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2.3.3 平面向量的坐标运算


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在平面直角坐标
中,向量如何用坐标
y
C
A

a

D

来表示?

j o i

x
B

教学目标
? 知识与能力: 掌握平面向量的和、差、积的运

算,理解向量的坐标与端点的坐标换
算,会用向量的运算求多边形在平面

直角坐标系中的坐标.

? 过程与方法: 学会将实际问题转化为数学问题, 并能够运用向量知识解决. ? 情感态度与价值观: 通过实际应用问题的教学,使学生 产生理论联系实际的价值取向和理论来 源于实践、服务于实践的认识观念.

教学重难点
? 重点: 平面向量的和、差、积的运算. ? 难点: 用向量的运算求坐标系中的坐标.

2.3.3平面向量的坐标运算
y

A B O

x

? ? 已知 a =(x1 ,y1 ) , b =(x2 ,y2 ) ? ? ? ? ? 你能得出 a + b ,a - b , λ a
的坐标吗?

? ? 已知, a =(x1,y1), b=(x2,y2), ? ?
则 a ? b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) 即 同理可得

? ? a ? b=(x1+x2,y1+y2) ? ? a ? b=(x1-x2,y1-y2)

=(x1+x2)i+(y1+y2)j

这就是说,两个向量和(或差)的坐标分
别等于这两个向量相应坐标的和与差.

? ? ? ? ? ? a ? ?( x1i ? y1 j) ? ? x1i ? ? y1 j
即 λ

? 已知 a =(x,y)和实数λ,那么
? =(λx, λy) a

这就是说,实数与向量的积的坐标等 用这个实数乘以原来向量的相应坐标.

???? 例1:如图,已知A(x1 , y1 ),B(x2 , y 2 ) ,求 AB 的坐标.
y

??? ? ???? ???? 解:AB = OB - OA

A B O x

= (x2 , y 2 ) - (x1 , y1 )

= (x2 - x1 , y 2 - y1 )

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

你能在图中标出坐标为 (x2 - x1 , y 2 - y1 ) 的P点吗?
y A(x1,y1) B(x2,y2)
O x

P

???? 标出P点后发现,向量 AB 的坐标
与以原点为始点、点P为终点的向量的
坐标是相同的,这样就建立了向量与点

的坐标之间的联系.

? ? ? ? ? ? ? ? 例2:已知 a = (8,7),b = (-2, 3) ,求 a +b,a - b, 3a + 4b 的坐标.

? ? 解: a + b = (8,7) + (-2, 3) = (6,10) ? ? a - b = (8,7) - (-2, 3) = (10,4) ? ? 3a + 4b = 3(8, 7) + 4(-2, 3)

= (24, 21) + (-8,12) = (16, 33)

例3: 正方形ABCO,按顺时针方向依次 ???? 为A→B→C→O,O为坐标原点 OB = (1, 3), ???? ???? 1- 3 1 + 3 求向量 OC 的坐 OA = ( , ), 2 2 标. B
A C O

解:设C点坐标为(x,y)

???? ???? 1- 3 1 + 3 OA = ( , ), OB = (1, 3). 2 2 ???? ??? ? ∵ OA = CB
1- 3 1 + 3 , ) = (1- x, 3 - y) ∴ ( 2 2

? 1- 3 = 1- x ? 2 ∴ ? ? ?1 + 3 = 3 - y ? ? 2
? 1+ 3 ?x = ? 2 ∴ ? ? y = 3 -1 ? ? 2 ???? 1+ 3 ∴ OC = ( ,y = 2

3 -1 ) 2

?? ? ?? ? ?? ? 例3: 已知三个力 F1 (3,4),F2 (2,-5),F3 (x,y) 的合

?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标. ?? ? ?? ? ?? ? ? F1 + F2 + F3 = 0

解:由题设

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) 即:

?3 + 2 + x = 0 ? ?4-5+y = 0



?x = -5 ? ?y =1
?? ? F3点坐标为(-5,1) .



例4:如图,已知 ? ABCD 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试 求顶点D的坐标. 解法1:设点D的坐标为(x,y) ???? ? AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) ???? DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) ???? ???? 且AB = DC
y B D A O C

x

?(1, 2) = (3 - x,4 - y)

? 1 = 3-x 2 = 4-y

解得

x=2,y=2

所以顶点D的坐标为(2,2) 解法2:由平行四边形法则可得 ??? ? ??? ? ??? ? BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
y B D A O x C



???? ???? ??? ? OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为(2,2)

课堂小结
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示

和向量的线性运算律得出的结论,它符合实
数的运算规律,并使得向量的运算完全代数

化 . 2.利用向量的坐标运算,可以求点的坐标.

高考链接
??? ? ??? ? AB ? c, AC ? b,若 1(2008全国)在△ABC中,

??? ? ??? ? ???? 点D满足 BD ? 2 DC,则 AD ? (
A.
C.
2 1 b? c 3 3

A

)

B.
D.

2 1 b? c 3 3

1 2 b? c 3 3

5 2 c? b 3 3

解析:

??? ? 2 ??? ? 2 ???? ??? ? 2 BD ? BC ? ( AC ? AB ) ? (b ? c ) 3 3 3
??? ? ??? ? ??? ? 又 AD ? AB ? BD

??? ? 2 1 ∴ AD ? b ? c 3 3

课堂练习
? ? ? ? 58 3 10 a + b = ________ a - b = ________
? ? ? 2、设 a = (2, 9),b = (λ, 6),c = (-1, μ),
? ? ? 若 a + b = c ,则λ=

? ? 1、已知 a = (2, 3),b = (5, 6), 则

-3 , μ=

15.

? ? ? 3、已知 a = (3, -1),b = (-1, 2), 则 -3a - 2b
的坐标是( B)

A.(7,1)
C.(-7,1)

B.(-7,-1)
D.(7,-1)

??? ? ??? ? ??? ? 4、已知向量 AB = (6,1),BC = (x, y),CD = (-2, 3), ???? 则 DA = B ) (
A.(x+4,2-y) C.(x-4,y-2) B.(x-4,2-y) D.(-4-x,-y+2)

? ??? ? ? ? 5、已知a = AB,B(1,0),b = (-3,4),c = (-1,1) ? ? ? 且a = 3b - 2c ,求点A的坐标.
解:

? ? ? ∵ a = 3b - 2c


? a = 3(-3,4) - 2(-1,1) = (-7,10)

? ??? ? ???? ???? ∵ a = AB = OB - OA



???? ???? ???? ???? ? OA = OB - AB = OB - a = (1, 0) - (-7,10) = (8, -10)

∴点A的坐标为(8,-10).

???? 1 ??? ? 6、已知点A(-1,2),B(2,8),及 AC ? AB, 3 ???? ? 1 ??? DA = - BA,求C、D的坐标. 3

???? 1 ???? 解: ∵ AC = AB 3 ???? ???? 1 ???? ???? 即 OC - OA = (OB - OA) 3 ???? 1 ???? ???? ???? 1 ???? 2 ???? ∴ OC = (OB - OA) + OA = OB + OA 3 3 3



???? 1 2 OC = (2, 8) + (-1, 2) = (0, 4) 3 3
即C点坐标为(0,4).

???? ? 1 ??? ∵ DA = - BA 3 ???? ???? 1 ???? ???? 即 OA - OD = - (OA - OB) 3 ???? 1 ???? ???? ???? ???? 4 ???? 1 ∴ OD = (OA - OB) + OA = - OB + OA 3 3 3



???? 1 4 OD = - (2, 8) + (-1, 2) = (-2, 0) 3 3
即D点坐标为(-2, 0).

?? ? ?? ? ?? ? 7、已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, -5), F3 (x, y) 的 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3 的坐标.

解:由题设得: (3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
3+2+x = 0 ? 即: ? ?4-5+y = 0



?x = -5 ? ?y =1

?? ? ∴ F3 (-5,1)


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