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2015年11月北京五十五中学高三文科数学试题


北京市第五十五中学 2015-2016 学年度第一学期
??O??密??O??封??O??线??O??密??O??封??O??线??O??密??O??封??O??线??O

期中考试试卷 高三数学(文科)
本试卷共 6 页,共 150 分,考试时长 120 分钟
三 题目 一 二 15 题 16 题 17 题 18 题 19 题

20 题 总分

得分

第一部分(选择题

共 40 分)

学号:

一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求, 请将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上) 1.已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25,则 z ? ( A. 3 ? 4i C. ? 3 ? 4i B. 3 ? 4i D. ? 3 ? 4i ) i=i+1 i>5? )
是 否

) 开 始 T=0,i=1 T=T+i2

2.下列函数中,在定义域内是减函数的是( A. f ( x ) ? x C. f ( x ) ? B. f ( x) ?

姓名:

x

1 2x

D. f ( x) ? ln x

3.执行如图的程序框图,则输出的 T 值等于( A. 91 C. 54 B. 55 D. 30

输出 T 结 束 缚 )

班级:

4.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 C. 168 B. 120 D. 192
-1共6页

5.在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AC ? A. 120? C. B.

2, BC ? 3, ,则 ?B 等于 (



90?

60?

D. 45?

6.“m=-2”是“直线(m+1)x+y-2=0 与直 mx+(2m+2)y+1=0 相互垂直” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7. 向量 AB, AC 在正方形网格中的位置如图所示. 设向量 a ? AC ? ? AB ,
??? ? 若 a ? AB ,则实数 ? 的值为(
A. ? 2 B. 2 C. ? 3 D. 3 8. 已知 数列 ?an ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列. 对于函数 y ? f ( x) , 若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函 数”. 现有定义 在 (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ?
A B


C

1 , x

② f ( x) ? x2 ,

③ f ( x) ? e x , ) C.①② ④

④ f ( x) ?

x,

则为“保比差数列函数”的所有序号为( A.①② B.③④

D.②③④

-2-

共6页

第二部分(非选择题
??O??密??O??封??O??线??O??密??O??封??O??线??O??密??O??封??O??线??O

共 110 分)

二、填空题(本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分. 请将答案填在答题卡相应位置上) 9. 函数 y ? x2 ? x 的定义域是_____ 10.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? _______.

3 ,则 tan(? ? ? ) 的值是_______ 5

___.

11.已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,则其焦点到准线的距离为________. 12 某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则该几何体最长棱的棱长为
3 4 3 3

cm.

正(主)视图
3 4

侧(左)视图

学号:

俯视图

13.如 图 是 甲 , 乙 两 名 同 学 5 次综合测评成绩的 茎 叶 图 , 则 乙 的 成 绩 的 中 位 数是 ,甲乙两人中成绩较为稳定的是 .

姓名:

14. 已知两点 M (?1, 0) , N (1, 0) ,若直线 y ? k ( x ? 2) 上至少存在三个点 P ,使 得△ MNP 是直角三角形,则实数 k 的取值范围是

班级:

-3-

共6页

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分. 写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 2 ,其图象相邻 两条对称轴之间的距离为

? 6

? . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式及最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,且 f ( ) ? 1 ,求 ? 的值.

? 2

?

2

16. (本小题 13 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 7 , a3 ? 8 .令 bn = 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ;

1 , an an ?1

17. (本小题 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,PD ? 平面 ABCD . 点

E 是线段 BD 的中点, 点 F 是线段 PD 上的动点.
(Ⅰ) 若 F 是 PD 的中点, 求证:EF //平面 PBC ; (Ⅱ)求证: CE ? BF ; (Ⅲ) 若 AB ? 2 ,PD ? 3 , 当三棱锥 P ? BCF 的

P

F

4 体积等于 时,试判断点 F 在边 PD 上的 3
位置,并说明理由.
共6页

D E A B

C

-4-

18. (本小题 13 分) ??O??密??O??封??O??线??O??密??O??封??O??线??O??密??O??封??O??线??O 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本, 将他们的期中考试数学成 绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段:[40,50) ,[50,60) , ?,

[90,100] 后得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校高一年级共有学生 500 人, 试估计该校高一年级在这次考试中成绩不 低于 60 分的人数. (Ⅲ)若从样本中数学成绩在 [40,50) 与

[90,100] 两个分数段内的学生中随机选
取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

学号:

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1, 椭圆 C2 的中心在坐标原点, 焦点在 y 轴上, 与 C1 4

姓名:

有相同的离心率,且过椭圆 C1 的长轴端点. (Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 OB ? 2OA ,求直 线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

班级:

-5-

共6页

20. (本小题 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2a ln x ? ? a ? 2 ? x, a ? R . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 图象在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? 且x1 ? x2有

?

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?a x2 ? x1

恒成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

-6-

共6页


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