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福建省漳州市七校2013届高三5月第四次联考数学文试题


福建省漳州市七校 2013 届高三 5 月第四次联考数 学文试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求.
?1 2 ? M ? ?? 1, i ?, N ? ? , i ? ?i ? (i 为虚数单位)则 M ? N 等于( 1.若集合



A. ?

B. ?? 1?

C. ?i ?

D. ?? 1, i ?

2.“2<x<3”是“x(x-5)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 6 场比赛得分情况用茎叶图 记录,下列四个结论中,不正确的是( ) A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 4.圆 x ? y ? a x ? 2 ? 0 与直线 l 相切于点 A ( 3 ,1) ,则直线 l 的方程为(
2 2



A. x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 ) A. 75° B. 60°

5. 已知锐角 ? A B C 的面积为 3 3 , B C ? 4 , C A ? 3 ,则角 C 的大小为( C. 45° D.30°

6. 已知向量 p ? ? 2 , ? 1 ? , q ? x , ? 2 ? ,且 x ? ?? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 ? ,则 p / / q 成立的概率为(
2

1



A. 5

2

3

4

B. 5

C. 5

D. 5

7.已知 a,b 是两条不重合的直线,α 是一个平面,有以下四个命题: ①a∥b,b?α?a∥α; ②a∥α,b?α?a∥b; ③a∥α,b∥α?a∥b; ④a∥b,a∥α,b?α?b∥α. 其中,真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
x
2 2

?

y b

2 2

?1

10

8.已知双曲线

a

的一个焦点与抛物线 )

y ? 4 10 x
2

的焦点重合,且双曲线的离心率等于 3

,则

该双曲线的方程为(
x ?
2

y

2

?1

A.


9

B.

x ? y ?1
2 2

1第

x

2

? y ?1
2

x

2

?

y

2

?1

C. 9

D. 9

9

?2 x ? y ? 10 ? ?x ? y ? 2 ?x ? 3 9. 设实数 x 、 y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? y 的最小值为(



A. 4

B. 5

C. 6

D. 7
x n ( n ? 1)
5

10 已知数列{
7

an
13

a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ?

}中,
11

, 其中, 实数 x 能使 4 , 2 , x 成等比, 则

a6

等于 (

) 6 A.

B. 6

C. 6
y ? 1 og
2

D. 6
x

11. 函数

x

的图象大致是(



A B C D 12.规定:点 P 与图形 C 上点的距离的最小值称为点 P 与图形 C 的距离。若点 P 与定圆 C 的距离等于点 P 与定点 Q 的距离,则点的轨迹不可能是( ) A. 直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线的一支 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机 编号 1—50 号,并分组,第一组 1—5 号,第二组 6—10 号,……,第十组 46—50 号,若在第三组中抽得 号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为 的学生. 14. 已知函数 f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 2x-3y+1=0,则 f(1)+f′(1)= .
a ? b ? a ? b ? sin ?

15.定义: 于 .

,其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角,若

a ? 2, b ? 5, a ? b ? ? 6

,则

a?b



16. 已知函数

3 ? 1 x x ? 2 ?( ) ? f (x) ? ? 2 4 ? log x 0 ? x ? 2 2 ?

,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围

是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 某园林局对 1000 株树木的生长情况进行调查, 其中杉树 600 株, 槐树 400 株 .现用分层抽样方法从这 1000 株树木中随机抽取 100 株,杉树与槐树的树干周长(单位:cm)的抽查结果如下表: 树干周长 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) (单位:cm )
页 2第



树 槐 树

6 4

19 20

21
y

x

6

(I)求 x , y 值及估计槐树树干周长的众数; (Ⅱ)如果杉树的树干周长超过 60cm 就可以砍伐,请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株? (Ⅲ)树干周长在 30cm 到 40cm 之间的 4 株槐树有 1 株患虫害,现要对这 4 株树任选 2 株进行排查.求所 抽取的 2 株中恰有 1 株患虫害的概率. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)若
? ?
?

3 sin 2 x ? 2 sin

2

x ? sin ? ? cos

2

?

?
6

,试求

f (x)

的单调递增区间;

(Ⅱ)若 3 ,求实数 m 的最大值. 19.(本小题满分 12 分) 已知底面 ABCD 为矩形的四棱锥 P—ABCD 中, 其正视图 是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形,侧视图和俯 视图如图所示。 (Ⅰ)求证: AD ? PC (Ⅱ)求四棱锥 P—ABCD 的体积及侧面 PAB 的面积 20. (本小题满分 12 分) 已知数列

f(

) ? m 对 ? ? ? R 恒成立

?a n ? , ?b n ? 满足以下条件: ( a

1

, b1 ) ? (1,10 ), ( a n ? 1 , b n ? 1 ) ? ( a n ? 1,10 ? b n )

(Ⅰ)求数列

?a n ? , ?b n ? 的通项公式;
Pn ( n . Sn an )

?lg b n ? 的前 n 项和为 S n ,点 (Ⅱ)记数列

。是否存在不同的三点

Pm , Pn , Pt ( m , n , t ? N )

?

,使它

们构成一个等腰直角三角形?若存在,求出这三点;若不存在,请说明理由。
2 21. 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ? 4 ln x 的极値点为 1 和 2.

(I)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)是否存在实数 c,使方程 f ( x ) ? 0 有三个不同的解,且这三个解按从小到大 的顺序成公比为 2 的等比数列,若存在,求出实数 c 的值,若不存在,请说明理由。 22. 抛物线有光学性质,由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今 41 有抛物线 y2=2px(p>0),一光源在点 M( ,4) 4 于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点 P, 点 Q,再折射后,又沿平行于抛物线的对称轴的 2x-4y-17=0 上的点 N, 再折射后又射回点 M. (1)设 P、Q 两点的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) , 处,由其发出的光线沿平行 折 射后又射 向抛物线 上的 方向射出,途中遇到直线 l: (如图所示) 证明: y 1 y 2 ? ? p ;
2

(2)求抛物线的方程; (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点 M 关于 PN 所在的直线对称?若存在,请求出此点的坐 标;若不存在,请说明理由.
页 3第

2012---2013 年高三毕业班联考
数学(文科)评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题 号 答 案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 B 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.37 14.
5 3

15.8

16.

(

3 4

,1 )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)按分层抽样方法随机抽取 100 株,可得槐树为 40,杉树 60 株
? x ? 60 ? 6 ? 19 ? 21 ? 14 , y ? 40 ? 4 ? 20 ? 6 ? 10 .

估计槐树树干周长的众数为 45cm…………4 分
14 ? 600 ? 140

(Ⅱ) 6 0 (Ⅲ) 4 株槐树为 设 ( (
B1 , B 3 B3 , D

,估计该片园林可以砍伐的杉树有 140 株…………6 分
B1



B2



B3

、D , D 为有虫害的那株, 设 则从 4 株抽取 2 株的基本事件为: ( )

B1 , B 2



) (

B1 , D

) (

B 2 , B3

) (

B2 , D

) ,共 6 个
B1 , D

设事件 A: 所抽取的 2 株中恰有株 1 株患虫害,事件 A 包含(
? P ( A) ? 3 6 ? 1 2 …………12 分

) (

B2 , D

) (

B3 , D

)3 个。

18. (本小题满分 12 分)
? ? ?
6 时,
3 s i n2 x ? 2 s i n x ?
2

f (x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin

2

x ? sin

?
6

? cos

2

?
6
?
6 )? 1 4

解: (I)当
?
2 k? ?

5 4

?

3 s i n2 x ? c o s2 x ?
k? ?

1 4

? 2s in2x ? (

?
2

所以当 即函数


? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

?
3

,即

? x ? k? ?
? ?(k ? Z ) ?

?
6

(k ? Z )

时函数

f (x)

单调递增,

f (x)

? ? ? ?k? ? 3 , k? ? 6 ? 单调递增区间为

…………6 分
4第

(Ⅱ)

f(

?
3

)?

3 sin

2? 3

? 2 sin

2

?
3

? sin ? ? cos

2

? ? sin ? ? 1 ? sin ?
2

记 g (? ) ? 只需

? sin

2

? ? sin ? ? 1

,要使 g (? ) ? m 对 ? ? ? R 恒成立
1 2 )
2

g (? ) min ? m

? g (? ) ? ? (sin ? ?

?

5 4

, 且 sin ? ? ?? 1,1 ?

,所以当 sin

? ? ? 1时, g ( ? ) 取到最小值

-1



所以? m

? ? 1,即 m 的最大值为

- 1 ………12



19.(本小题满分 12 分) (I)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正投影是线 点 E, 连 接 PE, 则
PE ? 平面 ABCD

段 CD 的中



? AD ? 平面 ABCD , AD ?

? AD ? CD , CD ? PE ? E , CD ? 平面 PCD , PE ? 平面 PCD

? AD ? 平面 ABCD



P C ? 平面 P CD

。 …………5

分 (Ⅱ)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中, PC 在 Rt ? PED 中, PE
? PD
2

? PD ? 3 , DE ? EC ? 2

? DE

2

?

5

,依题意得 EF
1 3

? AD ? 2 , AB ? CD ? 4

1

所以四棱锥 P—ABCD 的体积为 3 过 E 作 EF
? AB , 垂足为 F , 连结 PF

S ABCD ? PE ?

?4?2?

5 ?

8 5 3



,? PE

? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD

所以 AB ? PE 。 因为 EF 因为 PF
? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , EF ? PE ? E ,

所以 AB

? 平面 PEF

? 平面 PEF , AB ? PF .

在 Rt ? PEF 中

2 , PE ? P E ? E F ? 3 ,所以 所以四棱锥 P—ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6。………12 分
2 2

? P AB 的面积为

S?

1

? AB ? PF ? 6

20.(本小题满分 12 分) 解: (I)? a n ?1
? a n ? 1, b n ? 1 ? 10 b n , 且 a 1 ? b1 ? 1

,所以数列

?a n ? 是首项为 1,公差为

1 的等差数列,数列 于是,

?b n ? 是首项为 10,公比为 10 的等比数列,
n ?1

a n ? n , b n ? 10 ? 10

? 10

n

…………6 分
n ?n
2

lg b n ? n , S n ?

n (1 ? n ) 2

?

n ?n
2

,?

Sn an

?

(Ⅱ)由(I)得


2

2 n

?

1 2

n?

1 2

5第

?Sn ? ? ? a 显然数列 ? n ?

1

Pn ( n .

Sn an

)

是首项为 1,公差为 2 的等差数列,点

均在一条直线上

,故不存在三点,使它们构成一个等腰直角三角形。………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解: (I)
f ( x ) ? 2 ax ? b ?
'

4 x

?

2 ax

2

? bx ? 4 x

, x ? ( 0 , ?? )

2 由 y ? f ( x ) 的极値点为 1 和 2,所以 2 ax ? bx ? 4 ? 0 的根为 1 和 2,

所以

? 2 a ? b ? 4 ? 0, ? ? 8 a ? 2b ? 4 ? 0,

解得

? a ? 1, ? ? b ? -6 ,

……4 分

(Ⅱ)假设存在实数 c,使方程 f ( x ) ? 0 有三个不同的解符合题意, 设这三个解为 t,2t,4t.
? f(t) ? t 2 - 6t ? c ? 4lnt ? 0, ? 2 ? f(2t) ? 4t - 12t ? c ? 4ln2t ? 0, , 2 ? 2 t ? f(4t) ? 16 t - 24t ? c ? 4ln4t ? 0 . ? 3 则有 解得
? f( ? ? ? ? f( ? 由? 2 3 4 3 )? ? )? 32 9 56 9 ? c ? 4ln ? c ? 4ln 2 3 4 3 ? 0, ,. ? 0,
32 2 ? c? - 4ln , ? ? 9 3 ? ? c ? 56 - 4ln 4 ,. 9 3 ? 即?

32



? 4 ln

2 3

?

56 9

? 4 ln

4 3

9

故满足条件的实数 c 不存在。……12 分 22.(本小题满分 14 分) p 【解析】 (1)证明:由抛物线的光学性质及题意知,光线 PQ 必过抛物线的焦点 F( ,0),设直线 PQ 的方 2 p 程为 y=k(x- ).① 2 1 p 2p 由①式得 x= y+ ,将其代入抛物线的方程 y2=2px 中,整理得 y2- y-p2=0, k 2 k 由韦达定理得 y 1 y 2 ? ? p
2

p 2 当直线 PQ 的倾斜角为 90° 时,将 x= 代入抛物线方程得 y=± p,同样得到 y 1 y 2 ? ? p 2 (2)设光线 QN 经直线 l 反射后又射向 M 点,所以直线 MN 与直线 QN 关于直线 l 对称. 41 设点 M( ,4)关于 l 的对称点为 M′(x′,y′), 4

? ? 则? 41 x′+ y′+4 ?2· 2 4 -4· 2 -17=0 ?


y′-4 1 × =-1 41 2 x′- 4

?x′=51 ? 4 ,解得? . ?y′=-1 ?

直线 QN 的方程为 y=-1,Q 点的纵坐标为 y2=-1. 由题设 P 点的纵坐标为 y1=4, 由(1)知 y1y2=-p2,则 4× (-1)=-p2,得 p=2,
6第

故所求抛物线的方程为 y2=4x. (3) 将 y=4 代入 y2=4x 得 x=4, 1 故 P 点的坐标为(4,4),同理 Q( ,-1). 4 将 y=-1 代入直线 l 的方程 2x-4y-17=0, 13 13 得 x= ,故 N 点的坐标为( ,-1). 2 2 25 25 25 所以|MP|= ,|QN|= ,|PQ|= , 4 4 4 所以四边形 MPQN 为菱形,所以 M、Q 关于直线 PN 对称, 1 故抛物线上存在一点 Q( ,-1)与点 M 关于直线 PN 对称.……14 分 4



7第


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