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2011年 - 河南 - 全省市 - 高三 - 省市模拟(五市高中


2011 年河南省五市高三第二次联考理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本 试卷上答题无效。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非 选择题 答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素

笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={y|y= x A. (1,+∞) 2.已知复数 Z=
-2

},P={y|y= x- 1 },那么 M∩P= C. (0,+∞) D. [0,+∞)

B.[1,+∞)

a+ i (a 为实数) ,若 Z 为纯虚数,则 a 是 1- i

A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.下列判断错误的是 A.命题“若 q 则 p”与命题“若非 p 则非 q”互为逆否命题 2 2 B. “am <bm ”是“a<b”的充要条件 C.对于命题 p: ? x∈R,使得 x +x+1<0,则 ? p 为 ? x∈R,均有 x +x+1≥0
2 2

D.命题“ ? ? {1,2}或 4 ? {1,2}”为真命题 4.点 P 是函数 f(x)=cosω x(ω >0)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离最小 值是π ,则函数 f(x)的最小正周期是 A.π B.2π C.3π D.4π 5.给出 15 个数:1,2,4,7,11,?,要计算这 15 个数的和,现给出解决该问 题的程序框图 (如右图所示) , 那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填 入

A.i≤15?;p=p+i-1 B.i≤16?;p=p+i+1 C.i≤16?;p=p+i D.i≤15?;p=p+i 6.已知平面向量 a =(sinθ ,1) , b =(- 3 ,cosθ ) , 若 a ⊥ b ,则θ 可以为

?

?

?

?

? 6 ? C.θ = 3
A.θ =

5? 6 2? D.θ = 3
B.θ =

7.圆柱的底面直径与高都等于某个球的直径,则该球的表 面积与圆柱全面积的比是 A.

1 3

B.

2 3

C.

2 5
2 2

D.

3 5
2

8.斜率为 k 的直线 l 过点 P( 2 ,0)且与圆 C: x +y = 1 存在公共点,则 k ≤

4 的概率为 9

A.

2 3

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 3

9.从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排,含“qu” ( “qu”相连且顺序不变)的不同排列 方法有 A.120 种 B. 240 种 C.288 种 D.480 种 10. ( x+

2 n ) 展开式中仅有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x2

A.360 B.180 C.90 D.45 11.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 f(x-4)=-f(x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 则 A.f(33)<f(50)<f(-25) B.f(50)<f(33)<f(-25) C.f(-25)<f(33)<f(50) D.f(-25)<f(50)<f(33) 12.已知双曲线

x 2 y2 - = 1 的两焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,∠F1PF2 的平分线分线段 F1F2 的比为 5 : a 2 b2
3 ) 2 5 ] 2 3 ,2] 2

1,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1,

3 ] 2

B. (1,

C. (2,

D. (

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分. 13.一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示(单位:cm) ,该几何 体的体积为 3 __________cm 14.等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a3=20,S3=36, 则

1 1 1 1 + + +?+ =______. S1-1 S2-1 S 3-1 S15-1

? 2 x-y-6≥0 ? 15.已知 x,y 满足不等式组 ? x+y+3≥0 ,则 ?5 x+2y-6≤0 ?

2 x-y+4 的最大值为_____________. x+2
16.若双曲线

x 2 16y2 - 2 = 1 的渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相交于 A,B 两点,且△OAB(O 为原 3 p

点)为等边三角形,则 p 的值为___________ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0. (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)已知函数 f(x)=2cos(2x-B) ,将 f(x)的图象向左平移 g(x)的单调增区间. 18. (本小题满分 12 分)某班主任为了解所 带班学生的数学学习情况,从全班学生 中随机抽取了 20 名学生,对他们的数 学成绩进行统计,统计结果如图. (Ⅰ)求 x 的值和数学成绩在 110 分以 上的人数; (Ⅱ)从数学成绩在 110 分以上的学生 中任意抽取 3 人,成绩在 130 分 以上的人数为ξ ,求ξ 的期望. 19. (本小题满分 12 分)将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得平面 ABD⊥平面 CBD,AE⊥平 面 ABD,且 AE= 2 . (Ⅰ)求证:DE⊥AC; (Ⅱ)求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值; (Ⅲ)直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM∥平 面 ADE,若存在,求点 M 的位置,不 存在请说明理由.

? 后得到函数 g(x)的图象,求 12

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x 2 y2 6 + 2= 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左、右焦点分别是 F1、 2 a b 3

F2,点 P 是坐标平面内的一点,且|OP|= (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

? 1 10 ???? ???? , PF1 · PF2 = (点 O 为坐标原点) . 2 2
???? ?

(Ⅱ)直线 y=x 与椭圆 C 在第一象限交于 A 点,若椭圆 C 上两点 M、N 使 OM + ON = λ OA ,λ ∈(0,2)求△OMN 面积的最大值.

????

??? ?

2l. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= e -x (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)不等式 f(x)>ax 的解集为 P,若 M={x| 取值范围; (Ⅲ)已知 n∈N﹡,且 Sn = ,是否存在等比数列{ b ? [f ? x ?+x]dx (t 为常数,t≥0)
t n

x

1 ≤x≤2}且 M∩P≠ ? ,求实数 a 的 2
},

n

使得 b1+b2+? bn = Sn ?若存在,请求出数列{ bn }的通项公式;若不存在,请说 明理由.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1《几何证明选讲》 .已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (Ⅰ)求证:BD 平分∠ABC (Ⅱ)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5《不等式选讲》 .已知 a+b=1,对 ? a,b∈(0,+∞) ,使 2x-1|-|x+1|恒成立,求 x 的取值范围.

1 4 + ≥| a b

★2011 年 5 月 6 日

2011 年河南省五市高中毕业班第二次联考 理科数学参考答案及评分标准
一.选择题: 1—5 CBBDD 6—10 ABADB 11—12 CA 二.填空题: (13)

7 2

(14)

15 31

(15)

10 3

(16)4

三.解答题: (17) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ? 0 , 即 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 得 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ???3 分

因为 A ? B ? C ? π ,所以 sin( B ? C ) ? sin A ,得 2sin A cos B ? sin A ? 0 ,因为 sin A ? 0 , 所以 cos B ? ? ,又 B 为三角形的内角,所以 B ? (Ⅱ)? B=

2? ? 2? 2? ? f ( x ) ? 2 cos(2 x ? ) 由题意得:? g ( x) ? 2 cos[2( x + ) ? ] 3 12 3 3 ? (2 x ? ) = 2 cos = 2sin 2 x ???9 分 2 ? ? ? ? * * 由 2 k? - ? 2 x ? 2 k ? ? ( k ? N ) 得 k? - ? x ? k? ? ( k ? N ) 2 2 4 4 ? ? * 故 f ( x) 的单调增区间为: [k? - , k? ? ] (k ? N ) . ???12 分 4 4
(18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)x=[1-(0.0025+0.005+0.0125+0.0125)×20]/20=0.0175 数学成绩 110 分以上的人数为: (0.005+0.0125)×20×20=7 人 (Ⅱ)数学成绩在 130 分以上的人数为:0.005×20×20=2 人 ? ? 的取值为:0,1,2
P (? =0) ? C C C 2 4 ? , P (? =1) ? ? , 3 C 7 C7 7
3 5 3 7 2 5 1 2

1 2

2π 3

???6 分

.

???2 分 ???.4 分 ???.5 分 ???10 分

P (? =2) ?

CC 1 ? 3 C7 7

1 5

2 2

? 的分布列为:
i
P (? =i)

0 2 7

1 4 7

2 1 7 ???12 分

2 4 1 6 ? ? 的期望为: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 7 7 7 7

(19)解: (Ⅰ)以 A 为坐标原点 AB,AD,AE 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系

则 E (0,0, 2) , B(2, 0, 0) , D (0, 2, 0)
E

z
C

做 BD 的中点 F 并连接 CF,AF;由题意可得 CF⊥BD 且 AF ? CF ? 2 又? 平面BDA ? 平面BDC ? CF ? 平面BDA , 所以 C 的坐标为 C(1,1, 2)

y
A D

??? ? ??? ? ? DE ? (0,-2,2) , AC ? (1,1 ,2)

F
B

??? ? ??? ? ? DE ? AC ? (0,-2,2) ? (1,1, 2) ? 0
故 DE⊥AC

x

???4 分

? (Ⅱ)设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y,z ) 则

? ?z ? 2x ?? ? y ? ?x ? ?x ? y ? 2z ? 0 ? ??? ? ? 令 x=1 得 n ? (1,-1 又 DE ? (0,-2,2) ,2)
即?

? ? ??? ? ? n ? EB ? 0 ? ? ? ??? n ? CB ?0 ? ?

? ?2 x ? 2 z ? 0

???6 分

设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 ? ,则

? ???? n ? DE ???? 6 ? . sin ? ? cos ? n, DE ? ? ? ???? ? 3 n DE
???? ? ??? ?

???8 分

(III)假设存在点 M 使得 CM∥面 ADE,则 EM ? ? EB

??? ? ???? ? EB ? (2,0, ? 2) ,? EM ? (2?,0, ? 2?)
又因为 AE ? 平面ABD , AB ? AD

得 M (2?,0,2 ? 2? )

???10 分

所以 AB ? 平面ADE

因为 CM∥面 ADE,则 CM ? AB 即 CM ? AB ? 0 得 2? ? 1=0 ? ? =

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

1 2
???12 分

故 点 M 为 BE 的中点时 CM∥面 ADE.

(20)解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0), 则由 OP ?

5 10 2 2 得 x0 ? y0 ? , 2 2
???2 分

???? ???? ? 1 1 1 由 PF1 ? PF2 ? 得 (?c ? x0 , ? y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) ? ,即 x0 2 ? y0 2 ? c 2 ? 2 2 2

所以 c ? 2 ,又因为

c 6 2 2 ? ,所以 a ? 3, b ? 1 a 3

???3 分

椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1 ; 3

???.4 分

?y ? x ? 3 3? ? (Ⅱ)解法一:由 ? x 2 得 A? 2 ? 2 , 2 ? ?, ? y ? 1 ? ? ? ?3

? y ? kx ? m ? 设直线 MN 的方程为 y ? kx ? m ,联立方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
消去 y 得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?
6km 3m2 ? 3 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2m 1 ? 3k 2
???6 分 ???5 分

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ?

???? ? ???? ??? ? 3 3 ∵ OM ? ON ? ?OA ,∴ x1 ? x2 ? ? , y1 ? y2 ? ? 2 2
3m 9m 2 ? 9 1 3 , x1 x2 ? 得 kMN ? ? , m ? ? ,于是 x1 ? x2 ? 2 4 3 3
???8 分

1 10 10 4 ? 3m2 ? | MN |? 1 ? (? )2 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? , 3 3 2
???9 分

又? ? ? 0, O(0,0) 到直线 MN 的距离为 d ?

3 10m 10

∴ S?OMN ?
当m ?

3 ? (4 ? 3m2 )3m2 1 10 4 ? 3m2 3 10m 3 , | MN | ?d ? ? ? ? 2 4 10 4 2
???12 分

6 3 ,即 ? ? 2 时等号成立, S?OMN 的最大值为 3 2

?y ? x ? 3 3? ? A 解法二:由 ? x 2 得 ? 2 ? 2 , 2 ? ?, ? ? ? ? y ?1 ?3

? x12 ? y12 ? 1 ? ? 3 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? 则 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 3

∴ ? x1 ? x2 ? ? 3 ? y1 ? y2 ?

y2 ? y1 ? 0 ????① x2 ? x1

???5 分

???? ? ???? ??? ? ∵ OM ? ON ? ?OA ,
∴ x1 ? x2 ?
1 3 3 ? , y1 ? y2 ? ? 代入①得 k MN ? ? , 3 2 2
???6 分

设直线 MN 的方程为 y ?
代入 椭圆方程得

3 1 3 ? ? ? (x ? ? ), 即x=-3y+ 3?, 4 3 4

???7 分

4 y2 ? 2 3? y ? ? 2 ? 1 ? 0,

? y1 ? y2 ?

3 ?2 ?1 , ? , y1 .y2 ? 2 4

?| MN |? 10 | y1 ? y2 |? 10
又 ? O(0,0) 到直线 MN 的距离为 h ?

4 ? ?2 , 2

???.9 分

3? 10
???11 分

∴ S?OMN

1 3? 4 ? ? 2 3 , ? | MN | ?h ? ? 2 4 2
3 2

当 ? ? 2 时等号成立, S?OMN 的最大值为

???12 分

(21)(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ?1
x

????1 分

由 f ?( x) ? 0, 得x ? 0 当 x ? 0 时 f ?( x) ? 0 .当 x<0 时, f ?( x) ? 0

? f ( x) min ? f (0) ? 1 ????4 分 1 (Ⅱ)? M ? P ? ? ,? f ( x ) ? ax在区间[ ,2] 有解 2 x e 1 x ? 1在[ ,2] 上有解 由 f ( x) ? ax, 得e ? x ? ax 即 a ? ????6 分 x 2 1 ( x ? 1)e x ex 1 ? 1, x ? [ ,2] ? g ?( x) ? 令 g ( x) ? ,? g ( x )在[ ,1] 上减,在[1,2]上增 2 2 x x 2 2 1 1 e e2 ? 1 ,且 g ( 2) ? g ( ) ? g ( x) max ? g (2) ? ?1 又 g ( ) ? 2 e ? 1, g (2) ? 2 2 2 2 e2 ?a ? ?1 ????8 分 2 (III)设存在等比数列 {bn } ,使 b1 ? b2 ? ?bn ? Sn

? f ( x)在(0,??)上增, 在(??,0)上减

∵ Sn ?

?

n t

[ f ( x) ? x]dx ? en ? et

?b1 ? e ? et

????10 分

n ? 2 时 bn ? Sn ? Sn?1 ? (e ?1)en?1
当 t=0 时, bn ? (e ?1)en?1 ,数列 {bn } 为等比数列 当 t ? 0 时,

b2 b3 ? ,则数列 {bn } 不是等比数列 b1 b2
????12 分

? 当 t=0 时,存在满足条件的数列 bn ? (e ?1)en?1 满足题意
(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1《几何证明选讲》 解: (Ⅰ)? AC ? DE ? ?CDE ? ?DCA 又? ?DBA ? ?DCA ? ?CDE ? ?DBA ? 直线 DE 为圆 0 的切线 ? ?CDE ? ?DBC 故 ?DBA ? ?DBC . (Ⅱ)? ?CAB ? ?CDB 且 ?DBA ? ?DBC

????5 分

? ? ABH ? ? DBC

AH AB ? CD BD ? AD ? DC 又 ?EDC ? ?DAC ? ?DCA AH AB ? ? ? AB ? 4,AD ? 6,BD ? 8 AD BD 故 AH ? 3 . ????10 分
?
且a ?b ?1

????8 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—5《不等式选讲》 解:? a ? 0, b ? 0

?

1 4 1 4 b 4a ? ? (a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ?9 a b a b a b
????5 分

1 4 ? 的最小值为9 a b 1 4 对 ?a, b ? R+ ,使 ? ? 2 x ? 1 - x ? 1 恒成立 a b
故 所 以 ,

B

O A H C

D

E

2x ?

x? ?

1
? ?7 ? x ? ?1

-

????7 分

1

9

当 x ? ?1 时, 2 ? x ? 9 当 ?1 ? x ?

1 1 时, ?3 x ? 9 ? ?1 ? x ? 2 2 1 1 当 x ? 时, x -2 ? 9 ? ? x ? 11 2 2

? -7 ? x ? 11

????10 分


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