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安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


安庆一中 2015—2016 学年度第二学期高二年级数学(文科)期中考试试卷
(卷面总分 150 分,考试时间 120 分钟) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的, 把正确答案的代号填在括号内.) 2 2 1.设 z=i (i 是虚数单位),则 +z =( A.-1+2i

z B.-1-2i

) C.1-2i D.1+2i )

2.在线性回归模型 y ? bx ? a ? e 中,下列说法正确的是( A. y ? bx ? a ? e 是一次函数

B.因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C.因变量 y 除了受自变量 x 的影响外,可能还受到其它因素的影响,这些因素会导致随机误差 e 的产生 D.随机误差 e 是由于计算不准确造成的,可以通过精确计算避免随机误差 e 的产生 3.如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图,则直接影响“计划” 的要素有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

4. 有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然 是错误的,是因为( ) A.推理形式错误 B.大前提错误 C.小前提错误 D.非以上错误 5.极坐标方程为 ( ? ? 1)(? ? ? ) ? 0( ? ? 0) 表示的图形是 ( A.两个圆 B.两条直线 ) D.一个圆和一条射线

C.一条直线和一条射线

6.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型, 它们的相关指数 R 如下,其中拟合效果最好的模型是 ( A.模型 1 的相关指数 R 为 0.99 C. 模型 3 的相关指数 R 为 0.50
2 2 2

)
2

开始 输入 t 是 t<1 否

B. 模型 2 的相关指数 R 为 0.88 D. 模型 4 的相关指数 R 为 0.20
2

7.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? ?? 1,3?,则输出的 s 属于( A. ?? 2,5? B. ?? 3,4? C. ?? 4,3? D. ?? 5,2?

)

s=3t

s = 4t-t2

输出 s 结束
1

8.若复数 3+i 与 2+3i 对应的点分别为 P 与 Q ,则向量 PQ 对应的复数为( A 5+4i B 1-2i C -1+2i ) D



1 ?i 2

9. 下列可以作为直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
x ? t 2 (t 为参数) A. ? ? 2 ? y ? 2t ? 1

? x ? 2t ? 1 B. ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D. ? (t 为参数) ? ? y ? 2 sin ? ? 1
) 5 D 3 )

? x ? t ?1 C. ? (t 为参数) ? y ? 2t ? 1

10.若 | z ? 3 ? 4i | ≤2,则 z 的最大值是( A. 9 B 7 C

11.设 f 0 ( x) ? cos x , f1 ( x) ? f 0/ ( x) , f 2 ( x) ? f1/ ( x) ,??, f n?1 ( x) ? f n/ ( x) ?n ? N ? ,则 f 2016 ?x? =( A. ? sin x B. sin x C. ?cos x D. cos x )

? a ( a ? b) 12.若定义运算: a ? b ? ? ,例如 2 ? 3 ? 3 ,则下列等式不能成立 的是( .... ? b ( a ? b)
A. a ? b ? b ? a C. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) B. (a ? b)2 ? a2 ? b2 D. c ? (a ? b) ? (c ? a) ? (c ? b) ( c ? 0 )

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简单结果填在题后的横线上) 13.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时应该假设 14.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4.5 a 3 2.5 由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程 ^ 是y=-0.7x+5.25,则 a 等于___

S1 1 15.平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1;外接圆面积 为 S2,则 = ,推广到 S2 4
空间可以得到类似结论;正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则 = 16.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合:对于函数 ? ( x) 存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。例如,当 ?1 ( x) ? x , ?2 ( x) ? sin x 时,
3

V1 V2

2

?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B 。现有如下命题:
①设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,则“ f ( x) ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , f (a) ? b ” ; ②若函数 f ( x) ? B ,则 f ( x ) 有最大值和最小值;

③若函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ?

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

其中的真命题有___________。 (写出所有真命题的序号) 三.解答题(本大题共 6 小题,70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分 10 分)已知复数 z ? bi(b ? R) , (1)求复数 z ; (2)若复数 (m ? z ) 2 所表示的点在第一象限,求实数 m 的取值范围.

z?2 是实数, i 是虚数单位. 1? i

18. (本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简单的四个图 案, 这些图案都由小正方形构成, 小正方形数越多刺绣越漂亮, 现按同样的规律刺绣 (小正方形的摆放规律相同) , 设第 n 个图形包含 f ( n) 个小正方形.

(Ⅰ)求出 f (5) 的值; (Ⅱ )利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f (n ? 1) 与 f ( n) 之间的关系式, 并根据你得到的关系式求出 f ( n) 的表达式.

19. (本题满分 12 分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体 育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的频率分 布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体 育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表. 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计
3

(2)根据列联表的独立性检验,有多大的把握认为“体育迷”与性别有关? (3)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性, 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

其中 n ? a ? b ? c ? d

K 的临界值表: 2 P(K ≥k) 0.50 0.40 k 0.455 0.708

2

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

20

(本题满分 12 分)

a?b c ? 1? a ? b 1? c 1 1 1 (2)已知 a 、 b 、 c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证 ? ? ? 9. a b c
(1)已知:Δ ABC 的三条边分别为 a,b,c . 求证:

x2 y2 ? ? 1 相交于 M、N 两点 21. (本题满分 12 分)过点 P(?1,0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 3 2
(1)写出直线 MN 的参数方程; (2)求 PM ? PN 的最小值.

22. (本题满分 12 分)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 y ? sin ? ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? . (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M1、M2 的极坐标分别为 (1,

?
2

) 和 (2,0) ,直线 M1M2 与曲线 C2 相交于 P, Q 两点,射线 OP 与曲线 C1

相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ,求

1 OA
2

?

1 OB
2

的值.

4

答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 A 1 27 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简单结果填在题后的横线上) 13. 至少有两个钝角 14. 4 15. = ∴b=﹣2,即 z=﹣2i.
2 2 2 2 2

16. ①③④_ = = .

17 .解: (1)∵z=bi(b∈R) ,∴ 又∵ 是实数,∴ ,

(2)∵z=﹣2i,m∈R,∴(m+z) =(m﹣2i) =m ﹣4mi+4i =(m ﹣4)﹣4mi, 又∵复数 f(4)所表示的点在第一象限,∴ ,

解得 m<﹣2,即 m∈(﹣∞,﹣2)时,复数 f(4)所表示的点在第一象限. 18. 解: (Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(2)﹣f(1)=4=4×1. f(3)﹣f(2)=8=4×2, f(4)﹣f(3)=12=4×3, f(5)﹣f(4)=16=4×4 ∴f(5)=25+4×4=41.?(4 分) (Ⅱ)由上式规律得出 f(n+1)﹣f(n)=4n.?(8 分) ∴f(2)﹣f(1)=4×1, f(3)﹣f(2)=4×2, f(4)﹣f(3)=4×3, ? f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2) , f(n)﹣f(n﹣1)=4?(n﹣1)?(10 分) ∴f(n)﹣f(1)=4[1+2+?+(n﹣2)+(n﹣1)]=2(n﹣1)?n, 2 ∴f(n)=2n ﹣2n+1.?(12 分) 19 解: (1)由已知得: 非体育迷 体育迷 总计 男 28 17 45 女 总计 (4 分) (2)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 k =
2

45 73

10 27

55 100

≈4.82

因为 4.82>3.841,所以 有 95℅的把握认为“体育迷”与性别有关?6 分 (3)由频率分布直方图知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所的基本事件空间为 Ω ={(a1,a2) , (a1,a3) , (a2,a3) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,b1 ) , (a2,b2) , (a3,b1) , (a3,b2) , (b1,b2)} 其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bi 表示女性,i=1,2?9 分 Ω 由 10 个基本事件组成, 而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示事件“任选 3 人, 至少有 1 人是女性”.
5

则 A={(a1,b1) , (a1,b2) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,b1) , (a3,b2) , (b1,b2)} 事件 A 有 7 个基本事件组成,因而 P(A)= 20 证明:(1) 要 证 ?12 分.

a?b c ? 成立, 1? a ? b 1? c 1 1 1 1 ?1? ?? 只需证 1 ? 只 需证 ? , 1? a ? b 1? c 1? a ? b 1? c 1 1 ? 只需证 只需证 1 ? c ? 1 ? a ? b , 只需证 c ? a ? b 1? a ? b 1? c ∵ a,b,c 是Δ ABC 的三条边∴ c ? a ? b 成立,原不等式成立。??6 分 (2)∵ a ? b ? c ? 1 1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c ? ? ? ? ? ∴ a b c a b c b c a c a b ? (1 ? ? ) ? ( ? 1 ? ) ? ( ? ? 1) a a b b c c b a c a c b ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b a c b c


b a b a c a c b ? ? 2 ? ? 2 ,同理: ? ? 2 , ? ? 2 。 a c b c a b a b
1 1 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9. ??12 分 a b c



21 解: (1)∵直线 MN 过点 P(﹣1,0)且倾斜角为 a ∴直线 MN 的参数方程为: (t 为参数)?4 分

(2)将直线 MN 的参数方程代入曲线
2 2


2 2

2(﹣1+t?cosα ) +3(t?sinα ) =6,整理得(3﹣cos α )?t ﹣4cosα ?t﹣4=0, 设 M,N 对应的对数分别为 t1,t2,则|PM|?|PN|=|t1?t2|= ?9 分

当 cosα =0 时,|PM|?|PN|取得最小值为

?12 分

22.解: (1)曲线 C1 的普通方程为 化成极坐标方程为

, ,

曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2sinθ , 2 2 2 2 可得:曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y =2y,配方为 x +(y﹣1) =1. (2)由点 M1、M2 的极坐标分别为 和(2,0) ,

可得直角坐标:M1(0,1) ,M2(2,0) ,
6

∴直线 M1M2 的方程为

,化为 x+2y﹣2=0,

∵此直线经过圆心(0 ,1) , 2 2 ∴线段 PQ 是圆 x +(y﹣1) =1 的一条直径,∴∠POQ=90°, 由 OP⊥OQ 得 OA⊥OB, A,B 是椭圆 在极坐标下,设 分别代入 中, 上的两点, ,















,即



7


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