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2007年广东省广州市高二数学竞赛试题


2007 年广州市高二数学竞赛试卷
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.

?? 1 ? x ?? ? ? 7, x ? 0, 1.设函数 f ( x) ? ?? 2 ? ,若 f (a ? 1) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( ? x ? 0. ? x,
A. ? -?,-4 ? B. ? ?4,0 ? C

. ? 0, ??? D. ? ??, ?4?

) .

?0, ???

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 PF1 是 2 椭圆 12 3

PF2 的(
A.7 倍

). B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 ) .

3.已知集合 M ? ?? x, y ? lg ? x 2 ?

? ?

? ?

? 1 2? y ? ? lg x ? lg y ? ,则集合 M 中元素的个数为( 4 ? ?
C.2 个 D.无数个

A.0 个

B.1 个

4.设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30 ,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m, n, p 分别是 ?MBC, ?MCA, ?MAB 的面积,若 f ( P) ? ? , x, y ? ,则 A. 9

?1 ?2

? ?

1 4 ? 的最小值是( x y
D.9

) .

?

3 ?1

?

B.18

C.16

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上.
2 5.已知复数 z 满足: z ? z ? 1 ? 0 ,则 1 ? z ? z ? z ? ? ? z
2 3
2 2

2007

? __________.


6.在区间 ? ?2, 2? 上任取两实数 a,b,则二次方程 x ? ax ? b ? 0 有实数解的概率为 7.已知函数 f ( x ) 满足: f (m ? n) ? f (m) f (n), f (1) ? 4 ,则

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) ? ? ? f (1) f (3) f (5)

?

f 2 (251) ? f (502) ? f (501)

2 8.奇函数 f ? x ? 在 R 上为减函数,若对任意的 x ? ? 0,1? ,不等式 f ? kx ? ? f ? x ? x ? 2 ? 0 恒成

?

?

立,则实数 k 的取值范围为 . 9.四面体 ABCD 中,AB=CD=6,其余的棱长均为 5,则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径 长等于 .

10. x, y 满足

1 2 3 x ?4? y ? 16 ? x 2 ,则函数 z ? x ? y ? 10 的最大值与最小值之和为 4 4



三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? m n , 其中 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) (? ? 0 ) ,若 f ( x ) 相邻两对称轴间的距离不小于 (Ⅰ)求 ? 的取值范围;

? . 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,a ? 3, b ? c ? 3 ,当 ? 最大时, f ( A) ? 1, 求 ?ABC 的面积.

n:?0 12. (本小题满分 20 分) 各项都为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 2 ? Sn ? 1? ? an ? an .
2

n:?n?2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; ( Ⅱ ) 若 数 列 {bn} 满 足 b1 ? 2 , bn?1 ? 2bn , 数 列 {cn} 满 足 Pn:?

n2 ? 24n 4
No

?a cn ? ? n ?bn

(n为奇数) (n为偶数)

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,当 n 为偶数 Tn?Pn:?2007? Yes 打印 n

时,求 Tn; (Ⅲ)同学甲利用第(Ⅱ)问中的 Tn 设计了一个程序如图,但同学 乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环” (即程序会永远 循环下去,而无法结束) .你是否同意同学乙的观点?请说明理 由.

结束

13. (本小题满分 20 分)多面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的直观图,主视图,俯视图,左视图如下所示.

D1 A1

C1 B1
a 2

a
a a

D A
直观图

C B a

a 2

左视图 主视图 图 (Ⅰ)求 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅱ)求面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值; (Ⅲ)求此多面体的体积.

2 2 俯视图

a

14. (本小题满分 20 分) 如图,已知抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0? 与圆 O : x2 ? y 2 ? 8 相交于 A 、 B 两点,且 OA OB ? 0
2

( O 为坐标原点) ,直线 l 与圆 O 相切,切点在劣弧 AB (含 A、B 两点)上,且与抛物线 C 相交 于 M 、 N 两点, d 是 M 、 N 两点到抛物线 C 的焦点的距离之和. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)求 d 的最大值,并求 d 取得最大值时直线 l 的方程. M A F O O x B y l N

15.(本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? sin x 是区间 ??1,1? 上的减函数. (Ⅰ)若 f ( x) ? t ? ?t ? 1 在 x ?[?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围;
2

(Ⅱ)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. x

2007 年广州市高二数学竞赛参考答案
1.选 B. 2.选 A.3.选 D. 4.选 B. 5.填 1.6.填 8.填 ? ??,2? . 9.填

1 . 7.填 2008. 4

3 7 .10.填 20. 8

11.解: (Ⅰ) f ( x) ? m n ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x ? sin ? x

6 T ? ? ? ? , 解得 0 ? ? ? 1 .故 ? 的取值范围是 {? | 0 ? ? ? 1} . 由题意可知 ? , 即 2 2 2? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,? f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

? cos2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?

) .? ? ? 0 ,∴函数 f ( x) 的周期 T ?

2? ? ? . 2? ?

?

? f ( A) ? 1 ,? sin( 2 A ?
由余弦定理,知 cos A ?

?
6

)?

1 ? ? 13 ? 5 ? .而 ? 2 A ? ? ? ,? 2 A ? ? ? ,? A ? . 2 6 6 6 6 6 3

6

).

b2 ? c2 ? a2 2 2 , ?b ? c ? bc ? 3 ,又 b ? c ? 3 , 2bc

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? . ? c ? 1 ?c ? 2

? S ?ABC ?

1 3 . bc sin A ? 2 2

(或用配方法? (b ? c) 2 ? 3bc ? 3

1 3 ) b ? c ? 3, ?bc ? 2 .? S?ABC ? bc sin A ? 2 2
2

12.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2 ? S1 ?1? ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 2 , 当 n ? 2 时,由 2 ? Sn ? 1? ? an ? an ,得 2 ? Sn?1 ?1? ? an?1 ? an?1 .
2 2

两式相减,并利用 an ? Sn ? Sn?1 ,求得 an ? an?1 ? 1 . ∴数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n ? 1 ( n ? N ) .
*

(Ⅱ)∵ ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴ bn ? 2 .
n

当 n 为偶数时, Tn ? ? a1 ? a3 ?

? an ?1 ? ? ? 22 ? 24 ?

? 2n ?

a ?a n 4 ?1 ? 2 ? 1 n?1 ? ? 2 2 1? 4

n

??n

2

? 2n 4 n ? ? 2 ? 1? . 4 3

4 n 47 4 n2 n ? (n 为偶数) ? 24n (n 为偶数) (Ⅲ)∵ Pn ? ,设 d n ? Tn ? Pn ? ? 2 ? , 3 2 3 4
∴ d4 ? d6 ? d8 ? d10 ? 2007 ? d12 ? d14 ? .且 d2 ? 2007 , (利用数列的单调性或单调性判断) 因此同学乙的观点正确.

∴ dn ? 2007 ,即 Tn ? P . n ? 2007 (n 为偶数)

13. (Ⅰ)解:由已知图可得,平面 A1 AB ? 平面 ABCD ,取 AB 中 点 H ,连接 A1 H , 在等腰 ?A1 AB 中,有 A1 H ? AB ,则 A1 H ? 平面 ABCD . ∴ ?A1 AB 是 A1 A 与平面 ABCD 所成的角. ∵ A1H ? 2 AH ,∴ tan ?A1 AB ?

D1 A1

C1 B1

D A
K H

C B

A1 H ? 2 .故 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2. AH

(Ⅱ)解法 1:取 AD 中点 K ,连接 D1 K , KH ,同理有 D1 K ? 平面 ABCD ,即 ?AHK 是 ?AA 1 D1 在平面 ABCD 内的射影.取 HK 的中点 M,取 A1D1 的中点 N,连接 MN,AM,AN, 则 ?MAN 就是面 AA1 D1 与面 ABCD 所成的二面角. ∵MN=a, AM ?

MN 1 2 ? 2 2 .即 cos ?MAN ? . a ,∴ tan ?MAN ? AM 3 4 1 . 3

∴面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值为

解法 2:取 AD 中点 K ,连接 D1 K , KH ,同理有 D1 K ? 平面 ABCD ,即 ?AHK 是 ?AA 1 D1 在 平 面 ABC D 内 的 射 影 , 在 ?AA 1 ? AD 1 ? 1 D1 中 , AA

3 5 2 a, A1 D1 ? a , S ?AA1D1 ? a 2 , 又 8 2 2

S 1 1 S ?A H K ? a 2 ,设面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ? ,则 cos? ? ?AHK ? . 8 S ?AA1D1 3
∴面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值为

1 . 3 1 1 a a 1 3 ? ? ?a ? a . 3 2 2 2 24

(Ⅲ) 解: ∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥, 每个三棱锥的体积都为 ? ∴此多面体的体积 V ? a ? 4 ?
3

1 3 5 3 a ? a . 24 6

14. (Ⅰ) 解:设点 A 的坐标为 ? x1 , y1 ? ? x1 ? 0? ,由于抛物线 C 和圆 O 关于 y 轴对称,故点 B 的坐 标为 ? ? x1 , y1 ? . y l N M A 点 A 在抛物线 C 上,? x ? 2 py1 .
2 1

OA OB ? 0 ,? x1 (? x1 ) ? y12 ? 0 , 即 ? x12 ? y12 ? 0 .

B F OO x N
1

??2 py1 ? y12 ? 0 , 即 y1 ? ?2 p ? y1 ? ? 0 .
y1 ? 0,? y1 ? 2 p .? x1 ? ?2 p .? 点 A 的坐标为 ? ?2 p, 2 p ? .
点 A 在圆 O 上,? ? ?2 p ? ? ? 2 p ? ? 8 ,又 p ? 0 ,解得 p ? 1 .
2 2

M
1

(Ⅱ) 解法 1:设直线 l 的方程为: y ? kx ? b ,因为 l 是圆 O 的切线,则有

k ?0 ? 0 ? b k 2 ?1

?2 2,

又 b ? 0 ,则 b ? 2 2k 2 ? 2 .即 l 的方程为: y ? kx ? 2 2k 2 ? 2 . 联立 ?

? ? y ? kx ? 2 2k 2 ? 2, ? ? x ? 2 y.
2

即 y 2 ? 2k 2 ? 4 2k 2 ? 2 y ? 8 k 2 ? 1 ? 0 .

?

?

?

?

2 2 设 M ? xM , yM ? , N ? xN , yN ? ,则 yM ? y N ? 2k ? 4 2k ? 2 .

如图,设抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 L ,作 MM1 ? L, NN1 ? L ,垂足分别为 M1 , N1 . 由抛物线的定义有:

d ? MF ? NF ? MM1 ? NN1 ? yM ? yN ? 1 ? 2k 2 ? 4 2k 2 ? 2 ? 1.
令t ?

2k 2 ? 2 ,则 2k 2 ? t 2 ? 2 .∴ d ? t 2 ? 4t ? 1 ? ? t ? 2 ? ? 5 .
2

又∵ ?1 ? k ? 1 ,∴ 2 ? t ? 2 .

∴当 t ? 2 时, d 有最大值 11.

当 t ? 2 时, k ? ?1 ,故直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 . 解法 2:设直线 l 与圆 O 相切的切点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则切线 l 的方程为 x0 x ? y0 y ? 8 . 由?

? x0 x ? y0 y ? 8, 2 2 2 消去 x ,得 y0 y ? ?16 y0 ? 2 x0 ? y ? 64 ? 0 . 2 ? x ? 2 y.
2 16 y0 ? 2 x0 . 2 y0

设 M ? xM , yM ? , N ? xN , yN ? ,则 yM ? yN ?

如图,设抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 L ,作 MM1 ? L, NN1 ? L ,垂足分别为 M1 , N1 . 由抛物线的定义有: d ? MF ? NF ? MM1 ? NN1 ? yM ? yN ? 1 ?
2 16 y0 ? 2 ? 8 ? y0 ? 2 y0

2 16 y0 ? 2 x0 ?1. 2 y0
2

x ? 8? y
2 0

2 0,

d?

? 1 1? 16 16 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 16 ? ? ? ? 5 . y0 y0 ? y0 2 ?

2 ? y0 ? 2 2 ,? 当 y0 ? 2 时, d 有最大值 11.
当 y0 ? 2 时, x0 ? ?2 ,故直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 . 15.解:(Ⅰ)

f ( x) ? ? x ? sin x 在 ??1,1? 上是减函数,

? f ?( x) ? ? ? cos x ? 0 在 ??1,1? 上恒成立, ?? ? ? cos x,cos x ?[cos1,1] ,
? ? ? -1 . 又

f ( x) 在 ??1,1? 上单调递减, ? f ( x)max ? f (?1) ? ?? ? sin1,
2

∴只需 ?? ? sin1 ? t ? ?t ?1 ,

?(t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? -1 )恒成立.
? ?t ? 1 ? 0, ?t ? 1 ? 0, ,即 ? 2 ? ? g ? ?1? ? 0. ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0.
? t ? -1 .

令 g (? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1(? ? -1) ,则 ?

?t ? -1, 2 ?? 2 而 t ? t ? sin1 ? 0 恒成立, t ? t ? sin1 ? 0. ?
(Ⅱ)令 f1 ( x) ?

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m , x

f1?( x) ?

1 ? ln x , x2

当 x ? ? 0, e? 时, f1?( x) ? 0 , ? f1 ( x) 在 (0, e] 上为增函数;

x ?[e, ??)时, f1?( x) ? 0, ? f1 ( x)在[e, ??) 上为减函数,
当 x ? e 时, f1 ( x ) max ? f1 (e) ?

1 . 而 f2 ( x) ? ( x ? e)2 ? m ? e2 , e

∴函数 f1 ( x)、f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程无解. e e 1 1 2 2 ②当 m ? e ? , 即 m ? e ? 时,方程有一个根. e e 1 1 2 2 ③当 m ? e < , 即 m<e ? 时,方程有两个根. e e
∴①当 m ? e ?
2


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