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4.2数学归纳法证明不等式


§4.2 用数学归纳法证明不等式导学案
编写人:谢文 审核人:付双全 一.学习目标:1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2. 会运用数学归纳法证明不等式
王新敞
奎屯 新疆

重点:应用数学归纳法证明不等式.

二.知识情景:
关于正整数 n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性:

10. 验证 n 取

时命题

( 即

n = n 时命题成立 )

(归纳奠

基) ;
20. 假设当 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题

(归纳递推).
!(结论) .

30. 由 10、20 知,对于一切 n≥ n 的自然数 n 命题

要诀: 递推基础

, 归纳假设

, 结论写明

三.例题分析: 例 1. 用数学归纳法证明不等式 sin n? ≤ n sin? .

例 2 已知 x> ?1,且 x?0,n?N*,n≥2.求证:(1+x)n>1+nx

.

例 3 证明: 如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 , 那么它们的和 a1 ? a2 ?

, an 的乘积 a1a2 an ? 1 ,

? an ≥ n .

例4

证明: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? ( n ? N , n ≥ 2). 2 2 3 n n

例 5.当 n ≥ 2 时,求证: 1 ?

1 2

?

1 3

?

?

1 n

? n

四.强化训练
1、已知 f(n)=(2n+7)· 3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m
的 值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6

2、.观察下列式子: 1 ?
…则可归纳出____

1 3 ? , 2 2

1?

1 1 5 ? ? , 22 32 3
_____.

1?

1 1 1 7 ? ? ? 22 32 42 4

3、已知 a1 ?

1 3an , an ?1 ? , 则 a2 , a3 , a4 , a5 的值分别为_____ 2 an ? 3

____,由此猜想

an ? _________.
4、用数学归纳法证明: An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1(n ? N * ) 能被 8 整除.

5、用数学归纳法证明

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

2n 6、.用数学归纳法证明 4 ?1 +3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N

7、求证:

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 5 ? (n ? 2, n ? N ? ) 3n 6

1 1 8、已知, Sn ? 1 ? ? ? 2 3

1 ? , n ? N ? , 用数学归纳法证明: n

n ? S2n ? 1 ? (n ? 2 ,n ? N ) 2


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