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空间中点线面


第 6 课时
考纲要求

空间中点、线、面的位置关系

1.熟练掌握判定定理与性质定,理理解它们之间的划归与转化关系. 2.从面面到线面再到面面体现了划归思想的应用,把空间问题平面化体现了划归思想的应 用 3.线线、线面、面面的平行、垂直关系中,线线关系是基础,线面关系是关键. 知识回顾 1.直线与直线的关系: 2.直线与平面的的

关系: 3.平面与平面的关系: 基础自测 1. (2009·安徽卷·理·15)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正 确命题的编号) . ① 相对棱 A B 与 C D 所在的直线是异面直线; ② 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ? BCD 的三条高线的交点; ③ 若分别作 ? ABC 和 ? ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所 在直线异面; ④ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤ 最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.
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. . .

2. (2008 四川非延考区,9)直线 l ? 平面 ? ,经过 ? 外一点 A 与 l 、 ? 都成 30°角的直 线有且只有( A.1 条 C. 3 条 ) B. 2 条 D. 4 条

3. (2008 辽宁,11)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、CC1 的中点,则 在空间中与三条直线 A1 D、EF、CD 都相交的直线( A.不存在 C.有且只有三条 B.有且只有两条 D.有无数条 ) )

4. (2007 浙江,6)若 P 是两条异面直线 l , m 外的任意一点,则( A. 过 点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都平行 B.过点 P 有且仅有一长直线与 l , m 都垂直 C. 过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都相交 D. 过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都异面

5.(福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查理科)给定下列四个命题: ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B. ②和③ C.③和④ D.②和④ 6.(福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)已知直线 l⊥平面α ,直线 m ? 平面β , 有下面四个命题:① ? // ? ? l ? m ;② ? ? ? ? l // m ; ③ l // m ? ? ? ? ;④ l ? m ? ? // ? . 其中正确的两个命题是( A.①与② 考点精讲 【例 1】如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5 点 D 是 AB 的中 点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)设 BD1 的中 点为 F,求三棱锥 B1-BEF 的体积. B.①与③ C .②与④ )

D.③与④

A P 【例 2】 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P ? A B C D 中, B ? A C , A ? 平面 A B C D ,

且 P A ? A B ,点 E 是 P D 的中点.(Ⅰ)求证: A C ? P B ; (Ⅱ)求证: P B // 平面 A E C ; (Ⅲ)求四面体 B-AED 的体积.

【例 3】福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查 如图,四边形 ABCD 与 A ' ABB ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A ' A 的中点,

A ' A ⊥平面 ABCD

(I)计算:多面体 A'B'BAC 的体积; (II)求证: A ' C // 平面 BDE; (Ⅲ) 求证:平面 A ' AC ⊥平面 BDE.
B'

A'

E? A B C D

反思提炼 降维转化思想――将空间图形转化为平面图形. 数形结合思想――正确画图,识图,分析图,是解立体几何题的关键. 推理思想,运用定理的条件,进行结论的推理是立体几何证明的难点. 失分诊断 【例】由平面 ? 外一点 P 引平面的三条相等的斜线段,斜足分别为 ABC,O 为⊿ABC 的 外心,求证: O P ? ? . 【错解】因为 O 为⊿ABC 的外心,所以 OA=OB=OC,又因为 PA=PB=PC,PO 公用, 所以⊿POA,⊿POB,⊿POC 都全等,所以 ? POA= ? POB= ? POC=RT ? ,所以 O P ? ? . 错解分析:上述解法中 ? POA= ? POB= ? POC=RT ? ,是对的,但它们为什么是直角 呢?这里缺少必要的证明. 【正解】取 BC 的中点 D,连 PD,OD,
? P B ? P C , O B ? O C ,? B C ? P D , B C ? O D ,? B C ? 面 P O D ,? B C ? P O , 同 理 AB ? PO, PO ? ? . ?

巩固训练 1.(山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研文科)设 l,m,n 为三条不同的直线,α 、β 为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是( ) ① 若 l⊥α ,m∥β ,α ⊥β 则 l⊥m ② 若 m ? ? , n ? ? , l ? m , l ? n , l⊥α 则

③ 若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α ④ 若 l∥m,m⊥α ,n⊥β ,α ∥β ,则 l∥n A.1 B.2 C.3 D.4 2.(上海卷)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同 一平面上”的 ( ) A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C .充要条件 D. 非充分非必要条件 3.(山东省临沂市 2011 年 3 月高三第一次教学质量检测理科)已知三条不重合的直线 m、n、 l 两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ①若 l / / ? , m / / ? , 且 ? / / ? , 则 l / / m ② 若 l ? ? , m ? ? ,且 l / /m,则 ? / /? ③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? , 则 ? / / ? ④若 ? ? ? ,? ? ? ? m , n ? ? , n ? m , 则 n ? ? 其中真命题的个数是( ) A. 4 B. 3 C .2 D.1 4. (北京卷)平面 ? 的斜线 A B 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 A B 垂直,且交 ? 于 点 C ,则动点 C 的轨迹是( ) A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支 5.给出下列关于互不相同的直线 m , n , l 和平面 ? , ? 的四个命题: ① m ? ? , l ? ? ? A,点 A ? m , 则 l 与 m 不 共 面 ; l 、 m 是 异 面 直 线 ,
l // ? , m // ? , 且 n ? l , n ? m , 则 n ? ? ;

② l // ? , m // ? , ? // ? , 则 l // m ; ③ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点 A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? 其中为假命题的是( ) A. ① B. ② C. ③ D.④ 6. 在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的 ... 是( ) A .BC//平面 PDF B.DF⊥平面 PA E C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 7. (安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测理科)设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、
? 是两个不同平面,则下列命题错误的是( ..

) B. 若 a ? ? , b // a , b ? ? ,则 ? ? ? D. 若 a // ? , a // ? ,则 ? // ?

A .若 a ? ? , b // ? ,则 a ? b C. 若 a ? ? , b ? ? , ? // ? ,则 a // b
8. (2011年5月份青岛市高考模拟试题)

.. 设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中错误的为( ) A.若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? C.若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? B.若 a // ? , a ? ? ,则 ? ? ? D.若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

9.(2011 年 5 月份淄博市高考模拟试题)下列命题中,正确的是( A. 直线 l ⊥平面 ? ,平面 β∥直线 l ,则 ? ⊥β



B .平面 ? ⊥平面 β,直线 m⊥平面 β,则 m∥ ? C .直线 l 是平面 ? 的一条斜线,且 l ? β,则 ? 与 β 必不垂直 D. 一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行 11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E 在 AA 1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1, (1)求证:E、B、F、D1 四点共面; D1 (2)若点 G 在 BC 上,BG=
2 3

A1 B1

,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:

C1

EM⊥平面 BCC1B1.

N
F M D H C G B

E A

A

D A F C

12.正方形 ABCD 的边长为 1,分别取 BC、CD 的中点 E、F,连接 AE、EF、AF,以 AE、EF、FA 为折痕,折叠这个正方形,使 B、C、 D 重合为一点 P,得到一个四面体 P-AEF, B (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面 APE⊥平面 APF.

P

F E

E

13.如图,已知△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC, 且 EC、BD 在平面 ABC 的同侧,M 为 EA 的中点,CE=CA=2BD, 求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA

E D M C A B

14.(2010 年 5 月份威海市高考模拟试题)知四棱锥 P ? A B C D 的直观图和三视图如图所 示, E 是 P B 的中点. (Ⅰ)求三棱锥 C ? P B D 的体积; (Ⅱ)若 F 是 B C 上任一点,求证: A E ? P F ; (Ⅲ)边 P C 上是否存在一点 M ,使 D M ∥平面 E A C ,试说明理由. P 2
1

2 2 左视图

E A D 2 B F C

主 视 图

1

俯 视 图


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