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2.2向量的减法运算及其几何意义公开课用


2.2.2向量减法运算及其几何意义

学习目标:
? 1:复习回顾向量的加法及其性质。 ? 2:通过自主学习弄清相反向量,向量减法 定义。 ? 3:通过探究理解减法的几何意义,会用向 量的三角形法则,做出差向量。 ? 学习重难点 ? 向量减法的定义及三角形法则应用。

温故知新

特点:首尾相接,连首尾

r />a a a a a a a

1.向量加法的三角形法则
B C

a
b

a
b A

a
b b

b

b

b 作法:[1]在平面内任取一点A; [2]作AB= a , BC= b ; [3]则向量AC叫 a 与 b 的和。

b

b

2.向量加法的平行四边形法则
特点:起点相同,连对角
b
b a O a A B

b

b

b

C

a a

? ? 作法: (1)在平面内任取一点O,作 OA ? a, OB ? b
(2) 以 O A ,O B 为邻边做平行四边行OACB ? ? (3)则 O C= a ? b

3.向量的加法运算有哪些运算律?
a?0 ? 0?a ? a a?b ? b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

4.加与减是对立统一的两个方面,既然 向量可以相加,那自然也可以相减.那么, 两个向量如何进行减法运算?

问题引入
问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港 返回北京,我们把北京记作A点,香港记作B点,那么这 辆飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢? AB+BA=0
北京 (A)

上海

香港
(B)

探究一:相反向量(自主学习) 思考1:两个相反向量的和向量是什么?向量a的相反向量 - a 可以怎样表示? 思考2:-a的相反向量是什么?零向量的相反向量是什 么? -(- a )= a 规定:零向量的相反向量仍是零向量.
– b b =____, – a 1、若 a , b 是互为相反向量,那么 a =____, 0 a + b =____

a 2 、 – ( – a ) = ________ –(a+b) a + b 的相反向量是________________

a +(– b) 的相反向量是________________ –[ a+( – b ) ]

a ? b ? a ? (?b) 定义: 思考2:两个向量的差还是一个向量吗?

探究二:向量减法定义( 自主学习) 思考1:在实数的运算中,减去一个数等于加上这个数的 相反数.据此原理,向量 a ? b 可以怎样理解?

思考3:向量a加上向量b的相反向量,叫做a与b的差向量, 求两个向量的差的运算叫做向量的减法,对于向量 a,b, c,若 a ? c ? b ,则c等于什么?

c ?b?a

探究(三):向量减法的作图方法(互动探究)
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a ? (?b) 吗?


AB ? b, AC ? a AE ? a ? (?b) ? a ? b 又 b ? BC ? a 所以 BC ? a ? b

B

a ?b
b
A

a
D

C

?b

a ?b
E

不借助向量的加法法则你能直接作出

a ? b 吗?

探究(四):向量减法的三角形法则(互动探究)( a O 三 一般地 A a 角 b 形 b a ?b 法 ①将两向量平移,使它们 B 则 三、几何意义: 有相同的起点. “共起点,连终点,指向被减向量” ) a ? b 可以表示为从向量 ②连接两向量的终点 . b的终点指向向量 a 的终点的向量 ③箭头的方向是指向 (“被减数”的终点 1)如果从 a 的终点指向 终点作向量,所得向量是什么呢? b . 练习:
注意:(1)起点必须相同。(2)指向被减向量的终点。

(1) AB ? AD ? DB (2)当 a , b 共线时,怎样作 a ? b 呢? (3) BC ? BA ? AC (4) OD ? OA ? AD O A B

b ? a (2) BA ? BC ? CA

a ? OA b ? OB (5) OA ? OB ? BA a ? b ? BA

B

O

A

例1 已知向量

a, b, c, d ,求作向量 a ? b , c ? d。

a ?b
b a d

c?d
c

B A
a b d

D C

c
O

作法:

在平面内任取一点O, 作 OA ? a, OB ? b,


OC ? c, OD ? d ,

BA ? a ? b

DC ? c ? d

起点相同,连接终点,指向被减向量的终点。 注意:

练习:已知向量 a, b,求作向量 a ? b
(1)
a



(2)
a

a ?b
b

b

a ?b
(4)
a

(3)

a ?b a
b

b

a ?b

例2

化简下列各式:

( 1) AB - AC - DB (2)AB - BC - AD - DB
(1) CD

(2)CB

→ → → → 练习.1 化简(1)OA +OC+BO+CO; → → → (2)AB -AD-DC.
→ → → → 解:(1)原式=(OA+BO)+(OC+CO) → → → → → → =(OA-OB)+(OC-OC)=BA+0=BA. → → → → → → (2)原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB.

→ → → → → → 2 化简下列各式.(1)A B -A D-DC;(2)-OE+OF-OD- → DO.

→ → → → → → 解:(1)AB-AD-DC=DB-DC=CB. → → → → → → → → → (2)-OE+OF-OD-DO=(EO+OF)-(OD+DO)=EF

→ -0=EF.

? 【题后总结】满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为 差.要注意观察是否为这两种形式,同时要 注意逆向应用、统一向量起点方法的应用.

例3 在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, 你能用 a , b表示 AC, DB 吗?

D

C

b

AC ? a ? b DB ? a ? b

A

a

B

D

b
A

a ?b

C

a?b
B

变式训练一:当a ,b满足什么条件时,

a

| a |?| b | a +b与a ?b垂直?_____________
变式训练二:当a ,b满足什么条件时,

a和b互相垂直 |a +b|=|a ?b|?_____________________
变式训练三:a +b与a ?b可能是相等向量吗? 不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同. ___________________________________________

达标检测.如图,在四边形 ABCD 中, 根据图示填空:

a?b ? c?d ?

c?b ? a ?b?c?d ?

? f ,?e, f , 0

相反向量的概念,及其应用; 向量减法的定义,及其运算法则;
(向量减法的三角形法则);

同起点、连终点、指向被减
解决向量加法,减法问题,数形结合必不可少.

拓展延伸

1、判断下列命题是否正确,若不正确,说明理由

1、 AB ? BA ? 0

( (



) )

2、 AB ? OA ? OB
4、若

3、相反向量就是方向相反的量 (



AB ? BC ? CA ? 0

,则A、B、C )

三点是一个三角形的顶点 ( 5、 0?a ? a ( )

6、两个向量是互为相反向量,则两个向量共线 ( )



2化简下列各式
(1)化简AB ? AC ? BD ? CD 解 : 原式 ? CB ? BD ? CD ? CD ? CD ? 0
(2)化简OA ? OC ? BO ? CO
解 : 原式 ? (OA ? BO) ? (OC ? CO) ? (OA ? OB) ? 0 ? BA


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