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【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第八章 立体几何初步8-6 Word版含解析


基础达标检测 一、选择题 1. 已知 A(2,5, -6), 点 P 在 y 轴上, |PA|=7, 则点 P 的坐标是( A.(0,8,0) C.(0,8,0)或(0,2,0) [答案] C [解析] 点 P 在 y 轴上,可设为(0,y,0), 因为|PA|=7,A(2,5,-6), 所以 22+?y-5?2+62=7,解得 y=2 或 8. 2.在空间直角坐标系中,所有点

P(x,1,2)(x∈R)的集合表示( A.一条直线 B.平行于平面 xOy 的平面 C.平行于平面 xOz 的平面 D.两条直线 [答案] A [解析] 点 P 的 y 坐标与 z 坐标不变,只有 x 坐标发生变化,在空 间中表示一条直线. 3.(2014· 郑州模拟)A(-3,1,5),B(4,3,1)的中点坐标是( 1 A.(2,1,-2) C.(-12,3,5) [答案] B [解析] 设中点坐标为(x,y,z), 1 B.(2,2,3) 1 D.(2,3,2) ) ) B.(0,2,0) D.(0,-8,0) )

-3+4 1 1+3 5+1 则 x= 2 =2,y= 2 =2,z= 2 =3, 1 即中点坐标为(2,2,3). 4.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z),给出下列四条叙述: ①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x,-y,z); ②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x,-y,-z); ③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x,-y,z); ④点 P 关于原点的对称点的坐标是(-x,-y,-z). 其中正确的个数是( A.3 C.1 [答案] C [解析] ①②③不正确;类比平面直角坐标系中的对称问题,易知 ④正确. 5.在空间直角坐标系中,点 P(1,2,3)关于 x 轴对称的点的坐标为 ( ) A.(-1,2,3) C.(-1,-2,3) [答案] B [解析] 关于 x 轴对称的两点的横坐标相等,纵坐标、竖坐标分别 互为相反数. 6.点 M(x,y,z)在坐标平面 xOy 内的射影为 M1,M1 在坐标平面 yOz 内的射影为 M2,M2 在坐标平面 zOx 内的射影的坐标为( A.(-x,-y,-z) B.(x,y,z) ) B.(1,-2,-3) D.(-1,2,-3) ) B.2 D.0

C.(0,0,0) D.?
? ?x+y+z

3



x+y+z x+y+z? ? 3 , 3 ?

[答案] C [解析] 点 M(x,y,z)在平面 xOy 内的射影为 M1(x,y,0),M1 在平 面 yOz 内的射影为 M2(0, y,0), M2 在平面 xOz 内的射影为原点 O(0,0,0). 二、填空题 7.已知点 P 在 z 轴上,且满足|OP|=1(O 为坐标原点),则点 P 到 点 A(1,1,1)的距离为________. [答案] 2或 6

[解析] 设点 P 的坐标为(0,0,z), 由|OP|=1 得 z2=|z|=1,故 z=± 1. 当 z=1 时,点 P 的坐标为(0,0,1), |PA|= ?0-1?2+?0-1?2+?1-1?2= 2; 当 z=-1 时,点 P 的坐标为(0,0,-1), |PA|= ?0-1?2+?0-1?2+?-1-1?2= 6. 8.(2014· 无锡模拟)在 z 轴上求一点 A,使它到点 B(1,1,2)的距离为 3 2,则 A 点的坐标是______________. [答案] (0,0,6)或(0,0,-2) [解析] 设 A(0,0,a), 则|AB|= ?1-0?2+?1-0?2+?2-a?2=3 2, 即(a-2)2=16,∴a=6 或 a=-2, ∴A(0,0,6)或(0,0,-2). 9.已知 A(3,5,-7)和点 B(-2,4,3),则线段 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为________.

[答案]

101

[解析] 求线段 AB 在坐标平面 yOz 上的射影长,可先求 A、B 两 点在 yOz 上的射影,然后再用两点间距离公式, A(3,5,-7)在 yOz 上的射影是 A′(0,5,-7), B(-2,4,3)在 yOz 上的射影是 B′(0,4,3), 故|A′B′|= ?0-0?2+?5-4?2+?-7-3?2= 101. 三、解答题 10.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问: (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试 求出点 M 的坐标. [解析] (1)假设在 y 轴上存在点 M,满足|MA|=|MB|. 因为 M 在 y 轴上,所以可设 M(0,y,0),由 |MA|= |MB| ,可得 32+?-y?2+12= ?-1?2+y2+32,显然,此式对任意 y∈R 恒成立, 也就是说 y 轴上的所有点都满足|MA|=|MB|. (2)假设在 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知,y 轴上任一点都满足|MA|=|MB|, 所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形. 因为|MA|= ?3-0?2+?0-y?2+?1-0?2= 10+y2, |AB|= ?1-3?2+?0-0?2+?-3-1?2= 20, 所以 10+y2= 20,解得 y=± 10. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 为等边三角形, 点 M 的坐标为(0, 10, 0)或(0,- 10,0). 能力强化训练 一、选择题

1.已知点 A(1,2,-1),点 C 与点 A 关于 xOy 面对称,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,则|BC|的值为( A.2 5 C.2 2 [答案] B [解析] 点 C 的坐标为(1,2,1),点 B 的坐标为(1,-2,1),所以|BC| = ?1-1?2+?2+2?2+?1-1?2=4. 2.已知 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 z 轴上,且到 A、B 两点 间的距离相等,则 M 的坐标为( A.(-3,0,0) C.(0,0,-3) [答案] C [解析] 设点 M 的坐标为(0,0,z),则 12+02+(2-z)2=12+32+(1 -z)2, ∴z=-3,∴点 M 的坐标为(0,0,-3). 二、填空题 → 3.已知两点 M(3cosα,3sinα,1),N(2cosβ,2sinβ,1),则| MN| 的取值范围是____________. [答案] [1,5] → [解析] |MN|2=(3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2 =13-12(cosαcosβ+sinαsinβ)=13-12cos(α-β), → → 2 则 1≤|MN| ≤25,∴1≤|MN|≤5. 4.已知空间中的四个点 O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1).则 三棱锥 O—ABC 的体积是________. ) B.(0,-3,0) D.(0,0,3) ) B.4 D.2 7

1 [答案] 3 [解析] 如图,由题设知,O,A,B,C 为一正方体的四个顶点, 4 1 且该正方体的棱长为 1,其中 VO—ABC=V 正方体-4VD-ABC=1-6=3. 三、解答题 5.设点 P 在 x 轴上,它到 P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,- 1)的距离的 2 倍,求点 P 坐标. [解析] ∵P 在 x 轴上,∴设 P 点坐标为(x,0,0), ∵|PP1|=2|PP2|, ∴ ?x-0?2+?0- 2?2+?0-3?2 =2 ?x-0?2+?0-1?2+?0+1?2 ∴x=± 1,∴P 点为(1,0,0)和(-1,0,0). 6.

如图所示,在棱长为 2 的正方体 OABC-O1A1B1C1 的对角线 O1B 上有一点 P,棱 B1C1 上有一点 Q. (1)当 Q 为 B1C1 的中点,点 P 在对角线 O1B 上运动时,试求|PQ| 的最小值; (2)当 Q 在 B1C1 上运动, 点 P 在 O1B 上运动时, 试求|PQ|的最小值. [解析] (1)Q 为 B1C1 的中点,所以 Q(1,2,2),P 在 xOy 坐标平面上 的射影落在线段 OB 上,在 yOz 坐标平面上的射影落在线段 O1C 上,
? ?x=y ∴P 的坐标(x,y,z)满足? , ? ?y+z=2

设 P=(x,x,2-x),则 |PQ|= ?x-1?2+?x-2?2+?-x?2 = 3x2-6x+5= 3?x-1?2+2 . 当且仅当 x=1,即 P(1,1,1)时,|PQ|有最小值 2. (2) 由 (1) 和 题 意 得 , 设 P(x1 , x1,2 - x1) , Q(x2,2,2) , 则 |PQ| = ?x1-x2?2+?x1-2?2+?-x1?2 = ?x1-x2?2+2?x1-1?2+2

? ? ?x1=x2 ?x1=1 ? 当且仅当 ,即? 时,|PQ|有最小值, ?x2=1 ? ? ?x2=1

|PQ|的最小值为 2.


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