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高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差和和差化积

一、学习任务 能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换,推导出积化和差、和差化积公式及半角 公式. 二、知识清单
积化和差与和差化积公式

三、知识讲解
1.积化和差与和差化积公式 描述: 积化和差公式

1 [cos(α + β) + cos(α ? β)], 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β) ? cos(α ? β)], 2 1 cos α sin β = [sin(α + β) ? sin(α ? β)], 2 1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α ? β)]. 2 cos α cos β =
和差化积公式

θ+φ θ?φ , cos 2 2 θ+φ θ?φ , sin θ ? sin φ = 2 cos sin 2 2 θ+φ θ?φ , cos θ + cos φ = 2 cos cos 2 2 θ+φ θ?φ . cos θ ? cos φ = ?2 sin sin 2 2 sin θ + sin φ = 2 sin
例题: (1)把 cos(x ? y) cos(x + y) 化为和差的形式; (2)求 sin 15? sin 75? 的值; (3)求sin 解:(1)

π 5 ? cos π 的值. 12 12

原式 =

1 {cos[(x ? y) + (x + y)] + cos[(x ? y) ? (x + y)]} 2 1 = [cos 2x + cos (?2y)] 2 1 1 = cos 2x + cos 2y. 2 2

(2)

sin 15? sin 75? = ?

1 [cos(15? + 75? ) ? cos(15? ? 75? )] 2 1 1 = ? × (0 ? ) 2 2 1 = . 4

(3) 原式 =

1 2 1 = 2 1 = 2 1 = 2

π 5 π 5 + π) + sin( ? π)] 12 12 12 12 π π [sin + sin(? )] 2 3 √3 × (1 ? ) 2 √3 ? . 4 [sin(

求下列各式的值: (1)cos 40? + cos 80? + cos 160 ? ; (2)求cos 解:(1)

2π 4π 6π 的值. + cos + cos 7 7 7
原式 = 2 cos

40? + 80? 40? ? 80? cos ? cos 20? 2 2 = 2 cos 60? cos 20? ? cos 20? = cos 20? ? cos 20? = 0.

(2) 原式 =

1 π 2π π 4π π 6π × (2 sin cos + 2 sin cos + 2 sin cos ) 7 7 7 7 7 7 2 sin π 7 1 3π π 5π 3π 7π 5π = ? sin ) + (sin ? sin ) + (sin ? sin )] π × [(sin 7 7 7 7 7 7 2 sin 7 1 π = ) π (sin π ? sin 7 2 sin 7 1 =? . 2

四、课后作业

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1. cos 20? ? cos 40? ? cos 80? 等于 ( A.0
答案: A

B.

1 8

)
C.

1 4

D.

1 2

2. 若

sin (α + β) p tan α ,则 等于 ( = q sin (α ? β) tan β p?q p+q A. B. p+q p?q
答案: B 解析:

)
C.

q?p q+p

D.

q+p q?p

sin (α + β) + sin (α ? β) tan α sin α cos β 代入即得. = = tan β cos α sin β sin (α + β) ? sin (α ? β) )

3. sin (

π π + α) cos ( + β) 化为和差的结果是 ( 4 4 1 1 A. sin (α + β) + cos (α ? β) 2 2 1 1 B. cos (α + β) + sin (α ? β) 2 2 1 1 C. sin (α + β) + sin (α ? β) 2 2 1 1 D. cos (α + β) + cos (α ? β) 2 2
答案: B

4. 若 cos x cos y + sin x sin y =
答案: 解析:

2 3 1 2 cos (x ? y) = , sin 2x + sin 2y = 2 sin (x + y) cos (x ? y) = 2 , 故 sin (x + y) = . 2 3 3

1 2 ,sin 2x + sin 2y = ,则 sin (x + y) = 2 3



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