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三角形的高、中线与角平分线 三角形的稳定性


11.1.2

三角形的高、

中线与角平分线 11.1.3 三角形的稳定性

1.掌握三角形中三条重要的线段的概念;
2.了解三角形的稳定性在日常生活中的应用.

你还记得“过一点画已知 直线的垂线”吗?

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0 1 2 3 4 5

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从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线,顶点和垂足 之间的线段叫做三角形这边上的高, 简称三角形的高. 任意画一个锐角△ABC, B 请你画出BC边上的高. 如图, 线段AD是BC边上的高.

A

A

D

C

注意 标明垂直的记号和垂足 的字母.
B

D

C

锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系? 将你的结果与同伴进行交流. B A F

O
D

E
C

锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.

锐角三角形的三条高都在三角形的内部.

直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.

(1)画出直角三角形的三条高.
(2)它们有怎样的位置关系? 将你的结果与同伴进行交流.

A

D
B
;


直角三角形的三条高交于直角顶点.
AB 直角边BC边上的高是______; 直角边AB边上的高是 CB

C

斜边AC边上的高是_______. BD

钝角三角形的三条高
A
(1) 钝角三角形的三条高交于 一点吗? (2)它们所在的直线交于一点吗? 将你的结果与同伴进行交流. 钝角三角形的三条高不相交于 一点. 钝角三角形的三条高所在直线 交于一点.

F D B E C

O

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边上的高. 三角形的三条高的特性:
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线 的交点的位置

3
相交 相交

1
相交 相交 直角顶点

1 不相交

相交
三角形 外部

三角形 内部

三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边上的中线.


因为AD是△ABC的中线,
所以BD=CD=
1 2

A

BC. B

F

O

E

C ● 任意画一个三角形,然后利用 D 刻度尺画出这个三角形三条边 上的中线,你发现了什么? 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,

这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线.
A 因为AD是△ABC的角平分线, 所以∠BAD =∠CAD =
1 2


∠BAC. B



1 2

任意画一个三角形,然后利用 量角器画出这个三角形三个角 的角平分线,你发现了什么?



D

C

三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.

A
因为BE是△ABC的角平分线,

1 ∠ABE ∠CBE ∠ABC 所以______=________= _____. 2 F
因为CF是△ABC的角平分线, 所以∠ACB=2____ ∠ACF =2_____. ∠BCF 三角形的角平分线与角 的平分线有什么区别? B

O

E

D

C

三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.

1.下列各组图形中,哪一组图形中的AD是△ABC 的高( D )

C A B D C
A

D
A
B

B

C A

B
D
C

B

C
D
D

A

2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点, 那么这个三角形是( B ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.任意三角形

三角形的稳定性
盖房子时,在窗框未安装好之前, 木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,

为什么要这样做呢?
三角形具有稳定性, 四边形没有稳定性.

三角形的稳定性
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接

起来,然后再扭动它,这时木架的形状会改变吗?为什么?

不会改变.钉上的木条将四边形分成两个三角形, 而三角形具有稳定性.

三角形的稳定性
斜 梁 斜 梁





三角形的稳定性
如图,工人师傅砌门时,常用木条EF,EG固定门框ABCD, 使其不变形,这种做法根据的是三角形的稳定性.

A
G

E F

D

B

C

四边形不稳定性的应用

活动挂架

1.下列图形中具有稳定性的是( C ) A.正方形 C.直角三角形 B.长方形 D.平行四边形

2.要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍?

1.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是(

)

A.活动的四边形衣架
B.起重机 C.屋顶三角形钢架 D.索道支架

【解析】选A.四边形没有稳定性.

2.(连云港·中考)小华在电话中问小明:“已知一 个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形 的面积?”小明提示说:“可通过作最长边上的高来 求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是 ( )

【解析】选C.A,D项作的不是三角形的高,B项作的是三 角形的高,但不是最长边上的高.

3.如图,在Δ ABC中,AE是中线, AD是角平分线,AF是高.填空: 1 BC CE (1)BE= = ; 2 1 ∠BAC (2)∠BAD= ∠CAD = 2 (3)∠AFB= ∠AFC =90°;



(4)SΔ ABC=

1 BC?AF 2

A

.

C

E D F

B

4.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于 E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法哪些是正确的,

哪些是错误的.
①AD是△ABE的角平分线( × )

A 1 2 F B
H

②BE是△ ABD边AD上的中线( × ) ③BE是△ ABC边AC上的中线( × )

E

G

④CH是△ ACD边AD上的高( √ )

D

C

三角形的高、中线与角平分线都是线段.

通过本课时的学习,需要我们掌握: 1.三角形的三条重要线段:高、中线、角平分线.

2.三角形的稳定性.

理想是指路明星。没有理想,就没有坚 定的方向,而没有方向, 就没有生活。


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