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2014届高考数学(文)一轮复习课件(苏教版):09第九章 概率(回扣主干知识+突破热点题型+提升学科素养,124张p


第九章 概率 第一节 随机事件的概率 第二节 古典概型

第三节 几何概率
专家讲坛

[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解随机事件发 生的不确定性和频 率的稳定性,了解 概率意义以及频率 与概率的区别. 2.了解两个互斥事件 的概率加法公式.

怎 么 考 1.随机事件的概率是高考的必考内


容,主要考查互斥事件的概率公 式以及对立事件的求法为主,其 中对立事件的概率是“正难则反” 思想的具体应用,在高考中常考 查. 2.多以填空的形式考查,有时也渗

透在解答题中,属容易题如2012
年高考T6等.

[归纳 知识整合] 1.事件的分类

2.频率和概率

(1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出 nA 现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的 频率.
(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增 加,事件A发生的 频率fn(A) 稳定在某个常数上,把这 个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

[探究]

1.概率和频率有什么区别和联系?

提示:频率随着试验次数的变化而变化,概率却是 一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越大时, 频率也越来越向概率接近,只要次数足够多,所得频率就 近似地看作随机事件的概率.

3.事件的关系与运算
定义 符号表示

A,B 设A,B为互斥事件若事件________
和事件 _______________,称此事件为事件 至少有1个发生 A与事件B的和事件 互斥事件 对立事件 A+B

不能同时发生的两个事件,称为互斥
事件 如果两个互斥事件必有一个发生,那 AB=? AB=?且A+

么称这两个事件为对立事件

B=U

[探究]

2.互斥事件和对立事件有什么区别和联系?

提示:互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言

的.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可
能有一个发生;而对立事件则是必有一个发生,但不能同 时发生.所以两个事件互斥但未必对立;反之两个事件对 立则它们一定互斥.

4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: [0,1] . (2)必然事件的概率P(Ω)= 1 . (3)不可能事件的概率P(?)= 0 .

(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B) . 若事件A与B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B) = 1 ,P(A)= 1-P(B) .

[自测 牛刀小试] 1.甲:A1、A2是互斥事件;乙:A1、A2是对立事件.那 么 甲是乙的________________条件(填“充分不必要、必

要不充分、充要”).
解析:对立事件一定互斥,互斥事件不一定对立. 答案:必要不充分

2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么 “至少有1个白球”与“都是红球”是__________事件.

解析:“至少有一个白球”与“都是红球”互斥,且必有一
个发生. 答案:对立事件.

3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于
160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175]的概率 为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为

________.
解析:由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为 1-0.2-0.5=0.3. 答案:0.3

4.某城市2012年的空气质量状况如下表所示:
污染指数 T 概率 P 30 1 10 60 1 6 100 1 3 110 7 30 130 2 15 140 1 30

其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时, 空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污 染.该城市2012年空气质量达到良或优的概率为____.

1 解析:由表知空气质量为优的概率为10,空气质量为良 1 1 3 1 1 的概率为6+3=6=2.故空气质量为优或良的概率为 10 1 3 +2=5.
3 答案: 5

1 5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是2,乙获胜的概 1 率是3,则乙不输的概率是________.
解析:“乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这 两个事件,并且这两个事件是互斥的,故“乙不输” 1 1 5 的概率为 + = . 2 3 6 5 答案: 6

随机事件间的关系 [例1] 从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只

球,判断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事
件. (1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白 球”; (2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”; (3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”; (4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”.

[自主解答]

任取3只球,共有以下4种可能结果:

“3只红球”,“2只红球1只白球”,“1只红球2只白球”,“3 只白球”. (1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只

白球”不可能同时发生,是互斥事件,但有可能两个都不
发生,故不是对立事件. (2)“取出2只红球1只白球”,与“取出3只红球”不可 能同时发生,是互斥事件,可能同时不发生,故不是对 立事件.

(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球” 不可能同时发生,故互斥.其中必有一个发生,故对立. 既是互斥事件又是对立事件

(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可
能同时发生,故不是互斥事件,也不可能是对立事件.

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理解互斥事件与对立事件应注意的问题 (1)对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立 事件除不可能同时发生外,其并事件应为必然事件,这 可类比集合进行理解; (2)具体应用时,可把试验结果写出来,看所求事件 包含哪几个试验结果,从而判断所给事件的关系.
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1.判断下列每对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?
从一副桥牌(52张)中,任取1张, (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于

10”.

解:(1)是互斥事件但不是对立事件. 因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发 生,因而是互斥的.同时,不能保证其中必有一个发生,

因为还可能抽出“方块”或“梅花”,因此两者不对立.
(2)是互斥事件又是对立事件. 因为两者不可同时发生,但其中必有一个发生. (3)不是互斥事件,更不是对立事件. 因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这

两个事件有可能同时发生,如抽得12.

随机事件的频率与概率 [例2] 某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训

练的成绩如下表: 射击次数 击中飞碟数 击中飞碟的 频率 100 120 150 100 150 160 160 81 95 123 82 119 127 121

(1)将各次击中飞碟的频率填入表中;
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?

[自主解答] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率. (1)射中次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是 81 100=0.81,同理可求得下面的频率依次是 0.792,0.82,0.82, 0.793,0.794,0.807;

(2)击中飞碟的频率稳定在0.81,故这个运动员击
中飞碟的概率约为0.81.

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概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映 了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象, 当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多, 所得频率就近似地当作随机事件的概率.

2.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,如下表

所示:
(1)计算表中进球的频率并填表; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?

投篮次数 n 8 10 进球次数 m 6 8 m 进球频率 n

15 12

20 17

30 25

40 32

50 38

解:(1)频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比 6 8 12 17 25 32 38 值,由此得进球频率依次是 , , , , , , , 8 10 15 20 30 40 50 即表中依次填入 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.
(2)由(1)知进球频率稳定在0.8,所以这位运动员投篮一次,

进球时概率约是0.8.

互斥、对立事件的概率 [例3] 某战士射击一次,问:

(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?

(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,
命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?不够 9环的概率为多少?
[自主解答] (1)记中靶为事件 A,不中靶为事件 A ,根 据对立事件的概率性质,有 P( A )=1-P(A)=1-0.95=0.05. 故不中靶的概率为 0.05.

(2)记命中 10 环为事件 B,命中 9 环为事件 C,命中 8 环 为事件 D,至少 8 环为事件 E,不够 9 环为事件 F. 由 B、C、D 互斥,E=B∪C∪D,F= B∪C , 根据概率的基本性质,有 P(E)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.27+0.21+0.24=0.72; P(F)=P( B ∪ C )=1-P(B∪C)=1-(0.27+0.21)=0.52. 所以至少 8 环的概率为 0.72,不够 9 环的概率为 0.52.

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求复杂的互斥事件的概率的一般方法 (1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的

事件的概率求和,运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A ),即运用逆向思维,特别是“至少”“至 多”型题目,用间接法就显得较简便.
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3.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多 得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖 10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二 等奖的事件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

1 10 1 50 1 解:(1)P(A)=1 000,P(B)=1 000=100,P(C)=1 000=20. 1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为1 000,100,20.

(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张 奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 1+10+50 61 =1 000. 1 000 61 故 1 张奖券的中奖概率为1 000.

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则 事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
? ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-?1 ?

1 1 ? 989 ? 000+100?=1 000.

989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000.

? 1 个难点——对频率和概率的理解 (1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大

量的重复试验,用事件发生的频率近似地作为它的概率,但 是,某一事件的概率是一个常数,而频率随着试验次数的变

化而变化.
(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,

单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率
意义下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.

? 1 个重点——对互斥事件与对立事件的理解

(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解: ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系; ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; ③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确 定的. (2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况, 是指在一次试 验中有且只有一个发生的两个事件, 集合 A 的对立事件记作
A .从集合的角度来看, 事件 A 所含的结果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成的集合的补集,即 A∪ A =U, A∩ A =?.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是 对立事件.

易误警示——误判事件间的关系导致概率计算失误 [典例] (2013· 临沂模拟)抛掷一枚均匀的正方体骰子( 各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一 面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,则= ________.
[解析] 事件 A∪B 可以分成事件 C 为“朝上一面的数为 1、2、3”与事件 D 为“朝上一面的数为 5”这两件事,则事 3 件 C 和事件 D 互斥, P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D)=6+ 故 1 4 2 6=6=3.

[易误辨析]

1.因未分清事件A、B的关系,误以为事件A、B是互

斥事件,从而造成概率计算错误;
2.因不能把所求事件转化为几个互斥事件,思维受阻, 从而得不到正确答案. 3.求解随机事件的概率问题时还有如下错误: 解决互斥与对立事件问题时,由于对事件的互斥与对立关

系不清楚,不能准确判断互斥与对立事件的关系而致错.

[变式训练]

1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品, 若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率 为0.01,则对成品抽查一件,恰好得正品的概率为____.

解析:记事件A={甲级品},B={乙级品},C={丙级
品}.事件A、B、C彼此互斥,且A与B∪C是对立事 件.所以P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03 -0.01=0.96. 答案:0.96

1.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的 各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次,斜向 上的面所有数字之和能被5整除的概率为 _______.
解析:“斜向上的所有数字之和能被 5 整除”等价于:两 个底面数字之和能被 5 整除, 而两底数所有的情况有 4×4 =16(种),而两底数和为 5 包括(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)4 4 1 种情况,所以 P= = . 16 4 答案:B

2.(2012· 郑州模拟)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 1 A 为出现奇数点, 事件 B 为出现 2 点, 已知 P(A)=2, P(B) 1 =6,则出现奇数点或 2 点的概率为________.

解析:因为事件 A 与事件 B 是互斥事件,所以 P(A∪B)= 1 1 2 P(A)+P(B)= + = . 2 6 3 3 答案:x= 2

[备考方向要明了] 考 什 么 1.理解古典概型及其概率计算公 式. 2.会计算一些随机事件所含的基 本事件及事件发生的概率. 怎 么 考 高考对本节内容的 考查以填空题形式出现, 难度中低档,如2012年 高考T6,2011年高考

T5,2010年高考T3.

[归纳 知识整合]

1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 互斥 的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的 和. [探究] 1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等

可能的吗?
提示:不一定.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和 不发芽的可能性是不相等的.

2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型, 简称古典概型. 只有有 (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件_______ 限个 ; (2)等可能性:每个基本事件的发生都是 可能的 . [探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型? 提示:关键看这个实验是否具有古典概型的两个特 征:有限性和等可能性. 3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数

[自测 牛刀小试] 1. (2013· 长沙模拟)从甲、乙、丙三人中任选两名代表, 甲被选中的概率为__________.
解析:基本事件总数为(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙), 2 共三种.甲被选中共 2 种,所以甲被选中的概率为 . 3 2 答案: 3

2.某国际科研合作项目由两个美国人,一个法国人和一 个中国人共同开发完成,现从中随机选出两个人作为成 果发布人,在选出的两人中有中国人的概率为______. 解析:用列举法可知,共6个基本事件,有中国人的基

本事件有3个. 1 答案: 2

3.(2013· 江南十校联考)5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5, 从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之

和为奇数的概率为_______.

解析:由题意得基本事件共有 10 种,2 张卡片之和为奇 6 3 数须一奇一偶,共有 6 种,故所求概率为10=5. 3 答案: 5

4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、 纵坐标,则点P在直线x+y=5的下方的概率为_____.
解析: P 在直线 x+y=5 下方的情况有(1,1), 点 (1,2), (1,3), 6 1 (2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故 P= = . 6×6 6
1 答案:6

5. 在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m, 在集合 B={1,2,3} 中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+ y2=9 内部的概率为________.
解析:点 P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6 种情况,只有(2,1),(2,2),这两种情况满足在圆 x2+y2=9 2 1 1 内部,所以所求概率为6=3,故填3. 1 答案:3

简单古典概型的求法 [例1] 编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动 员在某次训练比赛中的得分记录如下:
运动员编 号 得分 运动员编 号 得分 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

15
A9 17

35
A10 26

21
A11 25

28
A12 33

25
A13 22

36
A14 12

18
A15 31

34
A16 38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
区间 [10,20) [20,30) [30,40]

人数

(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2人得分之和大于50的概率.

[自主解答] (1)4,6,6. (2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4, A5,A10,A11,A13,从中随机抽取2人,所有可能的抽取结 果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3, A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5, A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11, A13},共15种.
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50”(记为事件 B)的所有可能结果有: 4, 5}, {A A {A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共 5 种. 5 1 所以 P(B)=15=3.

本例条件不变,从得分在区间[20,30)内的运动员中随

机抽取2人,求这2人得分之和小于50的概率.
解:得分之和小于 50 的所有可能结果有: {A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13}, {A5,A13},{A10,A13},{A11,A13}. 8 故这 2 人得分之和小于 50 的概率为 P=15.

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应用古典概型求概率的步骤 (1)仔细阅读题目,分析试验包含的基本事件的特点; (2)设出所求事件A; (3)分别列举事件A包含的基本事件,求出总事件数n

和所求事件A包含的基本事件数m;
(4)利用公式求出事件A的概率.

1.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公
益活动. (1)求所选2人中恰有一名男生的概率; (2)求所选2人中至少有一名女生的概率. 解:设2名女生为a1,a2,3名男生为b1,b2,b3,从中选 出2人的基本事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1, b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),

(b2,b3)共10种.

(1)设“所选 2 人中恰有一名男生”的事件为 A,则 A 包含的 事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2, 6 3 b3)共 6 种,则 P(A)=10=5, 3 故所选 2 人中恰有一名男生的概率为5.

(2)设“所选 2 人中至少有一名女生”的事件为 B, B 包含 则 的事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1), 7 (a2,b2),(a2,b3)共 7 种,则 P(B)=10, 7 故所选 2 人中至少有一名女生的概率为10.

较复杂的古典概型的概率
[例2] (2012· 江西高考)如

图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0), B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个

点中随机选取3个点.
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2)求这3点与原点O共面的概率.

[自主解答] 能结果是:

从这6个点中随机选取3个点的所有可

x轴上取2个点的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1, A1A2C2共4种;

y轴上取2个点的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,
B1B2C2共4种; z轴上取2个点的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1, C1C2B2共4种.

所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1, A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2 共 8 种.因此,从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果共 20 种. (1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有 可能结果有 A1B1C1,A2B2C2,共 2 种,因此,这 3 个点与原点 O 恰 2 1 好是正三棱锥的四个顶点的概率为 P1= = . 20 10 (2)选取的这 3 个点与原点 O 共面的所有可能结果有 A1A2B1, A1A2B2, 1A2C1, 1A2C2, 1B2A1, 1B2A2, 1B2C1, 1B2C2, 1C2A1, A A B B B B C C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 12 种,因此,这 3 个点与原点 O 共面 12 3 的概率为 P2= = . 20 5

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计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点 (1)解题的关键点是理解题目的实际含义,把实际 问题转化为概率模型;

(2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和,
或先求其对立事件的概率,进而利用互斥事件的概率加 法公式或对立事件的概率公式求解.

2.(2012· 全国新课标)某花店每天以每枝5元的价格从农 场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出 售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位: 元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝), 整理得下表:

日需求量n 频 数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天 的日利润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的 频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75 元的概率.

解:(1)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85. 当日需求量 n<17 时,利润 y=10n-85. 所以 y 关于 n 的函数解析式为
?10n-85,n<17, ? y=? ?85,n≥17 ?

(n∈N).

(2)①这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元, 天的日利 20 润为 65 元, 天的日利润为 75 元, 天的日利润为 85 元, 16 54 所以这 100 天的日利润的平均数为 1 100×(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. ②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝,故 当天的利润不少于 75 元的概率为 p=0.16+0.16+0.15+0.13 +0.1=0.7.

? 3 种方法——基本事件个数的确定方法

(1)列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型;

(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定一两个元素
的试验,也可看成是坐标法; (3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适 合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求.

? 1 个技巧——求解古典概型问题概率的技巧

(1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算;
(2)较为复杂的概率问题的处理方法:一是转化为几个互 斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;二是采用 间接法,先求事件 A 的对立事件 A 的概率,再由 P(A)=1- P( A )求事件 A 的概率.

? 1 个构建——构建不同的概率模型解决问题
(1)原则:建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”,
这就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易解决的古典 概型问题; (2)作用:一方面,对于同一个实际问题,我们有时可 以通过建立不同“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”

的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一面,我们又可以
用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一解”.

[典例]

答题模板——求古典概型的概率 (2012山东高考· 满分12分)袋中有五张卡片,

其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标
号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色 不同且标号之和小于4的概率; (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张

卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于
4的概率.

[快速规范审题]
第(1)问 1.审条件,挖解题信息 观察条件:五张卡片,红色三张,标号 1,2,3.蓝色 2 张, 用列举法 标号为 1,2,从中取两张――――→所有可能的结果 n

2.审结论,明解题方向 观察所求结论: 求两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的 利用列举的 概率―――――→得出满足这两个条件的结果 m 结果分析

3.建联系,找解题突破口 m 利用古典概型概率公式求解:P= n
第(2)问 1.审条件,挖解题信息 观察条件:红色卡片三张、蓝色卡片二张、绿色卡片一张, 用列举法 从中取两张――――→得所有的可能的结果数 n

2.审结论,明解题方向 观察所求结论:观察所求结论求两种卡片颜色 利用列举的结果分析 不同且标号之和小于 4 的概率 ―――――――→ 得 出满足这两个条件的结果 m

2.审结论,明解题方向 观察所求结论:观察所求结论求两种卡片颜色 利用列举的结果分析 不同且标号之和小于 4 的概率 ―――――――→ 得出 满足这两个条件的结果 m

3.建联系,找解题突破口 m 利用古典概型概率公式求解:P= n

[准确规范答题]

(1)标号为1,2,3的三张红色卡片
分别记为A,B,C,标号为1,2的两

列举从5张卡片中任
取两张的可能结果时,

张蓝色卡片分别记为D,E,从五张 易 漏 掉 或 重 复 某 种 结 卡片中任取两张的所有可能的结果
果.

为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共10种.?(3分) 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事

件的出现是等可能的.

从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标 号之和小于 4 的结果为(A,D),(A,E),(B,D)共 3 种.?(5 分) 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率 3 为10.?(6 分)
所求事件包含的

事件数列举不全或
重复.

(2)记F是标号为0的绿色卡片,从 六张卡片中任取两张的所有可能的结果

为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),

(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,
E),(D,F),(E,F)共15种.?(9分)

由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的 出现是等可能的. 从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标 号之和小于 4 的结果为(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B, F),(C,F),(D,F),(E,F)共 8 种.?(11 分) 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率 8 为 .?(12 分) 15

[答题模板速成]

求古典概型的概率问题的一般步骤
第一 步审 清题 意 理清题意, 列出所有 基本事件, 计算基本 事件总数

第二步 建立文字 ? 数量关系 式

分析所求事 件,找出所 ? 求事件的个 数

根据古 解后反思,规 第三步 第四步 典概率 转化为 ? 解决数学 范解答步骤, 公式求 检查计数过程 数学模 问题 解得出 是否有误 型 结论

1.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员, 某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示, 现从中随机抽取一名队员,求:

(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.

解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员, (1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 A, 3+5+4 3 则 P(A)= = .故随机抽取一名队员, 该队员只属于一支球 20 5 3 队的概率为 . 5 (2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件

2 9 B,则 P(B)=1-P( B )=1- = . 20 10 9 故随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为 . 10

2.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一 个社团):
高中 初中 围棋社 45 15 戏剧社 30 10 书法社 a 20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层 抽样的方法从社团成员中抽取30人,结果围棋社被抽出 12人. (1)求这三个社团共有多少人? (2)书法社从3名高中生和2名初中生成员中随机选出2人 参加书法展示,求这2人中初、高中学生都有的概率.

60 12 解: (1)围棋社共有 60 人, 设三个社团共有 x 人, x = , 则 30 得 x=150,故三个社团共有 150 人.

(2)设 2 名初中生为 a1,a2,3 名高中生为 b1,b2,b3, 随机选出 2 人参加书法展示,所有可能的结果:{a1,a2}, {a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3}, {b1,b2},{b1,b3},{b2,b3},共 10 个基本事件.

设事件 A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”, 则事件 A 有{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2}, {a2,b3},共 6 个基本事件, 6 3 则 P(A)= = . 10 5 3 故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 . 5

[备考方向要明了] 考什么 1.了解随机数的意义,能 运用模拟方法估计概 率. 2.了解集合概型的意义. 怎么考 几何概型在高考中的要求 比古典概型低,多以填空题的 形式考查,并进一步强调知识 间的横向联系.

[归纳 知识整合] 1.几何概型 设D是一个可度量的区域,每个基本事件可以视为从区 域D内随机地取一点,区域D内的每一点被取到的机会都一 样;随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指

定区域d中的点,这时,事件A发生的概率与d的测度(长度、
面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关,把满足这 样的概率模型称为几何概率模型,简称几何概型.

[探究] 1.几何概型有什么特点? 提示:几何概型的特点:

①无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)
有无限个. ②等可能性:每个基本事件出现的可能性 相等 .

2.几何概型和古典概型有什么区别?
提示:几何概型和古典概型中基本事件发生的可 能性都是相等的,但古典概型的基本事件有有限个, 而几何概型的基本事件则有无限个. 2.几何概型的概率公式

d的测度 P(A)= D的测度

[自测 牛刀小试]

1.容量为400 mL的培养皿里装满培养液,里面有1个细
菌,从中倒出20 mL的培养液,则细菌被倒出的概率 是________.
20 1 解析:细菌被倒出的概率为 P= = . 400 20
1 答案: 20

2.已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在

车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是
________.

解析:试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而 1 构成所求事件的区域长度为 1 min,故 P= . 10
1 答案: 10

3.某人向一个半径为6的圆形靶射击,假设他每次射击必 定中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射中靶点与 靶心的距离小于2的概率为________.
1 解析:射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是 . 9 1 答案: 9

4.点 A 为周长等于 3 的圆周上一个定点,若在该圆周上随
AB 机取一点 B, 则劣弧 ? 的长度小于 1 的概率为________.

解析:试验的全部结果构成的区域长度为 3,所求事件发 2 生的区域长度为 2,故所求的概率为 P= . 3 2 答案: 3

5.如图所示,已知正方形的面积为10,
向正方形内随机地撒200颗黄豆,数 得落在阴影外的黄豆数为114颗,以 此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约 为________.
200-114 解析: 根据随机模拟的思想, 这个面积是 10× 200 =4.3.

答案:4.3

与长度有关的几何概型
[例1] (2012· 辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上

任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的

长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为________.
[自主解答] 设 AC=x cm,CB=(12-x)cm,0<x<12, 所以矩形面积大于 20 cm2, 即为 x(12-x)>20, 解得 2<x<10, 2 8 2 [答案] 故所求概率为 = . 3 12 3

在长为12 cm的线段AB上任取一点C,并以线段AC为边 作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之 间的概率是多少?

解:面积为 36 cm2 时,边长 AC=6,面积为 81 cm2 时, 9-6 3 1 边长 AC=9,故 P= = = . 12 12 4

—————

————————————

求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题,解题的突破口为弄清是长 度之比、面积之比还是体积之比;

(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法,是把
题中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解, 应特别注意准确表示所确定的线段的长度.
————————————————————————

? π π? 1. 在区间?-2,2 ?上随机取一个数 ? ?

1 x, cos x 的值介于 0 到 之 则 2

间的概率为________.

π π 1 π π 解析:当- ≤x≤ 时,由 0≤cos x≤ ,得- ≤x≤- 2 2 2 2 3 π π 1 或 ≤x≤ ,根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 2 3 1 答案: 3

2.已知集合

? ?x-2 ? ? ? ? >0? A={x|-1<x<5},B=?x? ? ?3-x ? ? ?

,在集合 A

中任取一个元素 x, 则事件“x∈A∩B”的概率是_____.
解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几 何概型知,在集合 A 中任取一个元素 x,则 x∈A∩B 的 1 概率为 P= . 6 1 答案: 6

与面积(体积)有关的几何概型 [例2] (1)已知平面区域U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,

y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域U内 随机投一点P,则点P落入区域A的概率为________.

(2)(2012· 湖北高考改编)如图所示,在
圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA, OB为直径作两个半圆,在扇形OAB内随机 取一点,则此点取自阴影部分的概率是________.

[自主解答]

(1)依题意可在平面直角

坐标系中作出集合 U 与 A 所表示的平面区域 (如图),由图可知 SU=18,SA=4,则点 P SA 2 落入区域 A 的概率为 P=S = . 9 U

r (2)设 OA=OB=r,则两个以 为半径的半圆的公共部 2 分面积为
2 ?1 ? r ? 1 ? r ?2? ?π-2?r ? ? 2?4π·?2?2-2×?2? ?= ,两个半圆外部的阴 8 ? ? ? ? ? ?

?1 ? r ? ?π-2?r2? ?π-2?r2 1 2 ? ? 影部分面积为 πr -? π? ?2×2- = ,所以 4 8 2 ?2? 8 ? ? ?

?π-2?r2 2× 8 2 所求概率为 =1- . [答案] 1 2 π πr 4

2 (1) 9

2 (2)1- π

—————

————————————

求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某
事件对应的面积,以求面积,必要时可根据题意构造 两个变量,把变量看成点的坐标,找到实验全部结果 构成的平面图形,以便求解.

3.如图所示, 边长为 2 的正方形中有一封闭 曲线围成的阴影区域, 在正方形中随机撒 2 一粒豆子, 它落在阴影区域内的概率为 , 3 则阴影区域的面积为______. S阴 2 解析:由几何概型知, = , S正方形 3

2 8 2 故 S 阴= ×2 = . 3 3 8 答案: 3

?x2-4x≤0, ? 4.若不等式组?-1≤y≤2, ?x-y-1≥0 ?

表示的平面区域为 M,

(x-4)2+y2≤1 表示的平面区域为 N,现随机向区 域内抛一粒豆子,则该豆子落在平面区域 N 内的 概率是________.

解析: 如图所示: π P= = . 1 15 ×?1+4?×3 2 1 ×π×12 2

π 答案: 15

与角度有关的几何概型 [例3] 如图所示,在直角坐标系内,

射线OT落在30°角的终边上,任作一条
射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为________.

[自主解答]

如题图, 因为射线 OA 在坐标系内是等

60° 1 可能分布的,则 OA 落在∠yOT 内的概率为 = . 360° 6 1 [答案] 6

—————

————————————

求解与角度有关的几何概型的注意点
当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题 时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,切不 可用线段代替,这是两种不同的度量手段.

5.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点, 在圆周上等可能地任取一点 N, 连结 MN, 则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是_____.
解析:连结圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠MON =90° ,这样的点有两个,分别记为 N1,N2,仅当 点 N 在不包含点 M 的半圆弧上取值时,满足 MN> 2R, 此时∠N1ON2=180° ,故所求的概率为 180° 1 = . 360° 2
1 答案: 2

? 1 条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识

几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关,而 与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、 面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.

? 1 种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法
(1)当题干是双重变量问题,一般与面积有关系; (2)当题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达 的区域:若变量在线段上移动,则几何度量是长度; 若变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度量是面积 (体积),即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能

变化的区域.

创新交汇——几何概型与线性规划的完美结合 1.几何概型是近几年高考的热点之一,主要考查形

式有两种:一是实际问题为背景直接考查与长度、面积相
关的几何概型的概率求解,多涉及三角形、矩形、圆等平 面图形的计算;二是与解析几何、函数、立体几何、线性 规划等知识交汇命题. 2.解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求 法原理,并熟练掌握相关知识.

[典例]

?0≤x≤2, ? (2012· 北京高考改编)设不等式组? ?0≤y≤2 ?



示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是________.
[解析]
?0≤x≤2, ? 不等式组? ?0≤y≤2 ?

表示坐标平面内

的一个正方形区域,设区域内点的坐标为(x,y),则 在区域内取点, 此点到坐标原点的距离大于 2 表示的 区域就是圆 x2+y2=4 的外部,即图中的阴影部分,故所求的概 4-π 率为 . 4

4-π [答案] 4

[名师点评]

1.本题有以下创新点 (1)考查方式的创新:对于线性规划的考查,由常 规方式转换为以几何概型为载体考查概率的计算; (2)考查内容的创新:本题将几何概型与线性规划及

圆的概念、求面积完美结合起来,角度独特,形式新颖,
又不失综合性.

2.在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时, 应注意以下两点

(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型,为
此必须了解几何概型的含义及特征; (2)运用几何概型的概率公式时,要注意验证事件 是否具备等可能性.

[变式训练]
1.(2011· 湖南高考)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+ 3y=25.

(1)圆C的圆心到直线l的距离为________;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 _________.

25 解析:根据点到直线的距离公式得 d= =5;设直线 4x+ 5 |c| 3y=c 到圆心的距离为 3,则 =3,取 c=15,则直线 4x 5 +3y=15 把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值 即是所求的概率,由于圆半径是 2 3,则可得直线 4x+3y 1 =15 截得的圆弧所对的圆心角为 60° ,故所求的概率是 . 6 1 答案:(1)5 (2) 6

2.已知O={(x,y)|3x+y≤4,x≥0,y≥0},A={(x,y)
|x≤y},若向区域O内随机投入一点P,则点P落入区域 A的概率为________.

解析:如图,区域 O 为三角形区域 OAB,区 域 A 为三角形区域 OBC,所求的概率为△ 2 3 OBC 与△OAB 的面积之比,即 P= = . 8 4 3 3 答案: 4

1.(2013· 合肥模拟)扇形 AOB 的半径为 1,圆 心角为 90° C、 E 将弧 AB 等分成四. .点 D、 连 结 OC,OD,OE,从图中所有的扇形中随 π 机取出一个,面积恰为 的概率是______. 8 解析:依题意得知,图中共有 10 个不同的扇形,分别为扇
形 AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、 π π DOB、COB,其中面积恰为 的扇形(即相应圆心角恰为 的 8 4 扇形)共有 3 个(即扇形 AOD、EOC、BOD),因此所求的概 3 率等于 . 10

3 答案: 10

2.(2013· 徐州质检)点P在边长为1的正方形ABCD内运动, 则动点P到定点A的距离PA<1的概率为________.

解析: 满足 PA<1 的点 P 位于以 A 为圆心, 半径为 1 的圆在正方形 ABCD 内部(如图),
π π 4 π 又 S 扇形 ABD= ,故 P(PA<1)=1 =4. 4 π 答案: 4

3.已知函数f(x)=-x2+ax-b.若a、b都是从区间[0,4] 任 取的一个数,则f(1)>0成立的概率是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,

即 a-b>1,如图: 9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC= , 2 9 S△ABC 2 9 P= = = . S矩 4×4 32
9 答案: 32

盘点古典概型与几何概型中的三类错误

一、盘点古典概型与几何概型中的三类错误 古典概型与几何概型是高考中的常考知识点.对于古典

概型,列举法仍是求解其概率的主要方法;对于几何概型除
掌握其定义外,其题型的重点主要体现在两种常见的几何度 量——长度、面积,难度不会太大,但题型可能较灵活,背 景更新颖. 如下几个类型易错:

易错类型一:知识性错误 [例1] 出2只球. 设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地摸

(1)求这2只球都是白球的概率;
(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率.

[错解]

一次摸出2只球,观察结果的颜色只能是(白,白),

(白,黑),(黑,黑)3种情况,

(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件,则A={(白, 1 白)},所以P(A)=3. (2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件,
1 则B={(白,黑)},所以P(B)=3.

[错因分析]

在上述错解中(白,白),(白,黑),(黑,黑)3

种结果的出现不是等可能的.
[正解] 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号,2只黑球标以5,6号, 则基本事件有(1,2),(1,3),?,(1,6),(2,1),(2,3),?,(2,6),?, (6,1),(6,2),?,(6,5),共30个. (1)用A表示“2只球都是白球”这一事件,则A={(1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}共 12个. 12 2 所以P(A)=30=5.

(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事 件,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)} 共16个. 16 8 所以P(B)=30=15.

易错类型二:数学思维方法应用错误 [例2] 有6个房间安排4个旅客住,每个人可以住进任一 房间,且住进各房间是等可能的.(1)指定的4个房间中各有1 人住的事件的概率为________;(2)指定的房间有2人住的事件 的概率为________.
[错解] 所有基本事件的个数为6×5×4×3=360. (1)指定的4个房间中各有1人住,有4×3×2×1=24种, 1 故所求的概率为15;
(2)从4人中选2人去指定的房间,有6种方法,余下2人每人去5 个房间中的任一间,有5×4=20种方法,故所求的概率为 6×20 1 = . 6×5×4×3 3

[错因分析]

本题错误地理解了基本事件的个数,忽视了

基本事件可以包含多个人住一个房间的情况.
[正解] 每人可以进住任一房间,且进住各房间都有6种等 可能的方法,故所有可能的情况有64种, (1)指定的4个房间中各有1人住,有4×3×2×1=24种,故 24 1 所求的概率为 64 =54;
(2)从4人中选2人去指定的房间,有6种方法,余下2人每人 6×52 去5个房间中的任一间,有52种方法,故所求的概率为 64 = 25 216.

易错类型三:审题错误 [典例3] 在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在

∠ACB内部任作一射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的 [错解]如图,点 M 随机地落在线段 AB 上,故线段 AB 的长 概率.
为基本事件的度量,当 M 位于线段 AC′(AC′=AC)上时, AM<AC,故线段 AC′的长为所求事件的度量. AC′ AC 2 故 P(AM<AC)=P(AM<AC′)= = = . AB AB 2 2 答:AM 的长小于 AC 的概率是 . 2

[错因分析]

由于本题是在∠ACB作射线CM,等可能

分布的是CM在∠ACB内的任一位置,因此基本事件的度量 应是∠ACB的大小而不是线段AB的长,这是类似问题由于 等可能的视角不同造成的,概率也会不一样.

[正解]

据题意知 AM<AC 的概率应为满足条件的∠

67.5° 3 ACM 与∠ACB 大小的比,即 P(AM<AC)= = . 90° 4

几点建议 1.重视错题病例 “错误是最好的老师”,错题病例也是财富,它有时暴露我 们的知识缺陷,有时暴露我们的思维不足,有时暴露我们的方 法不当.毛病暴露出来了,也就有治疗的方向,提供了纠错的 机会,只有认真地追根溯源查找错因,教训才会深刻.建议在 复习过程中做到建立错题集,特别是那些概念理解不深刻、知 识记忆错误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成 册,并加以评注,指出错误原因,经常翻阅,常常提醒,以绝 后患.注意收集错题也有个度的问题,对于那些一时粗心的偶 然失误,或一时情绪波动而产生的失误应另作他论.

2.培养良好的审题能力 解题时审题要慢,要看清楚,步骤要到位,步步为营, 稳中求快,立足于一次成功,不要养成唯恐做不完,匆匆忙 忙抢着做,寄希望于检查的坏习惯,这样做的后果一则容易 先入为主,致使有时错误难以发现;二则一旦发现错误,尤

其是起步就错,又要重复做一遍,既浪费时间,又造成心理
负担.


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