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优质课一等奖选修4-4第二讲


第二讲 参数方程

圆锥曲线的参数方程

椭圆的参数方程

复习

圆的参数方程

1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:

? x ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? r sin?
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程

:

? x ? a ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin?
3.椭圆的标准方程:

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

它的参数方程是什么样的?

如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, y 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, A 过点B作BM⊥AN,垂足为M, B M 设以Ox为始边,OA为终边的角为θ, O N x 点M的坐标是(x, y)。 那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为y。 由于点A, B均在角θ的终边上,由三角函数的定义有: 在椭圆的参数方程 x=ON= |OA|cosθ=acosθ, 常数a、b分别是椭 这是中心在原点O, 中,通常规定参数θ的 圆的长半轴长和短半轴 焦点在x轴上的椭圆的 y=NM= |OB|sinθ=bsinθ 范围为 长。 ? ? [0, 2? ) 参数方程。

? x ? a cos ? ? M的参数方程为? (?为参数 ) ? y ? b sin?

x2 y2 椭圆的标准方程: ? 2 ?1 2 a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程: ? (?为参数) ? y ? b sin ?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ, 不是∠MOX=φ.

y A
B O M N

φ
x

称为点M的离心角
y P θ O

圆的标准方程: x2+y2=r2

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

A x

小结

x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

x2 y2 ? 2 ?1 2 b a
? x ? b cos ? ? ? y ? a sin?

? x ? a cos ? 椭圆的参数方程:? ? y ? b sin?

在椭圆的参数方程中,常数a、 b分别是椭圆的 长半轴长和短半 轴长. a>b

?

——离心角

一般地: ? 0,2? ? ?

?

练习

把下列普通方程化为参数方程.

x2 y2 (1) ? ?1 4 9 x ? 2 cos ? (1) y ? 3sin ?

?

y2 2 (2) x ? ?1 16 x ? cos ? (2) y ? 4sin ?

?

把下列参数方程化为普通方程

? x ? 3 cos ? (3) ? ? y ? 5 sin ?

? x ? 8 cos ? (4) ? ? y ? 10 sin ?

(3)

x 9

2

?

y2 25

?1

(4)

x 64

2

?

y2 100

?1

练习

? x ? 3 cos ? O是坐标原点,P是椭圆? y ? 2 sin? (?为参数 ) ?



离心角为-π/6所对应的点,那么直线OP的倾角的正切值 是 .
解:把 ? ? ? 可得P点坐标 (
?
? x ? 3 cos ? 代入椭圆参数方程 ? y ? 2 sin? 6 ?

3 3 , ?1) 2

所以直线OP的倾角的正切值是:
2 3 tan ? ? ?? 9 3 3 2 ?1

例1、如图,在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上求一点M,使M 9 4
y

到直线 l:x+2y-10=0的距离最小.
解:因为椭圆的参数方程为 ? x ? 3cos ? (? 为参数), ? ? y ? 2sin ? 所以可设点M的坐标为 (3cos ? , 2sin ? )

O

x

M

由点到直线的距离公式,得到点M到直线的距离为

d min ? 5

例1、如图,在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上求一点M,(1)使 9 4

M到直线 l :x+2y-10=0的距离最小.

的最大值和最小值;

x2 y2 ? ? 1上点M(x, y),(2)求2x+3y 例1、已知椭圆 9 4

例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线 l:x-y+4=0的距离最小. 分析1: P ( ? 8 ? 8y 2 , y ), 设 y

则d ?

| ? 8 ? 8y 2 ? y ? 4 | 2
O P x

分析2:设P(2 2 cos ?, sin?),

则d ?

| 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 2

分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

x2 y2 例3、已知椭圆 100 ? 64 ? 1 有一内接矩形ABCD, Y 求矩形ABCD的最大面积。 y
D

B2

A

A1

F1
C

O

F2
B

X A2 X

B1

练习 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正 半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边 形OAPB的面积最大.

例4 矩形的面积及周长的最大值。

x2 y2 求椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内接

解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A(a cos ?,b sin? ) (0 ? ? ? ? ) 矩形面积和周长分别是S、L
2

S ? 4 | FA | ? | EA |? 4a cos ? ? b sin? ? 2absin2? ? 2ab

当且仅当a ?

?
4

时, Smax ? 2ab,

L ? 4(| FA | ? | EA |) ? 4a cos ? ? 4b sin? ? 4 a 2 ? b 2

Lmax ? 4 a 2 ? b 2

此时α存在。

例5 四边形ABCD内接于椭圆 D分别位于椭圆第一象限与第三象限 值。
x2 y2 ? ? 1 其中点A(3,0),C(0,4),B、 9 16

的弧上。求四边形ABCD面积的最大

例6 θ取一切实数时,连接 A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ) 两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

x2 y2 例7 已知点A在椭圆 144 ? 36 ? 1 上运动,点B(0, 9)、 点M在线段AB上,且 AM ? 1 ,试求动点M的轨迹方程。 MB 2

6 解:由题意知B(0, 9), 设A(12cos ?,sin? ),并且设M(x, y)
1 1 x A ? x B 12 cos ? ? ? 0 2 2 x? ? ? 8 cos ?, 1 1 1? 1? 2 2
y? yA ? 1 1 y B 6 sin? ? ? 9 2 2 ? ? 4 sin? ? 3 1 1 1? 1? 2 2

? x ? 8 cos ? ? ? y ? 4 sin? ? 3

(α是参数)

消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:
x 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 64 16

例6 椭圆

O为坐标原点, 若这个椭圆上存在点P,使得OP⊥AP。
求该椭圆的离心率e的取值范围。 解:设椭圆上的点P的坐标是(a cos ?,b sin? ) (α≠0且α≠π), A(a, 0)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与x轴的正向相交于点A, 2 a b

b sin? ? 0 b sin? kOP ? ,k AP ? a cos ? ? a 而OP⊥AP, a cos ? b sin? b sin? ? 0 ? (a 2 ? b 2 ) cos 2 ? ? a 2 cos ? ? b 2 ? 0 ? ? ?1 a cos ? a cos ? ? a b2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 (舍去), 2
a ?b

因为? 1 ? cos ? ? 1
1 ? e2 可转化为 ? 1 ? e 2 ? 1

b2 所以? 1 ? 2 2 ? 1 a ?b

e2 ? 解得

1 2

2 ?e?1 于是 2

练习: 1 θ取一切实数时,连接 A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段 B. 的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

设中点M (x, y)

x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

x2 y2 ? ?2 4 9

2、已知圆的方程为x 2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin? ? 3 cos 2 ? ? 0, (?为参数 ),那么圆心的轨迹的普通方程为 __________ ____?

化为( x ? 2 cos ? ) ? ( y ? sin? ) ? 1 {
2 2

x ? 2 cos ? y ? sin?

(?为参数 )

x 化为普通方程是 ? y2 ? 1 4

2

3、求定点( 2a ,0)和椭圆{ 中点轨迹方程。

x ? a cos ? y ? b sin?

(?为参数 )上各点连线的

解:设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y )
2a ? a cos ? x? 2 则{ (?为参数 ) b sin? y? 2 ( x ? a )2 y 2 上述的方程消去参数,得 ? 2 ?1 2 a b 4 4

4、P是椭圆{

x ? 4 cos ? y ? 2 3 sin?

(?为参数 )上一点,且在第一象限 ,

OP (O为原点)的倾斜角为 ,则点P的坐标为( 3 4 4 (2 ( A、 ,3), B、 5 , 15 ) C、 3 , 3 ), (2 5 5

?

B )
D、 ,3) (4

解: OP的倾斜角为 ? kOP ? tan ? 3 ? 3 3
又kOP ?
2

?

?

y 2 3 sin? ? ? 3 x 4 cos ?
2

?sin? ? 2 cos?
? cos ? ? 5 2 5 , sin? ? 5 5

又 sin ? ? cos ? ? 1, 且点P在第一象限

4 5 4 15 x ? 4 cos ? ? , y ? 2 3 sin? ? 5 5

双曲线的参数方程

研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b



的参数方程

以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1,C2. y B' 设A为圆C1上任一点, 作直线OA, M A 过A作圆C1的切线AA'与x交于点A', ? x O B A' 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的 切线BB'与直线OA交于点B'。 过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M, 设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2) 求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。

因为点A在圆C1上, 由圆的参数方程得点

A的坐标为?a cos ? , b sin? ?,
所以OA ? ?a cos ? , b sin? ?,

y
B' A O M B A' x

AA` ? ? x ? a cos ? ,? a sin? ? 因为OA ? AA`,

?

所以OA ? AA` ? 0, 从而

a cos ? ? x ? a cos ? ? ? ?a sin? ?

2

? 0.解得 x ?

a .记 cos ?

1 ? sec? , 则x ? a sec? . 因为点B`在角?的终边上, cos ?

y 由三角函数定义有 tan ? ? ,即y ? b tan ? .所以, 点M的轨迹的参数方程为 b x ? a sec? , 1 sin2 ? 即sec2 ? ? tan 2 ? ? 1, ? ? 因为 cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1, y ? b tan ? . ? 为参数

所以, 从③消去参数? 后得到点M的轨迹的普通方程为②, 这是中心在原点, 焦点在x轴上的双曲线. ? 3? 通常规定参数?的范围为? ? ?0,2? ?, 且? ? , ? ? .
2 2

y

事实上 设M ( x, y )

a

A

B'

?M
A' x

| OA ' |?

在?OAA '中,x ? a | OA |
cos ? ?

?
o B

cos ?

? a ? sec?,

b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.
? x ? a sec ? 所以M 的轨迹方程是 ? (?为参数 ) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

练习: 1.已知参数方程

x?t?

化为普通方程, 画出方程的曲线. x ? a sec ? ? ? (? 是参数, ? ? ? ? ) 2.参数方程 y ? b tan ? 2 2 表示什么曲线?画出图形. x ? 2 3 sec? 3、求双曲线{ 的两个焦点坐标。 y ? 4 3 tan ?
2 4、双曲线{ x ? 3sec ? y ? tan ?

1 t 1 y?t? t

(t 是参数, t >0)

(?2 15, 0)
1 y?? x 3

(?为参数)的渐近线方程为 _______

例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2-y2=1上点的最小距离。
x2 y2 例 2 如图,设 M 为双曲线 2 ? 2 ? 1?a , b ? 0? 上任意一点 , a b O为原点, 过点M 作双曲线两渐近线的平 行线 , 分别与两渐 近线交于A, B两点.探求平行四边形MAOB 的面积 ,由此可 以发现什么结论?
y

A M
O

x
B

b 解 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x . a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为 ?a sec? , b tan ? ?,
b y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec? ) 则直线MA的方程为 a b 把y ? x代入 解得点A的横坐标为 a a
A M
O

xA ?

a 同理B点横坐标x B ? (sec? ? tan ? ) 2 b ? tan ? ? 设?AOx ? a 平行四边形MAOB的面积为
xA xB S平 行 四 边 形 ? ? sin2? MAOB ?| OA | ? | OB | sin 2? ? cos ? cos ? 2 a a 2 b ab a 2 ?sec2 ? ? tan 2 ? ? ? tan ? ? ? ? . ? ? sin 2? ? 2 4 cos ? 2 2 a 2
a

2

(sec? ? tan ? )

x
B

由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值, 与点M在双曲线上的位置无关

x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的参数方程为: 2 a b

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

说明:

? 3? 通常规定? ?[0, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2

⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾 斜角不同.

恒等式 sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的 参数方程的实质是三角代换.

x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 a 2 ? b 2 ? 1 与三角 2 2

例1、已知圆O : x ? ( y ? 2) ? 1上一点 P 与双曲线 例3
2 2

x 2 ? y 2 ? 1上一点 Q ,求 P、Q 两点距离的最小值

解:设双曲线上点的坐标为Q (sec? , tan ? ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ ? sec 2 ? ? (tan ? ? 2) 2
2

? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2(tan ? ? 1) ? 3
2 2 2

5? ?当 tan ? ? 1, 即? ? 或 时, OQ min ? 3 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1

?

例4 求证:等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点 所张的角均为直角。
y

x2 ? y2 ? a2 证明:设双曲线方程为

A A1

B
O A2 x

取顶点A2(a, 0), 弦AB ∥Ox,

B(a sec? , a tan ? ),
k A2 A

则A(?a sec? , a tan ? )
,

a tan ? a tan ? ? , k BA ? 2 ? a sec? ? a a sec? ? a

k A2 A ? k BA 2 ? ?1

∴弦AB对A1张直角, 同理对A2也张直角.

例5 同支上相异两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于 y · A ( x0 ,0) ,求证: 2 2 点P a ?b
a 解:设A,B坐标分别为(a sec? , b tan ? ) (a sec ? , b tan ? ) | x0 |?
M O · B

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 已知双曲线, b A,B是双曲线 a

x

a b ( (sec? ? sec ? )), (tan ? ? tan ? )) 则中点为M 2 2

于是线段AB中垂线方程为
b a(sec? ? sec ? ) ? a ? y ? (tan ? ? tan ? ) ? ? x ? (sec? ? sec ? )? 2 b(tan ? ? tan ? ) ? 2 ? ?

a 2 ? b2 将P ( x0 , 0)代入上式,∴x0 ? 2a (sec? ? sec ? )

? sec? ? sec? |

a 2 ? b2 |? 2 (∵A,B相异), | x0 |? a

例6 求证:等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距 离之积是常数。

例3.设P是双曲线b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ( a ? 0, b ? 0)上任意一点, 过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交 a 2 ? b2 于点Q和R,求证: PQ PR ? 4

抛物线的参数方程

前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:
? x ? 100t 1000 ? ) ? 1 2 ( t为参数,且0 ? t ? g ? y ? 500 ? 2 gt ?

对于一般抛物线,怎样建立参数方程呢? 以抛物线的普通方程
y 2 ? 2 px
A O Y M F X

为例,其中p为焦点到准线的距离。

设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点,以射线 OM为终边的角记作α
) 显然,当α在 ( ? 2 , 2 内变化时,点M 在抛物线上运动,并且对于α的每一个值, 在抛物线上都有唯一的点M与之对应,因 此,可以取α为参数来探求抛物线的参数 方程.

? ?

因为点M在α的终边上,根据三角函数定义可得
y ? tan ? x

y 2 ? 2 px 由方程
2p ? x? ? ? tan 2 ? ? ?y ? 2p ? tan ? ?

(α为参数)

这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.

2p ? x? ? ? tan 2 ? ? ?y ? 2p ? tan ? ?

(α为参数)
1 如果令 t ? tan ?

t ? ( ??,0) ? (0,??)

? x ? 2 pt 2 则有 ? (t为参数) ? y ? 2 pt

当t=0时,上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0), 因此,当 t ? ( ??,??) 时,

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt
就表示整条抛物线.参数 t 表示抛物线上除顶点外 的任意一点与原点连线的斜率的倒数.

练习
1、若曲线{

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt

( t为参数 )上异于原点的不同两点M 1,M 2

所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦M 1 M 2所在直线的斜率是( C ) A、t1 ? t 2 , 1 B、t1 ? t 2, C、 , t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,
则可得点M1和M 2的坐标分别为
2 M1 (2 pt12 ,2 pt1 ), M 2 (2 pt 2 ,2 pt 2 ), 2 pt1 ? 2 pt 2 1 ? k M1 M 2 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt 2 t1 ? t 2

2、设M为抛物线y 2 ? 2 x上的动点,给定点 M 0 ( ?1,0), 点P为线段M 0 M的中点,求点 P的轨迹方程。

例1 如图,O为原点,A,B为抛物线y ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB于M,求 点M的轨迹方程.
2

解:设点M , A, B的坐标分别为 x, y) (
2 ( 2 pt12 ,2 pt1 ), ( 2 pt2 ,2 pt2 )( t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)
2 则OM ? ( x , y ), OA ? ( 2 pt ,2 pt1 ), OB ? ( 2 pt 2 ,2 pt 2 )
?

?

?

2 1

?

AB ? ( 2 p( t ? t ), 2 p( t 2 ? t1 )) 因为OA ? OB , 所以 OA? OB ? 0,
2 2 2 1

?

?

?

?

2 ? 2 px( t 2 ? t12 ) ? 2 py( t 2 ? t1 ) ? 0 由OM ? AB, 所以 OM ? OB ? 0,

?

即(2 pt1t 2 )2 ? (2 p)2 t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1
? ? ?

? y ? x(t1 ? t 2 ) ? y ? 0, 即t1 ? t 2 ? ? ( x ? 0) ? AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ), x

2 MB ? ( 2 pt2 ? x ,2 pt2 ? y )且A, M , B三点共线,

?

2 ? ( x ? 2 pt12 )( 2 pt2 ? y ) ? ( 2 pt2 ? x )( y ? 2 pt1 )

y 化简,得y(t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0 ? y( ? ) ? 2 p ? x ? 0 x

即x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)这就是点M的轨迹方程

当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小?最小值是多少?
? OA= ( 2 pt12 ) 2 ? ( 2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
2 2 OB ? ( 2 pt2 ) 2 ? ( 2 pt2 ) 2 ? 2 p t 2 t 2 ? 1

? S ?AOB ? 2 p t1 t 2
2

2 ? 2 p 2 t12 ? t 2 ? 2 ( t ? 1) ? ( t ? 1)
2 1 2 2

? 2p

2

? 4 p2 ( t1 ? t 2 ) ? 4
2

当且仅当t1 ? ? t 2,即当点A, B关于x轴对称时, 2 ?AOB的面积最小,最小值为 4 p .

(法2 )设A(2 pt1 ,2 pt1 ), B( 2 pt2 ,2 pt2 ) 则以OA为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 pt1 x ? 2 pt1 y ? 0
2

2

2

以OB为直径的圆的方程为 x ? y ? 2 pt2 x ? 2 pt2 y ? 0
2 2 2

即t1 , t 2为方程 2 pxt ? 2 pyt ? x ? y ? 0
2 2 2

? ( x2 ? y2 ) 的两根, t1 t 2 ? ? ? ?1 2 px ? x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) ? 另一个交点Q的轨迹方程是以( p,0 ) 为圆心,p为半径的圆(除去(0,0 )点)

线C2: y2=6(x-3/2);若C1∩C2≠φ,求m的取值范围。
代入得 cos2φ+4cos φ+2m-1=0

? x ? m ? 2 cos ? 练习 已知椭圆C1: ? (?为参数 ) 及抛物 ? y ? 3 sin?

所以

t2+4t+2m-1=0

在[-1, 1]内有解;

练习 3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点, 且BC与x轴垂直,直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点,求证:抛物线的顶点平分DE.
2 证明:设点A, B的坐标分别为(2 pt12 ,2 pt1 )( 2 pt2 ,2 pt2 ),
2 则点C的坐标为( 2 pt2 ,?2 pt2 )

所以点D的坐标为(?2 pt1t 2 ,0)

1 直线AB的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2
直线AC的方程为y ? 2 pt1 ? 1 ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2

所以E的坐标为( 2 pt1t 2 ,0)

因为DE的中点为原点(0,0), 所以抛物线的顶点O平分线段DE。

4 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相 垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线 段AB的中点M的参数方程。
1 解:直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为 y ? - x k 2p 2p 由y2=2px和y=kx,得 A点坐标为 ( 2 , ) k k

同理B点坐标(2pk2,-2pk)
2p ? 2 pk 2 p k2 x? ? 2 ? pk 2 , 2 k

设点M的坐标为( x, y )则
2p ? 2 pk p k y? ? ? pk 2 k

所以,线段AB的中点M的轨迹的参数方程是
p x ? 2 ? pk 2 k { ( k为参数 ) p y ? ? pk k

点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点, O为椭圆的中心,求证:|OP|· |OQ|为定值。

x2 y2 5 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 上任意一点M,(除短轴端 a b

练习 对于一切实数,若
直线 y ? kx ? 1

恒有公共点,则m的范围是: A (1,5)

? x ? 5 cos ? 与曲线 ? (m ? 0,?为参数) ? ? y ? m sin? ?

B (0,5) C ?1,5? ? ?5,???

D ?1,???

直线恒过 ( 0,1)点 当直线与曲线恒有公共点时,必满足
m ?1

m?1


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