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河北省石家庄市第二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题+Word版含解析


石家庄二中 2017-2018 学年第一学期期中考试 高一数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】 故选 C 2. 下列幂函数中过点 A. 【答案】B 【解析】对于 A, 对于 B, 对于 C, 对于 D, 故选 B 3. 已知 , 对应值如表: 是过点 定义域为 过点 , 定义域为 , ,不关于原点对称,所以 A 不具有奇偶性,不对; B. , C. 的偶函数是( D. ) ,又 则 B. , C. ,则 D. ( )

的偶函数,B 对; 不过点 ,不对;

但它为奇函数,不对;

则 A. B.

的值为( C.

) D. 无法确定

【答案】C 【解析】 =1,则 则

故选 C 4. 设函数 A. 【答案】B 【解析】因为
3 2-x 令 g(x)=x -2 ,可求得:g(0)<0,g(1)<0,g(2)

与 B. C.

的图象的交点为 D.

,则 所在的区间是(



>0,g(3)>0,g(4)>0,易知函数 g(x)的零点所在区间为(1,2) . 故选 B. 5. 已知 A. 【答案】C 【解析】试题分析:因为 考点:比较大小 6. 函数 的图象大致是( ) ,所以可得 ,故选择 C B. , , C. ,则, ,的大小关系是( D. )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

的定义域为(?∞,0)∪(0,+∞)排除 A,

当 x>0 时, 当 x<0 时,

,故 y>0, ,故 y>0,排除 B,

当 x 趋向于无穷大时,x3 增长速度不如 3x?1 增长的快, 故所对应的 y 的值趋向于 0, 排除 D. 只有 C 符合, 本题选择 C 选项.
7. 设奇函数 在 上为增函数,且 ,则不等式 的解集为( )

A. C.
【答案】B 【解析】

B. D.

可变成

①或

②∵f(x)是奇函数,在

(0,+∞)上是增函数,∴在(-∞,0)上也是增函数; 又 f(2)=0,∴f(-2)=f(2)=0;∴解不等式组①变成 不等式组②变成 解得 0<x<2; 得-2<x<0,解

∴原不等式的解集是(-2,0)∪(0,2) . 故选:B. 8. 已知函数 A. 【答案】D 【解析】令 g(x)= ,因为函数 在区间 上是增函数, 在区间 B. C. 在区间 D. 上是增函数,则的取值范围是( )

= 从复合函数的角度分析, 外层是递增的, 所以转化为内层函数 g (x) 上是增函数,且 g(x)>0 在 故选 D 9. 已知函数 A. 【答案】D 的定义域为 B. ,则 C. 的定义域为( D. ) 上恒成立;

【解析】因为函数 f(x)的定义域为[0,2],所以 0≤2x≤2,所以 0≤x≤1,所以 f(2x)的定 义域为[0,1],则函数 故选:D. 10. 设偶函数 A. C. 【答案】B 【解析】因为函数 f(x)=loga|x-b|,所以对定义图内任意实数 x 都有 f(-x)=f(x) , 即 loga|-x-b|=loga|x-b|,所以|-x-b|=|x-b|,所以 b=0, ∴f(x)=loga|x|, ∵偶函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,y=|x|在(-∞,0)上单调递减, ∴0<a<1, ∴1<a+1<b+3=3, ∴loga|a+1|>loga3, ∴f(a+1)>f(b+3) ; 综上,f(a+1)>f(b+3) . 故选:B. 11. 已知函数 是( A. 【答案】D ) B. C. D. 若关于 的方程 有两个不同的根, 则实数 的取值范围 B. D. 不确定 在 上递增,则 与 的大小关系是( ) 的定义域是(0,1],

故实数 k 的取值范围是(1,2) ; 故选:D. 点睛:本题考查根的存在性和个数的判断,数形结合是解决问题的关键,原问题等价于于函 数 f(x)与函数 y=k 的图象有两个不同的交点,在同一个坐标系中作出两个函数的图象可 得答案. 12. 定义一种运算 函数 A. 【答案】C
2 2 【解析】y=3+2x-x 在 x∈[-3,3]上的最大值为 3,所以由 3+2x-x =3,解得 x=2 或 x=0.所

令 ) D.

(为常数) ,且

,则使

的最大值为 3 的的集合是( B. C.

以要使函数 f(x)最大值为 3,则根据定义可知,当 t<1 时,即 x=2 时,|2-t|=3,此时解得 t=-1. 当 t>1 时,即 x=0 时,|0-t|=3,此时解得 t=3.故 t=-1 或 3. 故选 C. 点睛:本题主要考查新定义的理解和应用,利用数形结合是解决本题的关键,考查学生的分 析能力,根据定义,先计算 y=3+2x-x 在 x∈[-3,3]上的最大值,然后利用条件函数 f(x) 最大值为 4,确定 t 的取值即可.
2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知函数 【答案】 【解析】令 得 此时 故此定点为 恒过定点,则此定点为__________.

故答案为 14. 【答案】
2 【解析】∵f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,

是偶函数,定义域为

,则

的值域是__________.

∴b=0,且 a-1+2a=0 解得 b=0, ∴f(x)= x2+1,定义域为 ,由二次函数的性质知,当 x=0 时,有最 ∴f(x)的值域为

小值 1,当 x= 或- 时,有最大值 故答案为 15. 已知 【答案】 , ,若有

,则 的取值范围是__________.

x 2 【解析】∵f(x)=e -1,在 R 上递增,∴f(a)>-1 则 g(b)>-1;∵g(x)=-x +4x-2=2 2 2 (x-2) +2≤2,又 f(a)=g(b) ,∴g(b)∈(-1,2],即-b +4b-2>-1,整理,得 b -4b+1

<0 解得 故答案为 16. 设函数 【答案】 【解析】令 f(a)=t,
t 则 f(t)=2 ,

则满足

的的取值范围是__________.

当 t<1 时,3t-1=2 , 由 g(t)=3t-1-2 的导数为 g′(t)=3-2 ln2, 在 t<1 时,g′(t)>0,g(t)在(-∞,1)递增, 即有 g(t)<g(1)=0, 则方程 3t-1=2 无解; 当 t≥1 时,2 =2 成立, 由 f(a)≥1,即 3a-1≥1,解得 a≥ ,且 a<1; 或 a≥1,2 ≥1 解得 a≥0,即为 a≥1. 综上可得 a 的范围是 a≥
a t t t t t

t

故答案为 点睛:本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法 是解题的关键,令 f(a)=t,则 f(t)=2t,讨论 t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程 无解,讨论 t≥1 时,以及 a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (1)求 , ; (2)求 【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1) 由 , . , , 则 ;(2) , 故 , , 而 . , , .

试题解析: (1)由 而 ,则 ,故 , , 等价于 即 (2) 18. 设函数 . ,因为 若 , . . 则 ,

(1)求函数 (2)画出函数 【答案】(1)

的解析式; 的图象,并指出函数的定义域、值域、单调区间. ;(2)答案见解析.

【解析】试题分析: (1)由题意可得 16-4b+c=3,4-2b+c=-1,解方程可得 b,c,进而得到 f (x)的解析式; (2)由分段函数的画法,可得 f(x)的图象,进而得到定义域、值域、单 调区间. 试题解析: (1)∵ 解得 , , ,∴ ,∴ , ,

(2)图象见图所示:

由图像可知,函数的定义域为 单调增区间为 ,单调减区间为

,值域为 和 .

.

19. 已知函数 函数 .





) ,在区间

上有最大值 4,最小值 1,设

(1)求, 的值及函数 (2)若不等式 【答案】(1) , ,

的解析式; 在 时有解,求实数 的取值范围. ;(2) . 单调,

【解析】试题分析: (1)因为对称轴 x=1 不在定义区间内,所以函数 根据单独递增与单独递减分类讨论, 解得 a,b 的值, 代人 先分离变量得 试题解析:(1) ,只需求出函数 对称轴 x=1.

可得函数 f(x)的解析式 (2)

最小值,即得实数 k 的取值范围

由题意得:

,或

解得



(舍去)故 (2)不等式 设 20. 已知 (1)求 (2)设 【答案】(1) , 所以 是偶函数, 和

所以 即 又因 是奇函数,且 故 . 即

的解析式; (其中 ) ,解不等式 .

;(2)答案见解析.

【解析】试题分析: (1)根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求 f(x)和 g(x)的解 析式; (2) 即 , , 讨论当 当 时, 即 ,

对应方程的两个根为 试题解析: (1)由题意 , .

,比较 与-3 的大小,进行讨论;

,即

,又

联立得

(2)由题意不等式即 当 时,即 ,解得 ;



当 故当 当 若 若

时,即 时,易知 时,若 ,即 ,即

,对应方程的两个根为 ,不等式的解为 ,即 时,不等式的解为 ; 或 ; ; ; ; . ;









时,不等式的解为 时,不等式的解为 时,不等式的解为

综上所述,当 当 当 当

时,不等式的解集为 时,不等式的解集为 时,不等式的解集为

点睛: 本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等 式解集;在讨论时从二次项系数等于 0,不等于 0 入手,当不等于 0 时,往往先对式子进行 因式分解得出对应二次方程的根,然后比较根的大小,讨论要不重不漏. 21. 已知函数 (1)判断函数 (2)当 值范围. 【答案】(1)答案见解析;(2) . ,其中为常数. 的单调性并证明; ,不等式 恒成立,求实数 的取

时,对于任意

【解析】试题分析: (1)根据函数单调性的定义证明即可(2)当

时,

,则

,∴函数

是奇函数,对于任意 ,不等式 ,在

,不等式

恒成立,等价为对于任意 恒成立,即 ,在 恒成立,设

恒成立,即 ,则等价为 即可.

讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解. 试题解析:

(1)函数 证明如下: 任取 , 则 ,且 ,

在 上是增函数.



∵ ∴

,∴ ,∴函数





,∴



在 上是增函数.

(2)由(1)知函数在定义域上是增函数,当

时,

,则

, ∴函数 是奇函数, ,不等式 ,不等式 ,在 ,在 ,则等价为 恒成立 恒成立, 即可. , ,则函数 ,则函数 ,则函数 . 的最小值为 的最小值为 ,得 ,得 ,得 . ,不成立, , 恒成立, 恒成立,

则对于任意 等价为对于任意 即 即 设 即 当 当 当 综上

的最小值为

点睛:本题考查了用定义证明函数的单调性及不等式恒成立问题,在解决本题中 恒成立时,移项得 所以肯定先要研究函数

的奇偶性,从而利用单调性去掉转化为二次不等式恒成立,找最值即得解. 22. 已知函数 (1)求 的值; ( )是偶函数.

(2)若函数



,是否存在实数 使得

最小值为 0,若

存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) ;(2)存在 得 最小值为 0. 为偶函数,则满足 则可变为 ,即可求出 的值; ,结合二次函数的图像和性

【解析】试题分析: (1)根据函数 (2)利用换元法令 质,分类讨论,可得 的值. 试题解析: (Ⅰ) 即 ,

,则函数

对于

恒成立.

(Ⅱ)由题意 令

,

开口向上,对称轴 当 , , 当 , 当 , , (舍去) 存在 得 最小值为 , (舍去)

考点:函数奇偶性的性质 【名师点睛】遇到函数奇偶性的问题,一定要熟记奇函数和偶函数的性质,只有了解这些性 质才能更快更准确的解题.本题中题设为偶函数,则函数一定满足 ,从而可以求

出所求参数的值.而第二问中,涉及到这类问题时,一般我们都采用换元法的方式去解题, 但换元时一定要注意新元的取值范围, 不然一定会出现错误, 在解题中还要充分利用好二次

函数的性质.


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