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第五讲 函数与方程


函数与方程
例 1:填空 (1) 若二次函数 y ? f (x) 满足 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? 且 f ?x ? ? 0 有实根 x1 , x 2 ,则

x1 ? x2 ? _ _ _ _ _ _ _。 _
(2) 设函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,若当 x ≤1 时, y ? x 2 ? 1 ,则 当 x ? 1 时,y= 。

(3) 若函数 y ? x 2 ? 3x ? 4 与函数 y ? 2 x ? a 2 的图象有公共点, a 的取值范围 则 是 。

(4) 已知函数 y ? x 2 ? ax ? 6a 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,若线段 AB 的长 不超过 5,则 a 的取值范围是 。 例 2:方程 x 2 ? ?2 ? a?x ? ?5 ? a? ? 0 的两根都大于 2,求实数 a 的取值范围。
1 例 3:已知关于 x 的方程 kx 2 ? kx ? k ? 2 ? 0 两个实根分别在(0,1)与(-1, 2 0)之间,试求实数 k 的取值范围。

例 4:已知方程 3x 2 ? 6?m ? 1?x ? m 2 ? 1 ? 0 的两个实根绝对值之和为 2,求实数 m 的值。 例 5:m 取何值时,关于 x 的方程 sin 2 x ? cos x ? m ? 0 有实数解? 例 6:已知关于 x 的方程 2 lg?x ? 1? ? lg?2 ? x ? ? lg?a ? 2? 有两个不相等的实根,求 a 的取值范围,并求出两根。 例 7:已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点(-1,10) ,并且方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 两实根的平方和等于 12,求 a、b、c 的值。 例 8 : 已 知 函 数 y ? x 2 ? 2ax ? 3a 的 定 义 域 为 R , 求 关 于 x 的 方 程

4x? | 2 ? a | ?2a ? 5? ? 6 ? 0 的解的范围。
例 9:当 0≤m≤2 时,求方程 x 2 ? mx ? ?2m ? 1? ? 0 的实根的取值范围。
?x 2 ? 2x ? a ? 0 ? }, 例 10:设 A ? {x | 1 ? x ? 3}, B ? {x | ? 2 (a,b∈R) ,如果 A ? B , ? x ? 2bx ? 5 ? 0 ?

确定 a、b 的取值范围。

例 11:设函数 f ?x? ? loga ?1 ? x?, g ?x? ? loga ?1 ? x? , ?a ? 0且a ? 1?若关于 x 的方程
2 a g ?x? x ?1? ? a f ?k ? ? x 只有一解,求 k 的取值范围。

例 12:就实数 t 的变化,讨论关于 x 的方程 1 ? log x 根的个数。 练习:

4? x ? ?lg lg t ? 1? log x 10 的实 10

1、 若二次方程 x 2 ? 2kx ? 3k ? 2 ? 0 的两根都大于 1,求 k 的取值范围。 2、若关于 x 的方程 2 2 x ? 2 x a ? a ? 1 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 3、已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点(-2,5) ,一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 两根之差是 3,求抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 。 4、若不等式 ?a 2 ? 2a ? 3?x 2 ? ?a ? 2?x ? 范围。 5、已知 ? , ? 是方程 x 2 ? ?2m ? 1?x ? 4 ? 2m ? 0 的两个实根, ? ? 2 ? ? , m 的 且 求 取值范围。 6、若方程 cos 2 x ? sin x ? a ? 0 有解,求 a 的取值范围。 7、解关于 x 的方程: lg x ? lg?4 ? x? ? lg?a ? 2x? ,并讨论解的个数。 8、已知方程:a ?x
2

1 ? 0 对于任何实数 x 都成立, a 的取值 求 2

?2 x ?1

? ? b ??2 x ? ,?a ? 0且a ? 1且b ? 0? 有正实根, b 的取值范围。 求


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