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3平面向量


知识梳理
1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有大小 又有方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的 长度 表示向量的大小,用 箭头所指的方向 表示向量的方向,用 字母a,b,?或用 ?表示. (3)模:向量的长度 叫向量的模,记作|a|或 . (4) 零向量:长度为 零 的向量叫做零向量,记作 0 ,零向 量的方向不确定.
<

br /> (5)单位向量:长度为 (6)共线向量:

1个长度单位 的向量叫做单位向量.
的向量叫共线向量,共线向量也叫平行向量

方向相同或相反 ,规定零向量与任何向量共线.
(7)相等的向量: 2.向量的加法 向量叫相等的向量.

长度相等且方向相同的

(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. (2)法则:三角形法则,平行四边形法则. (3)运算律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).

3.向量的减法 (1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. (2)法则:三角形法则,平行四边形法则. 4.实数与向量的积 (1)定义:实数 λ与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,规定: |λa|= |λ||a|,当 λ> 0 时,λa的方向与a的方向 与a平行.

相同 ;当λ<0时,λa的方向与a的方向
相反

;当λ=0时,λa

(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a, (λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb. 5.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ, 使得b=λa,即b∥a b=λa(a≠0).

?

要点探究
探究点1 向量的有关概念

例1 判断下列各命题是否正确: (1)零向量没有方向; (2)若|a|=|b| ,则a=b; (3)单位向量都相等; (4)向量就是有向线段; (5)两相等向量若共起点,则终点也相同; (6)若 a=b,b=c 则a=c; (7)若a∥b,b∥c,则a∥c;

(8)若四边形ABCD是平行四边形,则 (9)a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 【思路】 正确理解向量的有关概念,以概念为判断依据, 或通过举反例说明. 【解答】 (1)不正确,零向量方向任意;(2)不正确,只能说 明模相等,还有方向; (3) 不正确,单位向量的模为 1,方向很 多; (4) 不正确,有向线段是向量的一种表示形式; (5) 正确; (6)正确,向量相等有传递性;(7)不正确,因若b=0,则对不共 线的向量a,c也有a∥0,0∥c;

(8)不正确,如图

(9)不正确,当a∥b,且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b;

【点评】 对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的含 义入手,也可以通过举出反例来排除或否定相关命题.

探究点2

向量的线性运算

例2 [ 2009· 湖南卷] 如图31-1所示,D,E,F分别是 △ABC的边AB,BC,CA的中点,则 ( )

【思路】 利用相等向量和三角形法则进行计算.

【解析】 A 得

∵ 故选A.

∴ 或

【点评】 利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题 关键.向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则,如 下题:

变式题 [2009· 山东卷] 设P是△ABC所在平面内的一点, 则 ( )

【思路】 由图形可知:P为AC中点. 【解析】 B 因为 中点,所以应该选B. 所以点P为线段 AC的

探究点3

共线向量定理的应用

例3 设两个非零向量a与b不共线, (1)若 求证:A、B、D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 【思路】 (1)可证 共线.(2)待定系数法求k.

【解答】 (1)证明:

∴ 共线, 又∵它们有公共点B, ∴A、B、D三点共线.

(2)∵ 与 共线, ∴存在实数λ,使 即 ∴ ∵ 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0. ∴k=±1.
【点评】 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个 公共点.若 是两个不共线的非零向量,则 的充要条件是 λ=μ=0.这一结论结合待定系数法应用非常广 泛.

变式题



是两个不共线的非零向量,



起点

相同,则当t为何值时,

三向量的终点在同一条直线上?

【思路】 设出三向量的终点,利用条件列方程组.

【解答】 设

要使A、B、C三点共线,只需


=λ(λ∈R),

2 ? 2 ? ? ? ??, ?? ? , ? ? 3 ? 3 ∴有 ? ?? ? 1 ? ?t, ?t ? 1 . ? ? ? 2 ?3 1 ∴当t= 2 时,三向量终点在同一直线上.

探究点4

向量线性运算的综合问题

例4

[2009· 全国卷Ⅰ] 设非零向量 则 = A.150° B.120° C.60° D.30° 【思路】 数形结合.

满足 ( )

【解析】 B 由向量加法的平行四边形法则,知 可构 成菱形的两条相邻边,且 起点处的对角线长等于菱形的 边长,故选择B.

【点评】 向量的线性运算主要是利用三角形法则和平行 四边形法则,数形结合是必不可少的.在进行运算时表示向 量的字母顺序特点也要熟悉,如下题:
变式题 已知 A 、 B 、 C 、 P 为平面内四点,求证: A 、 B 、 C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使 m+n,且m+n=1. 【思路】 题设条件中向量表达式未涉及 用 来转化. 可以利

【解答】 充分性,由

m+n=1,得

∴A、B、C三点共线. 必要性:由A、B、C三点共线知,存在常数 λ,使得 即 取 m = 1 - λ, n = λ, m+ n= 1 ,

规律总结
1.本讲内容概念较多,应加深理解,熟练掌握. (1)向量的有关概念:向量、向量的模、零向量、单位向 量、平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量. (2)向量加法与减法:三角形法则,平行四边形法则,运 算律及运算性质. (3)向量数乘的定义及其运算律. (4)共线向量基本定理的内容及应用.

2 .数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量 是一个几何量,是有 “ 形 ” 的量,因此在研究向量的有关问 题时,一定要结合图形进行分析判断求解,这是研究平面 向量最重要的方法与技巧. 3 .向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线 平行问题. 4.关于数量的代数运算的公式和法则在向量范围内并 不完全适用,要防止负迁移.

第二节

平面向量的基本定理及坐标 表示

1.平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向 量 , 那 么 对 于 这一平面内的任意向量a, 有且只有 一 对 实 数 λ1 , λ2 , 使 a = λ1e1 + λ2e2. 我们把不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.

2.夹角

(1)已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量 夹角. a与b的
(2)向量夹角θ的范围是 [0,π] a与b反向时,夹角θ= . π ,我们说a与b垂直,记作a⊥b. ,a与b同向时,夹角θ= 0 ;

π (3)如果向量a与b的夹角是 2

3.把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫做把向量正交

分解.
4 .在平面直角坐标系中,分别取出 x 轴、 y 轴方向相同的两个单 位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y使a=xi+yj,我们把有序数对(x,y) 记作 a (x, y= ) 标. ,其中x叫 a在 x轴 叫做向量 坐标 a的 上的坐标,y轴 叫a在 , 上 的 坐

5.平面向量的坐标运算

(1)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2)
,λa= (λx1,λy1).

(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-
x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 始点 的坐标. 6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是 x1y2-x2y1=0 .

7 . (1)P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) ,则 P1P2 的中点 P 的坐标为
?x1+x2 y1+y2? ? ?. , 2 ? ? 2

(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),则△P1P2P3 的重心 P
?x1+x2+x3 y1+y2+y3 ? ?. 的坐标为? , 3 3 ? ?

1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=(
A.3a+b B.3a-b

)

C.-a+3b

D.a+3b

解析:设 c=λa+μb, 则(4,2)=(λ-μ,λ+μ),
? ?λ-μ=4, 即? ? ?λ+μ=2. ? ?λ=3, 解得? ? ?μ=-1,

∴c=3a-b.

答案:B

2.已知 a=(4,5),b=(8,y)且 a∥b,则 y 等于( A.5 32 C. 5 B.10 D.15

)

解析:∵a∥b,∴4y-40=0 得 y=10. 答案:B

→ 与BC → 的夹角为( 3.正三角形 ABC 中,AB A.60° C.120°
→ 与BC → 的夹角为 解析:AB 180° -∠ABC=180° -60° =120° .

)

B.45° D.90°

答案:C

4. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2), B(-1, -2), C(3,1), → =2AD → ,则顶点 D 的坐标为( 且BC
? 7? ? A. 2,2? ? ?

)
? 1? ? B. 2,-2? ? ?

C.(3,2)

D.(1,3)

→ =(x,y-2),BC → =(4,3), 解析:设 D(x,y),AD → =2AD →, 又BC
? ?4=2x, ∴? ? ?3=2?y-2?,

? ?x=2, ∴? 7 y= , ? ? 2

即点

? 7? D 坐标为?2,2?. ? ?

答案:A

5.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中 → =λAE → +μAF → ,其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________. 点,若AC

→ =a,AD → =b, 解析:设AB 1 → 那么AE= a+b, 2

→ =a+1b. AF 2 → =a+b, 又∵AC → =2(AE → +AF → ), ∴AC 3 2 4 即 λ=μ= ,∴λ+μ= . 3 3 4 答案: 3

热点之一

平面向量基本定理及其应用

1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任

意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同,表示也不
同.

2.对于两个向量 a, b,将它们用同一组基底表示,我们可通过
分析这两个表示式的关系,来反映a与b的关系. 3 .利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.

→ =AB → ,M、N 分 [例 1] 已知梯形 ABCD,如右图所示,2DC → =e1,AB → =e2,试用 e1,e2 表示DC →, 别为 AD、BC 的中点.设AD → ,MN →. BC

[ 思 路 探 究 ]

→ =e1,AB → =e2,2DC → =AB → 由已知AD

→ 利用向量共线,三角形法则 → 求解

1 → → → → [课堂记录] ∵2DC=AB,∴2DC=e2,∴DC= e2. 2 → =BA → +AD → +DC →, 又∵BC 1 1 → ∴BC=-e2+e1+ e2=e1- e2. 2 2 → =MA → +AB → +BN →得 又由MN → =1DA → +AB → +1BC → MN 2 2 1 1 1 3 =- e1+e2+ (e1- e2)= e2. 2 2 2 4

即时训练

如右图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为

→ =c,AN → =d,试用 c,d 表示AB → ,AD →. DC,BC 的中点,已知AM

→ =a,AD → =b, 解法一:设AB 1 → → 则 a=AN+NB=d+(- b)① 2 1 → → b=AM+MD=c+(- a)② 2 1 1 将②代入①得 a=d+(- )[c+(- a)] 2 2 4 2 ?a= d- c,代入② 3 3

1 4 2 4 2 得 b=c+(- )( d- c)= c- d. 2 3 3 3 3 → =4d-2c,AD → =4c-2d. 即AB 3 3 3 3 → =a,AD → = b. 解法二:设AB 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 1 1 → → 所以BN= b,DM= a, 2 2

?c=b+1a ? 2 因而? ?d=a+1b 2 ?

?a=2?2d-c? ? 3 ?? ?b=2?2c-d? ? 3



2 2 → → 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3

热点之二

平面向量的坐标运算

1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若
已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要 注意方程思想的运用. 2 . 利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相同 这一原则,通过列方程(组)进行求解.

→ =1AB → ,DA → =-1BA → ,求 [例 2] 已知 A(-1,2),B(2,8),AC 3 3 → 的坐标. 点 C、D 和向量CD

→, [思路探究] 待定系数法设定点 C、 D 的坐标, 再根据向量AC → ,DA → 和CD → 关系进行坐标运算,用方程思想解之. AB

[课堂记录] 设 C、D 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2). → =(x1+1,y1-2),AB → =(3,6) 由题意得AC → =(-1-x2,2-y2),BA → =(-3,-6) DA → =1AB → ,DA → =-1BA → 又AC 3 3 1 ∴(x1+1,y1-2)= (3,6), 3 1 (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6) 3

即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2) ∴x1+1=1 且 y1-2=2,-1-x2=1 且 2-y2=2, ∴x1=0 且 y1=4,x2=-2 且 y2=0. → 的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,- ∴点 C、D 和向量CD 4).

→ =3a,则 即时训练已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若AB 点 B 的坐标为________. → =(m+1,n+5)=3a=3(2,3)=(6,9), 解析:设 B(m,n),则AB ∴m+1=6,n+5=9.∴m=5,n=4.

答案:(5,4)

热点之三

平面向量共线的坐标表示

1.凡遇到与平行有关的问题时,一般要考虑运用向量平行的充 要条件.

2 .两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用,一般地,

如果已知两向量共线,求某些参数的值,则利用“若a=(x1,y1),b=
(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0”比较简捷. 3.在求与一个已知向量a共线的向量时,采取待定系数法更为简 单,即设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于 λ的方程, 求出λ的值后代入λa即可得到欲求向量,这样可以使未知数的个数少一

些,便于求解.

[例 3] 若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且 |b|=3 5,则 b=( A.(-3,6) C.(6,-3) ) B.(3,-6) D.(-6,3)

[课堂记录]

解法一:确定一个平面向量需要两个独立的条

件, 因此, 可设 b=(x, y), 由 a, b 的夹角为 180° , 得 a∥b, ∴1×y -(-2)· x=0
? ?x=3, ? ? ?y=-6.

①;由|b|=3 5得 x2+y2=45

②,联立①②解得

? ?x=-3, 或? ? ?y=6.

当 b=(3,-6)时,a 与 b 的夹角为 0° ,

不合题意,∴b=(-3,6).

解法二:∵向量 b 与向量 a 的夹角是 180° ,∴b=λa(λ<0), ∴|b|= |λ||a|,又 |a|= 5, |b|=3 5,∴λ=-3, ∴b=-3(1,-2)=(-3,6). 解法三:注意到 A、B、C、D 四个选项均满足条件|b|=3 5, 所以关键是利用好夹角这个已知条件, 易知(-3,6)=-3(1, -2), 所以选 A.

[思维拓展 ]

(1)本题主要涉及平面向量的模、夹角、共线的充要

条件等基础知识,以及运算能力、分析能力和数形结合能力.注意
“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.”的 使用; (2)解法一用的是待定系数法,体现了方程的思想,关键是将题目 中的等量关系转化成含有未知数的两个方程; (3)在解题时,要灵活地运用不同的方法,如利用数形结合,则可 以直观地得到结果.

即时训练

(1)设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λa+b 与

向量 c=(-4,-7)共线,则 λ=________. (2)△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c.设 向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若 p∥q,则角 C 的大小为 ( ) π A. 6 π B. 3 π C. 2 2π D. 3

解析:(1)λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3), ∴存在实数 k,使(λ+2,2λ+3)=k(-4,-7),
? ?λ+2=-4k ∴? ? ?2λ+3=-7k

,∴λ=2.

(2)∵p∥q,∴(a+c)(c-a)=b(b-a),
2 2 2 a + b - c 1 2 2 2 即 ab=a +b -c ,∴cosC= = , 2ab 2

π 又∵C∈(0,π),∴C= ,故选 B. 3

答案:(1)2

(2)B

热点之四

平面向量坐标运算的综合应用

1.对于向量坐标的综合应用,关键是利用已知条件转化为方程
或函数关系式解决. 2 . 以向量为载体,解决三角、解析几何问题是高考常考题,要 引起足够重视. 3 .向量与三角结合题目关键是利用向量共线的坐标关系,结合 三角函数中的有关公式进行求解.

[例4] 已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).

(1)若a∥b,求tanθ的值;
(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值. [思路探究] (1)利用共线得方程,再结合同角关系式得解; (2)由|a|=|b|得正弦、余弦关系式,利用三角恒等变换得解.

[课堂记录]

(1)因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ,

1 于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . 4 (2)由 |a|= |b|知, sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=12+22, 所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,

π 2 即 sin2θ+cos2θ=-1,于是 sin(2θ+ )=- . 4 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ= 或 θ= . 2 4 [思维拓展] 本题易忽略 θ 的范围,而导致 θ 值的误解.

即时训练 π 其中 θ∈(0, ). 2

已知向量 a=(sinθ,2),b=(cosθ,1)且 a∥b,

(1)求 sinθ 和 cosθ 的值; 10 π (2)若 sin(θ-φ)= ,0<φ< ,求 cosφ 的值. 10 2

解:(1)∵a∥b, ∴sinθ×1-2×cosθ=0,∴sinθ=2cosθ. ∵sin2θ+cos2θ=1, 1 ∴4cos2θ+cos2θ=1,∴cos2θ= . 5 π 5 2 5 ∵θ∈(0, ),∴cosθ= ,∴sinθ= . 2 5 5

(2)解法一:由 sin(θ-φ)=

10 , 10

10 有 sinθcosφ-cosθsinφ= , 10 2 ∴sinφ=2cosφ- , 2 1 ∴sin φ+cos φ=5cos φ-2 2cosφ+ =1, 2
2 2 2

1 ∴5cos φ-2 2cosφ- =0. 2
2

2 2 解得 cosφ= 或 cosφ=- . 2 10

π 2 ∵0<φ< ,∴cosφ= . 2 2 π π π 解法二:∵0<θ,φ< ,∴- <θ-φ< , 2 2 2 3 10 ∴cos(θ-φ)= 1-sin ?θ-φ?= . 10
2

∴cosφ=cos[θ-(θ-φ)] =cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ) 5 3 10 2 5 10 2 = × + × = . 5 10 5 10 2

向量的坐标运算及用坐标表示平面向量、共线的条件是高考考查 的热点,常以选择、填空题的形式出现,为中、低档题.向量的坐标 运算常与三角、解析几何等知识结合,在知识交汇点处命题,以解答 题的形式呈现,属中档题.

[ 例 5]

(2010· 山东高考 ) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如

下:对任意的 a =(m,n), b =(p, q),令a⊙b = mq -np. 下面说法错
误的是( )

A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2

[解析]

A项,a与b共线,则?λ∈R使得a=λb则有m=λp,n=λq,

a⊙b = λpq - λpq = 0 ; B 项 , b⊙a = np - mq = - (a⊙b) ; C 项 ,

(λa)⊙b=(λm,λn)⊙(p,q)=λmq-λnp=λ(mq-np)=λ(a⊙b);D项, (a⊙b)2 + (a·b)2 = (mq - np)2 + (mp + nq)2 = m2q2 + n2p2 + m2p2 + n2q2 =(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2. [答案] B

1.(2010· 安徽高考)设向量 中正确的是( A.|a|= |b| C.a-b 与 b 垂直 )

?1 1? a=(1,0),b=?2,2?,则下列结论 ? ?

2 B.a· b= 2

D.a∥b ?1?2 ?1?2 2 解析:A 项,∵|a|=1, |b|= ?2? +?2? = , 2 ? ? ? ?
∴|a|≠|b|;

1 1 1 B 项,∵a· b=1× +0× = ; 2 2 2 C
?1 1? ?1 1? 项,∵a-b=(1,0)-?2,2?=?2,-2?, ? ? ? ?

?1 1? ?1 1? 1 1 ? , ?= - =0; ∴(a-b)· b=?2,-2?· ? ? ?2 2? 4 4

1 1 D 项,∵1× -0× ≠0, 2 2 ∴a 不平行 b.故选 C.

答案:C

2.(2010· 陕西高考)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c =(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________.

解析:∵a+b=(2,-1)+(-1,m)=(1,m-1), c=(-1,2), m-1 1 又(a+b)∥c,∴ = ,∴m=-1. 2 -1

答案:-1

第三节

平面向量的数量积及应用举例

1.平面向量数量积的定义 (1)已知两个非零向量a和b,它的夹角为θ,则数量 |a|·|b|·cosθ 叫 做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= |a|·|b|·cosθ 并规定零向量与任一向量的数量积为 零. (2) |b|cosθ 叫做向量b在a方向上的投影(θ为向量a与b的夹角). (3)a·b 的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上 的投影|b|cosθ 的乘积. ,

2.平面向量数量积的性质 (1)a⊥b?

a· b=0

.

a· b (2)cosθ= (θ 为两向量夹角). |a|· |b| 3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb). (3)(a+b)· c=a· c+b· c.

4.平面向量数量积的坐标表示 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2. (2)设 a=(x,y),则|a|= x2+y2. → =a, (3)若 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 则|a|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (4)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a,b 的夹角为 θ,则有 cosθ x1x2+y1y2 = . x12+y12· x22+y22

5 .平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的一

种向量描述.它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数
的相关知识来解答,三角知识是考查的主体. 6.向量在几何中的应用 (1)由于向量的线性运算和数量积运算有鲜明的几何背景,平面几 何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的 线性运算 及 数量积运算 表示出来.

(2)向量解决几何问题的“三步曲”.

①建立几何与向量的联系,将几何问题转化为 向量 问题;
②通过

向量

的运算,研究几何元素的关系;

③把运算结果“翻译”成几何关系. 7.向量在物理中的应用 由于物理中的力、速度、位移等量是特殊的 向量 以用 向量 来解决物理上的一些问题. ,因而可

1.已知|a|=1,|b |=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是 ( ) A. π 6 B. π 4

π C. 3

π D. 2

解析:∵a· (b-a)=a· b-a2=2,∴a· b=2+a2=3. 3 1 a· b ∴cos〈a· b〉= = = , |a||b| 1×6 2 π ∴a 与 b 的夹角为 . 3

答案:C

2.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b),则 c=( 7 7 A.( , ) 9 3 7 7 C.( , ) 3 9 ) 7 7 B.(- ,- ) 3 9 7 7 D.(- ,- ) 9 3

解析:设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.② 7 7 解①②得 x=- ,y=- . 9 3

答案:D

1 3.已知向量 a、b 的夹角为 45° ,且|a|=4,( a+b)· (2a-3b) 2 =12,则|b|=________;b 在 a 方向上的投影等于________.

解析:a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉 =4|b|cos45° =2 2|b|, 1 1 2 又( a+b)· (2a-3b)= |a| + a· b-3|b|2 2 2 =16+ 2|b|-3|b|2=12,

2 解得|b|= 2或|b|=- 2(舍去). 3 b 在 a 上的投影为|b|cos〈a,b〉= 2cos45° =1.
答案: 2 1

→ |=3,|BC → |=4,|CA → |=5, 4.已知平面上三点 A、B、C 满足|AB →· → +BC →· → +CA →· → 的值等于__________. 则AB BC CA AB
解析:由已知得△ABC 为直角三角形, 3 4 且 B=90° ,cosA= ,cosC= . 5 5

? 4? → → → → ∴原式=|BC||CA|cos(π-C)+ |CA||AB|cos(π-A)=4×5×?-5? ? ? ? 3? +5×3×?-5?=-25. ? ?

答案:-25

π 5.若向量 a· b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 ,则|a 3 +b|=__________.

解析:|a+b|= ?a+b?2= |a|2+2a· b+ |b|2 = π 1+2×1×2×cos +4= 7. 3

答案: 7

热点之一

平面向量的数量积运算

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4 .向量的数量积是向量之间的一种运算,它是向量与向量的运 算,结果却是一个数量.平面向量的数量积运算类似于多项式的乘 法.

[例1] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2).

(1)设c=4a+b,求(b·c)a;
(2)若a+λb与a垂直,求λ的值; (3)求向量a在b方向上的投影.

[思路探究]

数量积的 两向量垂直 投影的定 → → 坐标表示 的充要条件 义、公式

[课堂记录]

(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),

∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b· c=2×6-2×6=0,∴(b· c)a=0a=0. (2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于 a+λb 与 a 垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0, 5 5 ∴λ= .∴λ 的值为 . 2 2

(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 向量 a 在 b 方向上的投影为 |a|cosθ. a· b 1×2+2×?-2? 2 2 ∴|a|cosθ= = =- . 2 2 =- |b| 2 2 2 2 +?-2?

[思维拓展] 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ(θ 为 a 与 b 的 a· b a· b 夹角).而|a|cosθ= .故向量 a 在 b 方向上的投影为 .将此结论 |b| |b| 作为一个公式记忆.

即时训练

若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满

→ =1CB → +2CA → ,则MA →· → =__________. 足CM MB 6 3
→ ,CB → 作为平面向量的一组基底,则MA → =CA →- 解析:选择CA → =1CA → -1CB →, → =CB → -CM → =5CB → -2CA →, →· → =-2CA → CM MB ∴MA MB 3 6 6 3 9
2

5 →2 7 → → - CB + CA· CB=-2. 36 18

答案:-2

热点之二

向量的夹角问题

1.当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角.需求得 a· b 及|a|, |b|或得出它们的关系. 2.若已知 a 与 b 的坐标,则可直接利用公式 x1x2+y1y2 cosθ= . x12+y12 x22+y22

1 1 [例 2] 已知|a|=1,a· b= ,(a-b)· (a+b)= , 2 2 求:(1)a 与 b 的夹角; (2)a-b 与 a+b 的夹角的余弦值.
[思路探究] 系. (2)计算 a-b 和 a+b 的模. (1)由(a-b)和(a+b)的数量积可得出|a |、 |b|的关

[课堂记录]
2 2

1 (1)∵(a-b)· (a+b)= , 2

1 ∴|a| - |b| = , 2 又∵|a|=1,∴|b|= 1 2 |a| - = . 2 2
2

设 a 与 b 的夹角为 θ, 2 a· b 则 cosθ= = = , |a||b| 2 2 1· 2 1 2

π 又∵θ∈[0,π],∴θ= . 4 (2)∵(a-b)2=a2-2a· b+b2 1 1 1 2 =1-2× + = ,∴|a-b|= . 2 2 2 2 1 1 5 (a+b) =a +2a· b+b =1+2× + = , 2 2 2
2 2 2

∴|a+b|=

10 , 2

设 a-b 与 a+b 的夹角为 α, ?a-b?· ?a+b? 5 则 cosα= = = . |a-b||a+b| 2 10 5 × 2 2 1 2

即时训练已知向量 4a-2b=(-2,2 3),c=(1, 3),a· c=3, |b|=4,求向量 b 与 c 的夹角 α.
解:∵4a-2b=(-2,2 3),c=(1, 3), ∴(4a-2b)· c=-2+6=4, 即 4a· c-2b· c=4. 又∵a· c=3,∴2b· c=4a· c-4=4×3-4=8, 4 1 b· c ∴b· c=4,∴cosα= = = . |b||c | 4×2 2 π 又∵α∈[0,π],∴α= . 3

热点之三

向量的模与垂直问题

1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此 类问题的处理方法: ①|a|2=a2=a· a; ②|a± b|2=a2± 2a· b+b2; ③若 a=(x,y),则 |a|= x2+y2.

2.非零向量a⊥b?a·b=0是非常重要的性质,它对于解决平面
几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若a=(x1,y1),b= (x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.

[例3] 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.

(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;
(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?

1 [课堂记录] 由已知,a· b=4×8×(- )=-16. 2 (1)①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2=16+2×(-16)+64=48. ∴|a+b|=4 3.

②|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162, ∴|4a-2b|=16 3. (2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0. 16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.

即时训练

(1)点 O 是三角形 ABC 所在平面内一点,满足: )

→· → =OB →· → =OC →· → ,则点 O 是△ABC 的( OA OB OC OA A.内心 C.重心 B.外心 D.垂心

(2)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点, → → ? ? AB AC → =OA → +λ? + 动点 P 满足OP ?,λ∈[0,+∞),则 → |cosB |AC → |cosC? ?|AB P 点的轨迹一定通过△ABC 的( A.重心 C.内心 ) B.垂心 D.外心

→· → =OB →· → ,得OB →· → =0,即OB → ⊥AC → ,同 解析:(1)由 OA OB OC AC → ⊥BC → ,OC → ⊥AB → .故选 D. 理OA → → ? ? AB AC → = OA → +λ? →= + (2) 由 OP ? , λ≥0 , 得 AP → |cosB |AC → |cosC ? ?|AB → → ? AB ? AC + λ? ?. → |· → |· cosB |AC cosC ? ?|AB

→· → →· → ? ? AB BC AC BC →· → =λ? + 则AP BC ? → |· → |· cosB |AC cosC ? ?|AB → |+ |BC → |)=0. =λ(-|BC 故 AP⊥BC,P 点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.

答案:(1)D (2)B

热点之四

平面向量的应用

向量与三角函数结合是高考命题的一个热点,在处理这类问题时,
除注意三角公式的合理应用外,要特别注意有关向量的数量积、向量 的夹角、向量模的公式的准确使用.

→和 [例 4] (2009· 安徽高考)给定两个长度为 1 的平面向量OA → ,它们的夹角为 120° OB ,如右图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆 → =xOA → +yOB → ,其中 x,y∈R,则 x+y 的最 弧 AB 上变动,若OC 大值是________.

[课堂记录] 建立如图所示的坐标系,则 A(1,0),B(cos120° , sin120° ),即
? 1 B?- , ? 2

3? ?. 2?

→ =(cosα,sinα). 设∠AOC=α,则OC
? y 3 ? → → → ∵OC=xOA+yOB=(x,0)+?- , y? 2 ? ? 2

=(cosα,sinα),

?x-y=cosα, ? 2 ∴? ? 3y=sinα, ?2

?x=sinα+cosα, ? 3 ∴? ?y=2sinα, 3 ?

∴x+y= 3sinα+cosα=2sin(α+30° ). ∵0° ≤α≤120° ,∴30° ≤α+30° ≤150° . ∴x+y 有最大值 2,当 α=60° 时取得最大值 2.
[思维拓展] 本题考查向量的坐标运算,单位圆上的点的设

法以及建立目标函数求得最值等知识,求解时,首先应建立直角 坐标系.

→· →= 即时训练(2010· 福建省德化一中月考)在△ABC 中,AB BC 3 3 3 → 与BC → 夹角的取值范围是( 3,S△ABC∈[ , ],则AB 2 2 π π A.[ , ] 4 3 π π C.[ , ] 6 3 π π B.[ , ] 6 4 π π D.[ , ] 3 2 )

→· → =3 得|AB → |· → |cos〈AB → ,BC → 〉=3, 解析:由AB BC |BC → |· → |= 即得|AB |BC 3 , → → cos〈AB,BC〉

1→ → → ,BC →〉 又 S△ABC= |AB|· |BC|sin〈AB , 2 3 3 3 3 → → 所以 S△ABC= tan〈AB,BC〉∈[ , ], 2 2 2 3 → → 即得 tan〈AB,BC〉∈[ , 3],选 C. 3

答案:C

从近两年的高考试题来看,向量的数量积运算、向量的垂直等问

题是高考中考查平面向量的热点,既有选择题、填空题,又有解答题,

属中低档题目,常与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题,主要
考查运算能力及数形结合思想.

x2 [例 5] (2010· 福建高考)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2 a -y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点, →· → 的取值范围为( 则OP FP A.[3-2 3,+∞)
? 7 ? C.?-4,+∞? ? ?

) B.[3+2 3,+∞)
?7 ? D.?4,+∞? ? ?

[解析] ∵a2+1=22=4,∴a2=3, x2 2 ∴双曲线的方程为 -y =1, 3 设 P 点的坐标为(x,y), → =(x,y),FP → =(x+2,y),∴OP →· → =x2+2x+y2. 则OP FP
2 x 又∵y2= -1, 3

2 x →· → =x2+2x+ -1 ∴OP FP 3

4 2 4? 3?2 7 = x +2x-1= ?x+4? - . 3 3? 4 ? 又∵x≥ 3,是右支上任意一点, →· → ≥3+2 3,故选 B. ∴OP FP

[答案]

B

1.(2010· 全国Ⅰ)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两 →· → 的最小值为( 条切线,A、B 为两切点,那么PA PB A.-4+ 2 C.-4+2 2 B.-3+ 2 D.-3+2 2 )

解析:如右图所示: 设 PA=PB=x(x>0),∠APO=α, 则∠APB=2α,PO= 1+x2, sinα= 1 2, 1+ x

→· → = |PA → |· → |cos2α=x2(1-2sin2α) PA PB |PB x2?x2-1? x4-x2 = 2 = 2 , x +1 x +1

4 2 x - x →· → =y,则 y= 2 令PA PB ,即 x4-(1+y)x2-y=0. x +1

∵由 x2 是实数, ∴Δ=[-(1+y)]2-4×1×(-y)≥0,y2+6y+1≥0, 解得 y≤-3-2 2或 y≥-3+2 2. →· → )min=-3+2 2. ∴故(PA PB 此时 x= 2-1.

答案:D

→ =a, 2.(2010· 辽宁高考)平面上 O、A、B 三点不共线,设OA → =b,则△OAB 的面积等于( OB A. |a|2|b|2-?a· b?2 B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2 )

1 解析:由正弦定理,得 S= |a|· |b|sin∠AOB, 2 a· b 又 cos∠AOB= , |a|· |b|
? a· 1 b ?2 ∴S= |a|· |b|· 1-?|a||b|? 2 ? ?

1 = |a|2· |b|2-?a· b?2,故选 C. 2

答案:C


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