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平面的基本性质


1.2.1

平面的基本性质

【课时目标】 1.了解平面的概念及表示法.2.了解公理 1、2、3 及推论 1、2、3, 并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述.

1.公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在 这个平面内.用符号表示为:________________. 2

.公理 2:如果________________________________,那么它们还有其他公共点,这 些公共点的集合是经过这个公共点的______________. P∈α? ? ??α∩β=l 且 P∈l. 用符号表示为: ? P ∈β ? 3.公理 3:经过不在同一条直线上的三点,________________________.公理 3 也可 简单地说成,不共线的三点确定一个平面. (1)推论 1 经过________________________________________,有且只有一个平面. (2)推论 2 经过____________,有且只有一个平面. (3)推论 3 经过____________,有且只有一个平面.

一、填空题 1.下列命题: ①书桌面是平面; ②8 个平面重叠起来,要比 6 个平面重叠起来厚; ③有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m; ④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念. 其中正确命题的个数为________. 2. 若点 M 在直线 b 上, b 在平面 β 内, 则 M、 b、 β 之间的关系用符号可记作____________. 3.已知平面 α 与平面 β、γ 都相交,则这三个平面可能的交线有________条. 4.已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是__________(填 序号). ①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β; ②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN; ③A∈α,A∈β?α∩β=A; ④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合. 5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号) ①两条直线; ②一点和一直线; ③一个三角形; ④三个点. 6. 空间有四个点, 如果其中任意三个点不共线, 则经过其中三个点的平面有__________ 个. 7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.

(1)AD/∈α,a?α________. (2)α∩β=a,PD/∈α 且 PD/∈β________. (3)a?α,a∩α=A________.

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________. 8.已知 α∩β=m,a?α,b?β,a∩b=A,则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表示 为________. 9.下列四个命题: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点; ②经过空间任意三点有且只有一个平面; ③过两平行直线有且只有一个平面; ④在空间两两相交的三条直线必共面. 其中正确命题的序号是________. 二、解答题 10.如图,直角梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平面外 一点,画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线,并说明理由.

11.如图所示,四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别 与平面 α 相交于 E,F,G,H,求证:E,F,G,H 必在同一直线上.

能力提升 12.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明三条直线必相 交于一点.

13.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、 BD 交于点 M,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点. 求证:(1)C1、O、M 三点共线; (2)E、C、D1、F 四点共面; (3)CE、D1F、DA 三线共点.

1.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公 共点,或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上. 2.证明点线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点 (或线)在这 个平面内;或先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注 意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用. 3.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线 往往归结为平面与平面的交线.


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