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2.2.4面面平行的性质定理(yong)


复习:直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行。

a ??? , a ? ?,

?

a b

? ?? ?b

a // b
?
2、简记:线面平行

注意: 1、定理三个条件缺一不可。
线线平行。

探究1. 如果两个平面平行,那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系?
a

?
?

如果两个平面平行,那么一个平面内 的直线与另一个平面平行.

探究2.如果两个平面平行,两个平面内的 直线有什么位置关系?

借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行,那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.

探究3:当第三个平面和两个平行平面都相 交时,两条交线有什么关系?为什么?
结论:当第三个平面 和两个平行平面都 相交时,两条交线 平行

α β
b

a

下面我们来证明这个结论

已知: 平面?,?,? ,? // ? , ? ? ? ? a

? ? ? ? b求证:a // b 证明: ? ? ? ? a
? ?? ? b

{b ? ?
? // ?

a ??

a, b没有公共点 a, b都在平面?内

a // b

平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行.

? // ? ? 即: ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? ? ? b?
简记:面面平行 线线平行

例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. ? 已知:平面?//平面 ? ,AB和DC为夹在? 、 D ? A 间的平行线段。求证:AB=DC.

证明:
AB // DC ?过AB,CD可作平面 γ

? ? ? ? AD ? ? ? ? ? BC

?

B

?

C

? // ?

BC // AD

AB // CD

ABCD为平行四边形 ?

AB ? CD

例2. 如图,设平面α∥平面β,AB、CD是两异面直线, M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、 D∈β. 求证:MN∥α.

证明:连接BC,取BC的中
点E,分别连接ME、NE, 则ME∥AC, ∴ ME∥平面α, 又 NE∥BD, ∴ NE∥β, 又ME∩NE=E, ∴平面MEN∥平面α, ∵ MN平面MEN, ∴MN∥α.
? M

A C

E

N D

?

B

例3.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M 在CD′上,试判断直线B′M与平面A′BD 的位置关系,并说明理由.
C′
D′ A′ B′

自己完成证明过程
D

M C
A

B

证明: 过A作直线AH//DF, G ? ? , H ? ? . 连结AD,GE,HF(如图). ? α // β // γ ,
∴ BG // CH , AD // GE // HF . AB AG AG DE ∴ = , = . BC GH GH EF AB DE ∴ = . BC EF
G

1. 已知 : 三个平行平面? , ? , ?与两条直线l, m 分别相并于点A, B, C 和点D, E , F . AB DE 求证 : = . BC EF

H

l

m

直线与直线平行

直线与平面平行

平面与平面平行

其他性质
1、若两个平面互相平行,则其中一个平面

中的直线必平行于另一个平面;
2、平行于同一平面的两平面平行; 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个 平面平行; 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。


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