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2016届 数学一轮(理科) 北师大版 配套课件 第十二章 概率、随机变量及其分布 第1讲 随机事件的概率


第1讲 随机事件的概率
? 夯基释疑 考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结 例1 例2 例3 训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( ) (3)两

个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (4)两个事件对立时一定互斥,但两个事件是互斥时这两个事 件未必对立.( )

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考点突破 考点一 随机事件的频率与概率
【例题 1】某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球 比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结 果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 m 优等品频率 n 0.900 0.920 0.970 0.940 0.954 0.951 (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率 是多少?(结果保留到小数点后三位) m 解析(1) 依据公式 f= ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 n 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

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考点突破 考点一 随机事件的频率与概率
【例题 1】某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球 比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结 果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 m 优等品频率 n 0.900 0.920 0.970 0.940 0.954 0.951 (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率 是多少?(结果保留到小数点后三位) 由(1)知, 抽取的球数 n 不同, 计算得到的频率值不同, 解析(2)
但随着抽取球数的增多,频率在常数 0.950 的附近摆动,

所以质量检查为优等品的概率约为 0.950.
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考点突破 考点一 随机事件的频率与概率

规律方法
频率是个不确定的数, 在一定程度上频率可以反映事件发 生的可能性大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性大 小.但从大量重复试验中发现,随着试验次数的增多,事件发 生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率.

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考点突破 考点一 随机事件的频率与概率
训练 1 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量 相等, 为了解它们的使用寿命, 现从这两种品牌的产品中分别随机抽 取 100 个进行测试,结果统计如图所示. (1) 估计甲品牌产 品寿命小于 200 小时 的概率; (2) 这两种品牌产 品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

5+20 1 解析 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = , 100 4 用频率估计概率, 可得甲品牌产品寿命小于 200 小时的概 1 率为 . 4
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考点突破 考点一 随机事件的频率与概率
训练 1 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量 相等, 为了解它们的使用寿命, 现从这两种品牌的产品中分别随机抽 取 100 个进行测试,结果统计如图所示. (1) 估计甲品牌产 品寿命小于 200 小时 的概率; (2) 这两种品牌产 品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

解析 (2)根据抽样结果, 寿命大于 200 小时的两种品牌产品共有 75+70=145(个), 其中甲品牌产品有 75 个,所以在样本中,
15 据此估计已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29
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75 15 寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 = . 145 29

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考点突破

考点二 随机事件的关系

【例题 2】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3, 4, 5, 6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的一面出现 奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示 向上的一面出现的点数不小于 4,则 ( ) A. A 与 B 是互斥而非对立事件 B. A 与 B 是对立事件 C. B 与 C 是互斥而非对立事件 D. B 与 C 是对立事件

解析 根据互斥与对立的定义作答,

A∩B={出现点数 1 或 3},
事件 A, B 不互斥更不对立;

C

A

B

B∩C=?,B∪C=Ω(Ω 为必然事件),

4 6 5

13

2 Q

故事件 B,C 是对立事件.
答案:D
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考点突破

考点二 随机事件的关系

规律方法
对互斥事件要把握住不能同时发生, 而对于对立事件除不能 同时发生外, 其并事件应为必然事件, 这些也可类比集合进行理 解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪 些试验结果,从而断定所给事件的关系.

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考点突破

考点二 随机事件的关系

【训练 2】对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A ={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击 中飞机 } , D= { 至少有一次击中飞机 } ,其中彼此互斥的事件是 ________,互为对立事件的是________.


I

D A (1,1) C (1,0) (0,1)

(0,0) B

1-击中,0-没击中,(第一次射击,第二次射击)

设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况, 因为 A∩B= ?, A∩C= ?, B∩C= ?, B∩D= ?. 故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为彼此互斥事件, 而 B∩D=?,B∪D=I,故 B 与 D 互为对立事件.
答案 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D
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B与D
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考点突破 考点三 互斥事件与对立事件的概率
例 3(2014· 洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相 应的概率如下:求: 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 (1)至多 2 人排队等 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少?

解 记“无人排队等候”为事件 A,“1 人排队等候”为事件 B, “2 人排队等候”为事件 C,“3 人排队等候”为事件 D,“4 人 排队等候”为事件 E,“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F, 则事件 A,B,C,D,E,F 彼此互斥.
(1) 记“至多 2 人排队等候”为事件 G, 则 G=A+B+C,

所以 P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56.

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考点突破 考点三 互斥事件与对立事件的概率
例 3(2014· 洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相 应的概率如下:求: 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 (1)至多 2 人排队等 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 候的概率是多少? (2)至少 3 人排队等候的概率是多少?

(2)法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H, 则 H=D+E+F, 所以 P(H)=P(D+E+F) =P(D)+P(E)+P(F) =0.3+0.1+0.04=0.44.

法二 记“至少 3 人排队等 候”为事件 H,

则其对立事件为事件 G,

所以 P(H)=1-P(G)=0.44.

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考点突破 考点三 互斥事件与对立事件的概率

规律方法
(1)解决此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义 分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法: ①直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件 的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算; ②间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A) = 1- P(A)求解, 即用正难则反的数学思想, 特别是“至多”“至少” 型问题,用间接法就显得较简便.

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考点突破 考点三 互斥事件与对立事件的概率
训练 3 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一 名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据, 如下表所 示. 1 至 5 至 9 至 13 至 17 件及 一次购物量 4 件 8 件 12 件 16 件 以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/(分钟/ 1 1.5 2 2.5 3 人) 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视 为概率)
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考点突破 考点三 互斥事件与对立事件的概率
所以 x=15,y=20. 解析 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟). 100 (2)记 A 表示事件 “一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ,
A1, A2, A3 分别表示事件 “该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” “该顾客一次购物的 结算时间为 2 分钟” . 将频率视为概率得 15 3 30 3 25 1 P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A3)= = . 100 20 100 10 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件, 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 3 3 1 7 = + + = . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10
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课堂小结

思想方法

1.对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A) 随着试验次数的增加稳定于概率 P(A), 因此可以用频率 fn(A)来 估计概率 P(A).

2.从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所 含的结果组成的集合彼此的交集为空集,事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成的 集合的补集.

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课堂小结

易错防范

1. “互斥事件” 与 “对立事件” 的区别: 对立事件是互斥事件, 是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件, “互斥”是 “对立”的必要不充分条件. 2. “频率”与“概率” :频率与概率有本质的区别,不可混 为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数, 它是频率的科学抽象. 当试验次数越来越多时, 频率向概率靠近, 只要次数足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.
3. 需准确理解题意, 特别留心 “至多??” , “至少??” , “不少于??”等语句的含义.

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(见教辅)

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