收入每年增加 160 元。根据以上数据,2008 年该地区农民人均收入介于 ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元

二、填空题 4、 一种设备的价格为 450000 元,假设维护费第一年为 1000 元,以后每年增加 1000 元,当此设备的平 均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 。

5、 一个球从 100m 高处落下,每次着地后又跳回原来高度的一半,再落下,当它第 10 次着地时,共经 过了 m。 (精确到 1m)

6、 某人从 1998 年起,每年 7 月 1 日到银行新存入 a 元一年定期,若年利率 r 保持不变,且每年到期存 款自动转为新的一年定期,到 2005 年 7 月 1 日,将所有的存款及利息全部取回,他可取回的总金额是 元。

7、将正奇数按下表排成 5 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 … 那么,2005 应该在第 15 第2列 1 13 17 … 行,第 第3列 3 11 19 27 第4列 5 9 21 25 列。 23 第5列 7

8、 某纺织厂的一个车间有 n(n>7,n∈N)台织布机,编号分别为 1,2,3,??,n,该车间有技术工 人 n 名, 编号分别为 1, 3, 2, ??, 定义记号 aij , n。 如果第 i 名工人操作了第 j 号织布机, 此时规定 aij ? 1 , 否则 aij ? 0 .若第 7 号织布机有且仅有一人操作,则 a17 ? a27 ? a37 ? a 47 ?? ? an 7 ? ;若

a3 1 ? a 3 2 ? a 3 3 ? a 3 4 ? ? an3 ?2 ,说明 ?



三、解答题 9、 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本

1 .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设 5 1 对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少 (I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出 an,bn的表达式; (II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

10、孙老师年初向银行贷款 2 万元用于购房,银行为了推动住房制度改革,贷款的年利率为 10%,按复利 计算(即本年的利息计入次年的本金生息) ,若这笔贷款要求 10 次等额还清,每年一次,10 年还清,并且 从贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到 1 元,参考数据: 1.110 ? 2.5937 )

11.某地区森林原有木材存量为 a ,且每年增长率为 25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为

b ,设 an 为 n 年后该地区森林木材的存量,
(1)求 an 的表达式; (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于

19a 7 ,那么该地 a ,如果 b ? 72 9

区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(参考数据: lg 2 ? 0.3 )

12.轻纺城的一家私营企业主,一月初向银行贷款一万元作开店资金,每月月底获得的利润是该月月初投 入资金的 20% ,每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额(包括利润)的 10% ,每月的生活费开 支 300 元,余款作为资金全部投入再经营,如此继续,问该年年底,该私营企业主有现款多少元?如果银 行贷款的年利率为 5% ,问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元?

13.银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次,结算后即将利息并入本金,这种计算利息 的方法叫做复利.现在有某企业进行技术改造,有两种方案: 甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获得利润 1 万元,以后每年比上年增加 30%的利润; 乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获得利润 1 万元,以后每年比前一年多获利 5000 元. 两种方案的期限都是 10 年,到期一次行归还本息.若银行贷款利息均以年息 10%的复利计算,试比较两 个方案哪个获得存利润更多?(计算精确到千元,参考数据: 1.110 ? 2.594,1.310 ? 13.796 )

14.某工厂在 1999 年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工 资的 100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的

2 领取工资,该厂根据分流人员的技术特 3

长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,第二年每人可获得 b 元收入,从第三 年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增 50%,如果某人分流前工资的收入每年 a 元,分流后进入 新经济实体,第 n 年的收入为 an 元, (1)求 {an } 的通项公式; (2)当 b ?

8a 时,这个人哪一年的收入最少?最少为多少? 27

(3)当 b ?

3a 时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 8

第二讲
1—3、DCB 了 2 台织布机 4、30 年 5、300

数列的应用参考答案
6、

(1 ? r )8 ? (1 ? r ) a r

7、251;4 8、1; 第 3 名工人操作

n n 9、 (1) an ? 4000[1 ? ( ) ]; bn ? 1600[( ) ? 1]

4 5

5 4

(2)至少经过 5 年

10、3255 元

11 解: (1)设第一年的森林的木材存量为 a1 ,第 n 年后的森林的木材存量为 an ,则

1 5 a1 ? a(1 ? ) ? b ? a ? b , 4 4 5 5 5 a2 ? a1 ? b ? ( ) 2 a ? ( ? 1)b , 4 4 4 5 5 3 5 5 a3 ? a2 ? b ? ( ) a ? [( ) 2 ? ? 1]b , 4 4 4 4
???

5 5 5 5 5 an ? ( ) n a ? [( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? ? ? 1] ? ( ) n a ? 4[( ) n ? 1]b( n ? N * ) . 4 4 4 4 4 19 7 5 5 5 19 7 a 时,有 an ? a 得 ( ) n a ? 4[( ) n ? 1] ? a ? a 即 ( ) n ? 5 , (2)当 b ? 72 9 4 4 4 72 9
所以, n ?

lg 5 1 ? lg 2 ? ? 7.2 . lg 5 ? 2 lg 2 1 ? 3lg 2

答:经过 8 年后该地区就开始水土流失.

12

解:第一个月月底余 a1 ? (1 ? 20%) ?10000 ? (1 ? 20%) ?10000 ?10% ? 300 ? 10500 元,

设第 n 个月月底余 an ,第 n ? 1 个月月底余 an ?1 , 则 an?1 ? an (1 ? 20%) ? an (1 ? 20%) ?10% ? 300 ? 1.08an ? 300(n ? 1) , 从而有 an?1 ? 3750 ? 1.08(an ? 3750) , 设 bn ? an ? 3750, b1 ? 6750 ,∴ {bn } 是等比数列 bn ? b1 ?1.08n?1 , ∴ an ? 6750 ?1.08n?1 ? 3750 , a12 ? 6750 ?1.0811 ? 3750 ? 19488.6 , 还贷后纯收入为 a12 ? 10000(1 ? 5%) ? 8988.60 元.

13 解:甲方案 10 年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 项的和:

1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%)2 ? ? ? (1 ? 30%)9 ?

1.310 ? 1 ? 42.62 (万元) 1.3 ? 1

到期时银行的本息和为 10 ? (1 ? 10%)10 ? 10 ? 2.594 ? 25.94 (万元) ∴甲方案扣除本息后的净获利为: 42.62 ? 25.94 ? 16.7 (万元) 乙方案:逐年获利成等差数列,前 10 年共获利:

1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ?

10(1 ? 5.5) ? 32.50 (万元) 2
9

贷款的本利和为: 1.1[1 ? (1 ? 10%) ? ? ? (1 ? 10%) ] ? 1.1?

1.110 ? 1 ? 17.53 (万元) 1.1 ? 1

∴乙方案扣除本息后的净获利为: 32.50 ? 17.53 ? 15.0 (万元) 所以,甲方案的获利较多.
n ?1 n?2 14 解: (1)由题意得,当 n ? 1 时, a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? a ( ) ? b( ) ,

2 3

3 2

(n ? 1) ?a ? ∴ an ? ? 2 n ?1 . 3 n?2 (n ? 2) ? a ( 3 ) ? b( 2 ) ?
(2)由已知 b ?

8a , 27

2 n?1 8a 3 n?2 2 n?1 8a 3 n?2 1 8a ( ) ? 2[a( ) ? ( ) ] 2 ? 当 n ? 2 时, an ? a( ) ? 要使得上式等号成立, 3 27 2 3 27 2 9
n ?1 当且仅当 a ( ) ?

2 3

8a 3 n ? 2 2 2 8a ( ) ,即 ( ) 2 n? 2 ? ( ) 4 ,解得 n ? 3 ,因此这个人第三年收入最少为 元. 3 3 27 2 9

(3)当 n ? 2 时, an ? a( )

2 3

n ?1

3 2 3a 3 n? 2 2 3 3 n? 2 a ? b ( )n? 2 ? a ( )n?1 ? ( ) ? 2 a ( )n? 1? ( ) ? a ,上述等号 2 3 8 2 3 8 2

成立,须 b ? 当b ?

1 2 3a 且 n ? 1 ? log 2 ? 1 ? log 2 ? 2 因此等号不能取到, 8 3 2 3 3

3a 时,这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入. 8


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