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安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编:导数及其应用


安徽省各地 2015 届高三上最新考试数学理试题分类汇编

导数及其应用
一、选择题 1、(淮北市、亳州市 2015 届高三第一次模拟)若函数 f ( x) 的导函数是 f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则函 数 g ( x) ? f (a x ) (0<a<1)的单调递减区间是( A、 ?loga 3,0?,?1,??? B、?? ?, loga 3?, )

[0,??)

C、 a3 , a

?

?

D、?loga 3,1?

2、(宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测)已知 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2015? ) , 求则函数 f ( x) 的各极大值之和为

e 2? (1 ? e 2014 ? ) e 2? (1 ? e 2016 ? ) ( D ) 1 ? e 2? 1 ? e 2? ? 3、(江淮十校 2015 届高三 11 月联考)已知定义在 (0, ) 上的函数 f ( x ) , f '( x) 为其导函数,且 2
(A) (C)

e ? (1 ? e 2014? ) e ? (1 ? e 2016? ) ( B ) 1 ? e 2? 1 ? e 2?

f ( x) ? f '( x) ? tan x 恒成立,则(
A. 3 f ( ) ?

)

?

4

2 f ( ) B. 3 f ( ) ? f ( ) 3 6 3

?

?

?

C. 2 f ( ) ? f ( ) D. f (1) ? 2 f ( ) ? sin1

?

?

?

6

4

6

4、(皖江名校 2015 届高三 1 月联考)设函数 f(x)是定义域为 R 的可导函数,e 是自然对数的底 数,且 xf '( x) ln x ? f ( x) ,则 A、f(2015)<[f(2015e)-f(2015)]ln2015 B、f(2015)>[f(2015e)-f(2015)]ln2015 C、f(2015)<[ef(2015)-f(2015)]ln2015 D、f(2015)>[ef(2015)-f(2015)]ln2015 二、填空题 1、(合肥八中 2015 届高三第四次段考)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c 为常数)的导函数为
2

f '( x) ,且对任意 x ? R ,不等式 f ( x) ? f '( x) 恒成立,则

b2 的最大值为 a2 ? c2

三、解答题

1 、(蚌埠市 2015 届高三第一次质量检测)已知三次函数 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? ? 3x ? 3ax ,
2

? ? ? 若曲线 y ? f ? x? 在点 ? a ?1, f ? a ?1?? 处切线的斜率为 12 ,求 a 的值; ? ?? ? 若 f ? x ? 在区间 ??1,1? 上的最小值、最大值分别为 ?2 和 1 ,且 1 ? a ? 2 ,求函数 f ? x ? 的解析
式.

f ? 0? ? b , a 、 b 为实数.

2、(合肥市 2015 届高三第一次教学质量检测)设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(2 ? a) x, a ? R (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 y ? f ( x) 的图像与 x 轴相切于原点,当 0 ? x2 ? x1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 8

3、(淮北市、亳州市 2015 届高三第一次模拟)已知函数 g ? x ? ? (1)求函数 g ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

2 (3)若 ?x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

4











2015



























f ( x) ? ax ln x ? b(a, b为常数)在( 1,0)处切线方程为 y ? x ?1
(Ⅰ)试求 a, b 的值. (Ⅱ)若方程 f ( x) = m 有两不等实数根,求 m 的范围.
/ (Ⅲ) g ( x) ? f ( x), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )为y ? g ( x)曲线上不同两点 ,

记直线 AB 的斜率为 k,证明:

k ? g ?(

x1 ? x 2 ). 2

5、(黄山市 2015 届高三上学期第一次质量检测) 已知函数 f(x)= ax-1-1n x. (1)若 f(x)≥0 对任意的 x∈ (0,+ ? )恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求证:对任意的 x∈ N*,

n ?1
n

n!

<e(其中 e 为自然对数的底,e ? 2.71828)。

6、 (江南十校 2015 届高三上学期期末大联考)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax) ? ex ,其中 e 是自然对数 的底数, (I)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (II)当 x ? [0, ??) 时,求 f(经)取得最小值时 x 的值。

a 2 x ? bx ? ln x, 其中 a, b ? R. 2 (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 3 ,求实数 a , b 的值;
7、(宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测)设函数 f ? x ? ? (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论 f ( x)学科网 在其定义域上的单调性.

8、(宣城市 2015 届高三上学期期末考试)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e x ?1 (1)求函数 f(x)的最大值; (2)若 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ? ? x2 ? 0 ,求 ? 的取值范围。 9、(滁州市高级中学联谊会 2015 届高三上学期期末联考)设函数 f ? x ? ? ? a ? x ? e ?1( e 为自
x

然对数的底数). ? ? ? 当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最大值;

? ?? ? 当 x ?? ??,0? ?0, ??? 时,

f ? x? ? 1恒成立,证明: a ? 1 . x

10、(合肥八中 2015 届高三第四次段考)已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a 为常数)是 R 上的奇函数,函 数 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 [?1,1] 上的减函数. (Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 对任意 x ?[?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ )讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

11、(江淮名校 2015 届高三第二次联考)已知函数 f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数) (1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明: 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 1n(n ? 1)(n ? N * ) n 1 2 ax ? bx ,其中 a, b ? R . 3

12、(江淮十校 2015 届高三 11 月联考)已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? (1)若 f ( x) ? ? x ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(2)当 b ? ?

2 3 a 时,若 f ( x ? 1) ? g ( x) 对 x ? [0, ??) 恒成立,求 a 的最小值. 3 2

13、(皖江名校 2015 届高三 1 月联考)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (I)讨论函数 f(x)在其定义域内的单调性; (II)证明: ?

ax 。 x ?1

? 2015 ? ? ? 2014 ?
n

2015

>e(其中 e 自然对数的底数)。

(III)证明:

? i < ln n ( n ? N * , n ? 2 )。
i ?1

1

参考答案
一、选择题 1、B 2、A 3、B

f ( x) 4 、 A 【 解 析 】 设 g ( x) ? , 则 g ?( x) ? ln x

f ?( x) ln x ?

f ( x) x ? xf ?( x) ln x ? f ( x) , 因 为 2 (ln x) x(ln x) 2

xf ?( x) ln x ? f ( x) ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数,所以 g (2015) ? g (2015e) ,
于是

f (2015) f (2015e) f (2015e) ? ? ,整理可得 ln 2015 ln(2015e) 1+ ln 2015

f (2015) ? [ f (2015e) ? f (2015)]ln 2015 ,故选 A.
二、填空题 1、 2 2 ? 2

三、解答题 1、

2、

3、解:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x ) ?

x ? ax . ??1 分 ln x

(1)函数 g ?( x ) ?

ln x ? x ?

1 x ? ln x ? 1 , 2 (ln x) (ln x) 2

当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g ( x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e,??) . ??????4 分

1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. (2)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x)
所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)
? 1 ?a, ? ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 2? 4
2
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 ????????????7 分

(3)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. 由(Ⅱ),当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. 4
10 当 a ? 1 时,由(Ⅱ), f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为减函数,

????????????9 分

4

2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

20 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ?

4

?

1 ?1 ln x 2

? a 在 [e,e ] 上为增函数, ? ?1 4
2

2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a]学科网 . 4 (i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e 2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为增函数,

于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不合题意. 4 (ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知, 4

????????11 分

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?
x0 2 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意. 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 4、 ?????????????14 分

(Ⅲ)证 明:由 g ( x) ? 1 ? ln x , y1 ? 1 ? ln x1 , 从而 k ?

ln x2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1 2 , 即证: ? x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? x2 2( x2 ? x1 ) x2 ? x1

即证: ln x2 ? ln x1 ?

x2 ?1 x2 x1 x 2(t ? 1) ?2 即证: ln ,令 t ? 2 ? (1,??), 即证: ln t ? ????????10 分 x2 t ?1 x1 x1 ?1 x1
令 ? (t ) ? lnt ?
'

2(t ? 1) (t ? 1) t ?1

1 (t ? 1) ? (t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 ? 4t (t ? 1) 2 ? (t ) ? ? 2 ? ? ? ? ?0 t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) t (t ? 1) (t ? 1) 2

? (t ) ? ? (1) ? 0 ∴ ? (t )在(1,??)单增,
从而 ln t ? 5、

2(t ? 1) ∴原式得证?????????????.13 分 t ?1

6、

7、解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? 由题意得 f ?1? ?

a 2 ax2 ? bx ? 1 x ? bx ? ln x, x ? ?0,?? ? ,得 f ??x ? ? . 2 x

a ? b ? ?1 , f ??1? ? a ? b ? 1 ? 2 . 2 解得 a ? 8, b ? ?5 .
(Ⅱ)由 f ??x ? ?

???4 分

ax2 ? bx ? 1 , x ? ?0,??? . x bx ? 1 (1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? . x ①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ,所以 f ?x ? 在 ?0,??? 内单调递减. ????6 分 1 1 ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 时, f ?? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ?? x ? ? 0 . b b ? 1? ?1 ? 所以 f ?x ? 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,?? ? 内单调递增 ???8 分 ? b? ?b ? 2 ( 2)当 a ? 0 时,令 f ?? x ? ? 0 ,得 ax ? bx ? 1 ? 0 ,

? b ? b 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 4a , ( x1 ? 0, x2 ? 0 ) , x2 ? 2a 2a 当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ;当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 . 所以 f ?x ? 在 ?0, x2 ? 内单调递减,在 ?x2 ,??? 内单调递增.
因为 ? ? b ? 4a ? 0 , 解得 x1 ?
2

综上所述: 当 a ? 0 , b ? 0 时, f ?x ? 在 ?0,??? 单调递减; 当 a ? 0 , b ? 0 时, f ?x ? 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,?? ? 内单调递增; 当 a ? 0 时, f ?x ? 在 ? 0,

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? ?

2 ? ? ? b ? b 2 ? 4a ? ? 内单调递减,在 ? ? b ? b ? 4a ,?? ? 内单调递增. ? ? ? 2a 2a ? ? ?

???13 分 8、

9、解析:(Ⅰ)当 a=1 时,f ′(x)=-ex+(1-x)ex=-xex. 当 x>0 时,f ′(x)<0,f (x)在(0,+∞)上单调递减; 当 x<0 时,f ′(x)>0,f (x)在(-∞,0)上单调递增. 故 f (x)在 x=0 处取得最大值 f (0)=0.(5 分) x+1 f (x) (Ⅱ)①当 x∈(-∞,0)时, <1?(a-x)ex>x+1 即 a>x+ x , x e x+1 x 令 g(x)=x+ x ,g′(x)=1- x>0,则 g(x)在(-∞,0)上是增函数,g(x)<g(0)=1,a≥1. e e x+1 ex-x f (x) ②当 x∈(0,+∞)时, <1?(a-x)ex<x+1,a<x+ x ,由①知 g′(x)= x , x e e 令 h(x)=ex-x,h′(x)=ex-1>0,则 h(x)>h(0)=1,g′(x)>0,g(x)>g(0)=1,a≤1. 故 a=1.(13 分) 10、解:(I)? f ( x) ? ln(e ? a) 是奇函数,
x

? ln(e ? x ? a) ? ? ln(e x ? a)
? (e ? x ? a)(e x ? a) ? 1,

???1 分

?1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1,? a(e x ? e ? x ? a) ? 0 故 a=0
(II)由(I)知: f ( x) ? x,? g ( x) ? ?x ? sin x ,

????3 分

[

? g ( x)在[?1,1] 上单调递减,
? g ' ( x) ? ? ? cos x ? 0
? ? ? ? cos x 在[-1,1]上恒成立,? ? ? ?1
????5 分

[ g ( x)]max ? g (?1) ? ?? ? sin 1, ?只需 ? ? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1, ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 ),恒成立,
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(? ? ?1) , 则?

?t ? 1 ? 0

, 2 ?? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0

?t ? ?1 ?? 2 , 而t 2 ? t ? sin 1 ? 0 恒成立, ?t ? t ? sin 1 ? 0
? t ? ?1
(III)由 ????8 分

ln x ln x ? ? x 2 ? 2ex ? m. f ( x) x

????9 分

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m, x 1 ? ln x ? f1' ( x) ? , x2
令 f1 ( x) ? 当 x ? (0, e)时, f1 ( x) ? 0,
'
[来

? f1 ( x)在?0, e? 上为增函数;
当 x ? ?e,??? 时, f1 ( x) ? 0,
'

? f1 ( x)在?e,??? 为减函数;

当 x ? e时, [ f 1 ( x)] max ? f 1 (e) ? 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 ,

1 , e

[来

????11 分

1 1 ?当m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时, 方程无解; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? , 即m ? e ? 时,方程有一个根; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? 时, m ? e ? 时,方程有两个根. e e
x ? 11、解:(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a

????13 分

? 由f 得 x?lna. () x? e?? a0
x

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 . ........................................4 分
l n a

(2) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴

g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0.
................................................8 分

因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1
x

(3)由(2)得 e ? x ? 1 ,即 ln(x ? 1) ? x ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立,令 x ?

1 (k ? N ? ) k

1 1 1 1? k 1 ? ln(1 ? ) 即 ? ln( ) ,所以 ? ln(1 ? k ) ? ln k (k ? 1,2,...,n) k k k k k 1 1 1 ? 累加得 1 ? ? ? ... ? ? ln( n ? 1)( n ? N ) .........................................13 分 2 3 n 6 2 12、解:(1) f ( x) ? ? x ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x
则, 设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 则 g '( x) ? x x2 x2

7分

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ;
(2)当 b ? ?

10 分

2 a 时,构造函数 3 3 1 G ? x ? ? f ? x ? 1? ? g ? x ? ? ? x ? 1? ln ? x ? 1? ? ax 2 ? ax, x ? ? 0, ?? ? ,由题意有 G(x)≤0 对 x∈ 2 2
'

[0,+∞)恒成立,因为 G ? x ? ? ln ? x ?1? ?1 ? ax ? a, x ??0, ??? . (1)当 a≤0 时, G ' ? x ? ? ln ? x ?1? ?1 ? a ? x ?1? ? 0 ,所以 G(x)在[0,+∞)上单调递增,则 G(x)> G(0)=0 在(0,+∞)上成立,与题意矛盾. (2)当 a>0 时,令 ? ? x ? ? G ' ? x ? , x ? ? 0, ?? ? , 则? ' ? x ? ? ①当 a≥1 时, ? ' ? x ? ?

1 1 ? ? 0,1? ? a ,由于 x ?1 x ?1

1 ? a ? ?? ? ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减,所以 x ?1

? ? x? ? ? ? 0? ? 1? a ? 0, G ' ? x? ? 0在?0, ? ?? 上成立 ,所以 G(x)在[0,+∞)上单调递减,所以
G(x)≤G(0)=0 在[0,+∞)上成立,符合题意.

? ? 1 ?? ? a ? x ? ? ? 1? ? 1 ? ? a ? ? , x ? 0, ?? ,所以 ? x 在x ? ?0, 1 ? 1? 上 ?a ? ②当 0<a<1 时,? ' ? x ? ? ? ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 ? a ?
单调递增, 在 x ??

? 1 ? ?1 ? 因为 ? ? 0? ? 1 ? a ? 0 , 所以 ? ? x ? ? 0在x ? ?0, ? 1? 成 ? 1, ?? ? 上单调递减, ? a ? ?a ?
? 1 ? a ? ? ? 1 ? ? 1? 上单调递增,则 G(x)>G(0)=0 ? a ?

立,即 G ' ? x ? ? 0在x ? ?0, ? 1? 上成立,所以 G ? x ? 在 ?0,

在 x ? ? 0,

? ?

1 ? ? 1? 上成立,与题意矛盾. a ?

综上知 a 的最小值为 1. 其他合理方法也可. 13、【解】(I)显然函数 f(x)的定义域为(-1,+∞), 且 f ?( x) ?

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? ,……………………………2 分 x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

所以当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在其定义域内(-1,+∞)内单调递增, 当 a>0 时,函数在(-1,a-1)内单调递减,在(a-1,+∞)内单调递增.

………………………………4 分

? 2015 ? (II)因为 ? ? ? 2014 ?

2015

1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? e ? ln?1 ? ? ln?1 ? ?0 ?? ?? 2014 2015 2014 2015 ? ? ? ?
………………5 分

故只需证明此不等式成立即可. 构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ?

x ,其中 f (0) ? 0 . x ?1

由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ?

x 为增函数,………………6 分 x ?1

1 ? 1 ? 1 ? ? ? f (0) ? 0 . 即 f? ? ? ln?1 ? ?? 2014 ? 2015 ? 2014 ? ? 1 ? 1 ? ? 2015 ? ? 0 得证,所以 ? 故 ln?1 ? ?? ? 2014 ? 2015 ? ? 2014 ?
(3)由(2)知ln(x+1),对任意x>0恒成立,
2015

? e . …………………8 分

令x ?

1 1 n , 则 ? ln , 对任意n ? 2, n ? N ? 恒成立, n ?1 n n ?1

1 1 1 1 2 3 ? + + + + ? ln ? ln ? 2 3 4 n 1 2 2 3 n ? ln ? ? ln n 1 2 n ?1
n 1 即? ? ln n成立. i ?2 i

? ln

n n ?1

…………………13 分


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