当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年高考数学(理)真题分类解析汇编11.概率与统计


taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 11:概率与统计
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 某学校组织学生参加英语测 )

试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 ?20,40? , ?40,60? , ?60,80? ,8?20,100? . 若 低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是

( ) A. 45 【答案】B 【天利解析】第一、第二小组的频率分别是 0.1 、 0.2 ,所以低于 60 分的频率是 0.3,设班级人数 为 m ,则 B. 50 C. 55 D. 60

15 ? 0.3 , m ? 50 。选 B. m

2 . (2013 年高考陕西卷 (理) 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, )

将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B 【天利解析】使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人。,所以从编号 1~480 的人中,恰好抽取 24 人,接着从编号 481~720 共 240 人中抽取 12 人。故选 B 3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 某班级有 50 名学生,其中 ) 有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名 男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正 确 的 是 ( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C

1

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【天利解析】对 A 选项,分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比,所以 A 选项错。 对 B 选项,系统抽样要求先对个体进行编号再抽样,所以 B 选项错。 对 C 选项,男生方差为 40,女生方差为 30。所以 C 选项正确。 对 D 选项,男生平均成绩为 90,女生平均成绩为 91。所以 D 选项错。 所以选 C 4 . (2013 年高考湖南卷(理) 某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱 ) 好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 ( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 【答案】D 【天利解析】本题考查抽样方法的判断。由于男生和女生存在性别差异,所以宜采用的抽样方法是 分层抽样法,选 D. 5 . (2013 年高考陕西卷(理) 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其 ) 信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正 常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 .

D

F

C

1 E A 2 B
( ) A. 1 ? 【答案】A

?
4

B.

?
2

?1

C. 2 ?

?
2

D.

? 4

1 ? ? ? 12 扇形ADE的面积 ? 扇形CBF的面积 2 ? 【天利解析】该地点信号的概率= ? ? 矩形ABCD的面积 2 4
所以该地点无信号的概率是 1 ? 。选 A . 4
6 . (2013 年高考四川卷(理) 节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独 )

?

立,若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩 灯 同 时 通 电 后 , 它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是 ( ) A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

7 8

【答案】C 【天利解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,由题意可得 0≤x≤4,0≤y≤4,
2

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒, 则|x﹣y|≤2, 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的

面积之比,

由图可知所求的概率为:

=



故选 C

7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 某校从高一年级学生中随 )

机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为 6 组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生 600 名, 据 此 估 计 , 该 模 块 测 试 成 绩 不 少 于 60 分 的 学 生 人 数 为 ( ) A.588 B.480 C.450 D.120

【答案】B 【 天 利 解 析 】 由 图 知 道 60 分 以 上 人 员 的 频 率 为 后 4 项 频 率 的 和 , 由 图 知 道

P ? (0.03 ? 0.025 ? 0.015 ? 0.01)*10 ? 0.8
故分数在 60 以上的人数为 600*0.8=480 人. 8 . (2013 年高考江西卷(理) 总体有编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表 ) 选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两 个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 ) A.08 【答案】D 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ( B.07 C.02 D.01

3

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【天利解析】本题考查随机数的使用和求值。从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由 左到右依次选取两个数字中小于 20 的编号依次为 08,02,14,07,02,01,。其中第二个和第四个 都是 02,重复。所以第 5 个个体的编号为 01。故选 D。 9 . (2013 年高考新课标 1(理) 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取 ) 部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【答案】C. 【天利解析】我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情 况差异不大. 了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理. 故选 C. 10. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 以下茎叶图记录了甲.乙两组 ) 各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 甲组 乙组

x
7

9 2 4

0 1 2

9 5 4

y

8

已 知 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 15 , 乙 组 数 据 的 平 均 数 为 16.8 , 则 x, y 的 值 分 别 为 ( ) A. 2, 5 B. 5, 5 C. 5,8 D. 8,8

【答案】C 【天利解析】 本题考查样本估计中的数字特征, 中位数, 平均数以及茎叶图。 因为甲的中位数为 15, 由茎叶图可知,即 x ? 5 。乙组数据的平均数为 10 ? C.
11. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 已知离散型随机变量 X 的 )

1 (5 ? y ? 8 ? 14 ? 1) ? 16.8,解得 y ? 8 ,选 5

分布列为

X
P


1 3 5
的 数

2 3 10


3 1 10
期 望

X

EX ?




3 A. 2

B. 2

5 C. 2
4

D. 3

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【答案】A 【天利解析】 EX ? 1?

3 3 1 15 3 ? 2 ? ? 3? ? ? ,故选 A. 5 10 10 10 2

12. (2013 年高考湖北卷(理) 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小 )

的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为

E?X ? ?
A.



) B.

126 125

6 5

C.

168 125

D.

7 5

【答案】B 【天利解析】本题考查离散型随机变量的分布列。用分布列解决这个问题,根据题意易知 X=0,1,2,3. 列表如下 X 0 1 2 3

27 54 36 125 125 125 27 54 36 8 150 6 .故选 B. 所以 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? ? 125 125 125 125 125 5
二、填空题

ξ

8 125

13. (2013 年高考上海卷 (理) 盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个, )

则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 【答案】

13 . 18

【天利解析】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ?

C52 13 ? . C92 18

14. (2013 年高考湖北卷(理) 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 )

到 350 度之间,频率分布直方图所示. (I)直方图中 x 的值为___________;

(II)在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为_____________.

5

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【答案】 (Ⅰ) 0.0044 ; (Ⅱ)70 【天利解析】本题考查频率分布直方图,以及利用样本估计总体。 Ⅰ)第一组的频率为 ( 0.0024 ? 50 ? 0.12 ,第二组的频率为 0.0036 ? 50 ? 0.18 ,第三组的频率为 0.0060 ? 50 ? 0.3 ,第 ? ? 五组的频率为 0.0024 50 0.12 ,第六组的频率为 0.0012 ? 50 ? 0.06 ,所以第四组的频率为 1 ? 0.12 ? 0.18 ? 0.3 ? 0.12 ? 0.06 ? 0.22 ,所以 x ? 0.22 ? 50 ? 0.0044 。 (Ⅱ) 落在[100,250]内的户数为第二, 四组数据, 三, 所以 (0.18 ? 0.3 ? 0.22) ?100 ? 0.7 ?100 ? 70 。
15. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 抽样统 )

计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环),结果如下: 运 动 员 甲 乙 第1 次 87 89 第 2 次 91 90 第 3 次 90 91 第 4 次 89 88 第5 次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________. 【答案】2 【
2








2















90















1 n s ? ? xi ? x n i ?1

?

?

?

1 2 2 2 2 2 ?89 ? 90? ? ?90 ? 90? ? ? 91 ? 90? ? ?88 ? 90? ? ?92 ? 90? ? 2 5

?

?

16. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 利用计算机产生 0~1 之间 )

的均匀随机数 a,则时间“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为________ 【答案】

2 3

1 1 1 3?2 【天利解析】? 3a ? 1 ? 0 ? a ? ? a 产生 0~1 之间的均匀随机数? a ? ( ,1) ? p ? 3 3 1 3 1?
17.2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 ( (理)纯 WORD 版含答案)从 n 个正整数1, 2, …n ( )

中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 【答案】8

1 ,则 n ? ________. 14

6

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【天利解析】从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,取出的两数之和等于 5 的情况 有: (1,4)(2,3)共 2 种情况; , 从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为 算公式得: 从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,取出的两数之和等于 5 的概率为 p= . ,由古典概型概率计

所以

,即

,解得 n=8.

18. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 为了考察某校各班参加课外 )

书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知 样 本 平 均 数 为 7, 样 本 方 差 为 4, 且 样 本 数 据 互 相 不 相 同 , 则 样 本 数 据 中 的 最 大 值 为 ____________. 【答案】10 【天利解析】设五个班级的数据分别为 a ? b ? c ? d ? e 。由平均数方差的公式得

(a ? 7)2 ? (b ? 7)2 ? (c ? 7) 2 ? (d ? 7) 2 ? (e ? 7) 2 a?b?c?d ?e ? 7, ? 4 ,显然各个括号为整数。设 5 5
a ? 7, b ? 7, c ? 7, d ? 7, e ? 7 分别为 p, q, r , s, t , ( p, q, r , s, t ? Z ) ,则

? p ? q ? r ? s ? t ? 0???? (1) 2 2 2 2 。设 f ( x) ? ( x ? p) ? ( x ? q) ? ( x ? r ) ? ( x ? s) = ? 2 2 2 2 2 ? p ? q ? r ? s ? t ? 20? (2)
4x2 ? 2( p ? q ? r ? s) x ? ( p2 ? q2 ? r 2 ? s 2 ) = 4 x2 ? 2tx ? 20 ? t 2 ,由已知 f ( x) ? 0 ,由判别式
? ? 0 得 t ? 4 ,所以 t ? 3 ,所以 e ? 10 。
19. (2013 年高考上海卷(理) 设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , x3 ,?, x19 的公差,随机变量 ? 等可能 )

地取值 x1 , x2 , x3 ,?, x19 ,则方差 D? ? _______ 【答案】 D? ? 30 | d | .

d2 2 2 【天利解析】 E? ? x10 , D? ? (9 ? 8 ? ? ? 12 ? 02 ? 12 ? ? ? 92 ) ? 30 | d | . 19

20. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 在区间 )

??3,3? 上随机取一个

数 x ,使得

x ?1 ? x ? 2 ? 1

成立的概率为______.

7

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【答案】

1 3

??3, ? 3 ? x ? ?1 ? 【天利解析】设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,则 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? 2 x ? 1, ? 1 ? x ? 2 。由 ?3, 2 ? x ? 3 ?
2 x ? 1 ? 1 , 解 得 1 ? x ? 2 , 即 当 1 ? x ? 3 时 , f ( x ) ? 1。 由 几 何 概 型 公 式 得 所 求 概 率 为

3? 1 2 1 ? ? 。 3 ? (? 3 ) 6 3
21. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 现在某 )

类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,则 m,n 都取到奇数的概 率为____________. 【答案】

20 . 63

【天利解析】 m 可以取的值有: 1, 2,3, 4,5, 6, 7 共 7 个

n 可以取的值有: 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 共 9 个
所以总共有 7 ? 9 ? 63 种可能 符合题意的 m 可以取 1,3,5, 7 共 4 个 符合题意的 n 可以取 1,3,5, 7,9 共 5 个 所以总共有 4 ? 5 ? 20 种可能符合题意 所以符合题意的概率为

20 。 63

三、解答题 22. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 某车间共有 12 名工人,随 )

机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

1 2

7 0

9 1

5

3

0
第 17 题图

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有 几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.
8

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

【天利解析】(1)由题意可知,样本均值 x ?

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 6

(2)? 样本 6 名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有 2 名,

2 ? 可以推断该车间 12 名工人中优秀工人的人数为:12 ? ? 4 6
2 (3)? 从该车间 12 名工人中,任取 2 人有 C12 ? 66 种方法, 1 1 而恰有 1 名优秀工人有 C10C2 ? 20
1 1 C10C2 20 10 ? 所求的概率为: P ? 2 ? ? C12 66 33

23. (2013 年高考北京卷(理) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数 )

小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日 至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

【天利解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”( i =1,2,,13). 根据题意, P( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) . 13

(I)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B ? A5 ? A8 , 所以 P( B) ? P( A5 ? A8 ) ? P( A5 ) ? P( A8 ) ?

2 . 13 4 , 13

(II)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=

9

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 所以 X 的分布列为:

4 , 13

5 , 13

X P

0

1

2

5 4 4 13 13 13
5 4 4 12 ? 1? ? 2 ? ? . 13 13 13 13

故 X 的期望 EX ? 0 ?

(III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
24. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 某联欢晚会举行抽奖活动, )

举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

2 ,中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 3

2 ,中将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响, 5
晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分 的数学期望较大? 【天利解析】(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为

2 2 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影 3 5

响,记“这 2 人的累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“ X ? 5 ”,

? P( X ? 5) ?

2 2 4 11 ? ? ,? P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 3 5 15 15 11 . 15

? 这两人的累计得分 X ? 3 的概率为

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X 2 ,则 这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2 X 1 ) ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望 为 E (3 X 2 ) 由已知: X 1 ~ B (2, ) , X 2 ~ B (2, )

2 3

2 5

? E( X1) ? 2 ?

2 4 2 4 ? , E( X 2 ) ? 2 ? ? 3 3 5 5
10

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

8 12 ? E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? , E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? 3 5
? E (2 X 1 ) ? E (3 X 2 )

? 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
25. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其 )

中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中 任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 【天利解析】

26. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 甲、乙、丙三人 )

进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 (I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望.

1 , 各局比赛的结果相互独立,第1 局甲当裁判. 2

11

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

27. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 现有 10 道题,其中 6 道甲类 )

题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 道乙类题的概率都是 布列和数学期望.

3 ,答对每 5

4 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分 5

12

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

1. (2013 年高考陕西卷(理) )

在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢 迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此 在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 【天利解析】(Ⅰ) 设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手. 观众甲选中 3 号歌手的概率为 所以 P(A) =

2 3 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1 - . 3 5

2 3 4 (- ) ?1 ? . 3 5 15 4 15

因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为

(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3. 观众甲选中 3 号歌手的概率为

2 3 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 . 3 5
13

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0,P(X = 0) = (1 ? ) ? (1 ? ) ?
2

2 3

3 5

4 . 75

当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1,P(X = 1) =

2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? ? ? . 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75
当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2,P(X = 2) =

2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75 2 3 2 18 ?( ) ? 当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时,这时 X=3,P(X =3) = . 3 5 75
X 的分布列如下表: X
P 0 1 2 3

E? ? 0 ?
所以,

4 75
28 15

20 75

33 75

18 75

4 20 ? 1? ? 75 75

数学期望 EX ?

1. (2013 年高考湖南卷(理) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、 )

横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种 作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

【天利解析】(Ⅰ) 由图知,三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点. 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点,共 8 对格点恰好 “相近”. 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率

P?

8 2 ? 12 ? 3 9

(Ⅱ)三角形共有 15 个格点. 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4).

14

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

所以 P(Y ? 51) ?

4 15 4 15 6 15

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 所以 P(Y ? 48) ?

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,). 所以 P(Y ? 45) ?

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). 所以 P(Y ? 42) ? 如下表所示: X Y 频数 概率 P 1 51 2 2 48 4 3 45 6 4 42 3

3 15

E (Y ) ? 51 ?

2 15

4 15

6 15

3 15

2 ? 48 ? 15

? E (Y ) ? 46
.
2. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 某商场举行的“三色球”购物 )

摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再 从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一. 二.三等奖如下: 奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200 元 二等奖 3红0蓝 50 元 三等奖 2红1蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? .

15

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

3. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设袋子中装有 a 个红球, b )

个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变 量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 ? 为取出此球所得分数.若

5 5 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9
【 天 利 解 析 】 (Ⅰ) 由 已 知 得 到 : 当 两 次 摸 到 的 球 分 别 是 红 红 时 ? ? 2 , 此 时

16

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

P (? ? 2) ? P(? ? P(? ? P(? ? P(? ?

3? 3 1 ? ;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ? ?4 ,此时 6?6 4 2 ? 2 3? 1 1 3 ? 5 4 )? ? ? ? ;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时 ? ? 3 ,此时 6 ? 6 6? 6 6 6 1 8 ? 3 ? 2 2? 3 1 3)? ? ? ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 ? ?5 ,此时 6 ? 6 6? 6 3 1? 2 2 1 1 ? 5) ? ? ? ; 当 两 次 摸 到 的 球 分 别 是 蓝 蓝 时 ? ?6 , 此 时 6? 6 6 6 9 ? 1? 1 1 6 )? ? ;所以 ? 的分布列是: 6? 6 3 6
2 3 4 5 6

?
P

1 1 5 4 3 18 (Ⅱ)由已知得到:? 有三种取值即 1,2,3,所以? 的分布列是: ? 1 2 3
P

1 9

1 36

a a?b?c

b a?b?c

c a?b?c

5 a 2b 3c ? ? E? ? 3 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 所 以: ? , 所 以 a 5 2 2b 5 2 3c ? D? ? 5 ? (1 ? 5 ) 2 ? ? (2 ? ) ? ? (3 ? ) ? ? 9 3 a?b?c 3 a?b?c 3 a?b?c ?
b ? 2 c, a? 3 c a: b: ? 3 . 2 : 1 ? c :
4. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 经销商经销某种农 )

产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据 历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度 购进了 130 t 该农产品,以 X (单位:t, 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量,

T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.
(Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X ? [100,110) ,则取 X ? 105 ,且 X ? 105 的 概率等于需求量落入 [100,110) 的概率),求利润 T 的数学期望.

17

taoti.tl100.com
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

你的首选资源互助社区

5. (2013 年高考江西卷(理) 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则 )

为:以 O 为起点,再从 A , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 , (如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两 1 个向量,记这两个向量的数量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望.

18

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

2 【天利解析】(1)从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有 C8 ? 28 种, ? ? 0 时,两向量夹

角为直角共有 8 种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为 P( ? ? 0) ?

8 2 ? . 28 7

(2) 两向 量 数量 积 ? 的 所 有可 能 取值 为 ?2, ?1,0,1, ? ? 2 时 , 有两 种 情形 ; ? ? 1 时 , 有 8 种 情 形; ? ? ?1 时,有 10 种情形.所以 ? 的分布列为:

0 ?2 ?1 1 5 2 P 14 14 7 1 5 2 2 3 E ? ? (?2) ? +(?1) ? ? 0 ? ? 1? ? ? . 14 14 7 7 14

?

1 2 7

6. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 甲、乙两支排球队进行比赛, )

约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是 赛甲队获胜的概率都是

1 外,其余每局比 2

2 ,假设各局比赛结果相互独立. 3

(Ⅰ)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

【天利解析】(Ⅰ)记“甲队以 3:0 胜利”为事件 A ,“甲队以 3:1 胜利”为事件 A2 ,“甲队以 1 3:2 胜利”为事件 A3 ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故 P( A1 ) ? ( ) ?
3

8 , 27 2 2 2 8 P ( A2 ) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27 2 2 1 4 P( A3 ) ? C41 ( ) 2 (1 ? ) 2 ? ? 3 3 2 27 8 8 4 , , ; 27 27 27

2 3

所以,甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率分别是

(Ⅱ)设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

2 2 1 4 P( A4 ) ? C41 (1 ? ) 2 ( ) 2 ? (1 ? ) ? 3 3 2 27 由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 16 P( X ? 0) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? , 27 4 P ( X ? 1) ? P ( A3 ) ? , 27
19

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

P( X ? 2) ? P( A4 ) ?

4 , 27 3 27
2 3

P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ?P( X ? 2) ?
故 X 的分布列为

X P

0

1

16 27 EX ? 0 ?

4 27

4 27

3 27

所以

16 4 4 3 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 27 27 27 27 9

7. (2013 年高考湖北卷(理) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N )

?800,50 ? 的
2

随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (I) 求

p0





;(



考 ,





:



X ? N ? ?,? 2 ?

,

有 ,

P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 .)

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544

(II)某客运公司用 A . B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一 次, A . B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆 和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小, 那么应配备 A 型车. B 型车各多少辆? 【天利解析】(I) p0 ? 0.5 ?

1 ? 0.9544 ? 0.9772 2

(II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y ? y?x?7 ? ? x, y ? N ?

20

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 . 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小. 8. (2013 年高考新课标 1(理) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件 ) 作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优 质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品 通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品 相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所 需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 【天利解析】 设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全 为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的 1 件产品是优质 品为事件 D,这批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C4 ( ) ?
3 2

1 2

1 1 4 1 4 1 3 ?( ) +( ) ? = 2 2 2 2 64

(Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- C4 ( ) ?
3 3

1 2

1 1 4 11 1 1 1 3 1 ? ( ) = ,P(X=500)= ,P(X=800)= C4 ( )3 ? = , 2 2 16 16 2 2 4
400 500 800

∴X 的分布列为 X P

11 16

1 16

1 4

EX=400×

11 1 1 +500× +800× =506.25 16 16 4

9. (2013 年高考四川卷 (理) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这 24 个 )

整数中等可能随机产生.

21

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 P (i ? 1, 2,3) ; i (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出

y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分) 运行 次数 输出 y 的值 为1 的 频数 输出 y 的值 为 2 的频数 乙的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 次数 为 3 的频数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数

输出 y 的

为 3 的频

n
30
2100

30

12

11

7
353

14

6
376

10 2100
697

1051

696

1027

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分 别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的

值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可 能性较大; (Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列及数学期望.

【天利解析】 ? ? ? .变量 x 是在 1,2,3,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 p1 ?

1 ; 2

22

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 p2 ?

1 ; 3

当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 p3 ?

1 6

? ?? ? 当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下:
输出 y 的 值 为 1 的频率 甲 乙 输出 y 的值 为 2 的频率 输出 y 的值 为 3 的频率

1027 2100

1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3)随机变量 ? 可能饿取值为 0,1,2,3.

8 ? 1? ? 2? p(? ? 0) ? C ? ? ? ? ? ? 27 ? 3? ? 3?
0 3

0

3

? 1? ? 2? 4 p(? ? 1) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? 9
1 3

1

2

? 1? ? 2? 2 p(? ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? 9
2 3

2

1

1 ? 1? ? 2? p(? ? 3) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 27
3 3

3

0

故 ? 的分布列为

?
p
所 以

0

1

2

3

8 27
2

4 9

2 9
1 3 ?

1 27

E? ? 0

8 4 ? 1 ? 2 7

9

?2

? 9

2

?1 7

?

?

即 ? 的数学期望为 1
2. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 某高校数学系计划在周六 )

和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学 生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各 自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或 张老师所发活动通知信息的学生人数为 x
23

taoti.tl100.com

你的首选资源互助社区

(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m .

【天利解析】 (Ⅰ) 设事件 A表示:学生甲收到李老 师的通知信息,则 P( A) ?

k k ,P( A) ? 1 - . n n

设事件B表示:学生甲收到张老 师的通知信息,则 (B) ? P( A), P(B) ? P( A) . P
设事件C表示:学生甲收到李老 师或张老师的通知信息 .
k 2 2k k ) ? ? ( )2 . n n n 2k k ? ( )2 . 所以, 学生甲收到李老师或张 老师的通知信息为 n n
则 P(C) = 1 - P(A) ? P(B) ? 1 ? (1 ?

24


赞助商链接
相关文章:
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计_学...
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计 一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率...
全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计 Word版含答案
全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计 一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )某学校组织学生参加 英语测试,成绩...
2015年高考数学真题分类汇编 专题11 概率和统计 文
2015年高考数学真题分类汇编 专题11 概率和统计 文_...? 1 1 1解析】由题意知,事件“ x ? y ?...其易错点有二:其一,未能准确理 解正相关与负相关...
2017年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计
2017年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计 - 2016 年全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计 一、选择题 1 .(2016 年普通高等学校招生统一考试辽宁...
2017年高考真题解析分类汇编(理科数学)11:概率与统计 W...
2017年高考真题解析分类汇编(理科数学)11:概率与统计 Word版含解析 精品_高考_高中教育_教育专区。2013 高考试题解析分类汇编(理)11:概率与统计 一、选择题 ...
全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计 Word版含答案
全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计 一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))某学校组织学生参加 英语测试,成绩的...
2016年高考数学理真题分类汇编:统计与概率
2016年高考数学理真题分类汇编:统计与概率_高考_高中教育_教育专区。2016 年高考...解:⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 ...
2018年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计 Wor...
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计 一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )某学校组织学生参加 英语...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 11:概率与统计一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 某学校组织学生参加英 ) 语测...
2013-2017年高考数学(理)分类汇编解析:第13章-概率与统计
2013-2017年高考数学(理)分类汇编解析:第13章-概率与统计 - 第十三章 概率与统计 第1节 题型 140 古典概型 概率及其计算 1.(2013 广东理 17) 某车间共有...
更多相关标签: