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2016年全国高中数学竞赛湖北省预赛(word高一含答案)


2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一)
一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.已知函数f (x)满足:f (1) ??2, f ( x ? 1) ? 答案:

1 ? f ? x? 对定义域内任意x都成立。那么f (2016)=____。 1 ? f ? x?

1 。 3 x ?2 x ?1 2.等式 3 ? 3 ? 28 的解集为_____________。 答案: ( ??, ?2] ? [1, ??) 。
3.从五个正整数a, b, c, d, e中任取四个求和,得到的和值构成集合{44, 45, 46, 47}则a ??b??c ??d ??e ??_____________。 答案:57。 4.求值: cos

?
9

? cos

3? 5? 7? ? cos ? cos =_____________。 9 9 9

1 答案: 。 2
5.△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,D是BC的中点,若a ??4,AD ??c ?b,则△ABC 的面积的最大值为_______________。 答案: 2 3 。 6.如果存在实数a, 使得关于x的不等式acosx ?bcos2x ?1无实数解, 则实数b 的最大值为_________。 答案:1。 7.已知质数p,q满足q5??2p2?1,则p ??q ????????????????????????????。? 答案:14。 8.已知实数x, y满足: 2 答案:
2 ?3 x

1 1 ? 21?5 y ? ,x ? ? 3,8x ? 32 y ? 8 那么,xy??????????????。? 2 y

4 。 5

9.已知MN 是边长为 2 6 的等边△ABC的外接圆的一条动弦,MN =4,P 为△ABC 的边上的动 点,则 MP ? PN 的最大值为_________。 答案:4。 10.设[a]表示不大于a的最大整数,则方程

???? ????

?x? ? x? ? ? ? 1 的最大正整数解为_________。 ? ?7? ? ? ?8?

答案:104。 二、解答题(本题满分60 分,每小题20 分。) 11.已知△ABC的三边长a,b,c(a ??b ??c)均为整数,且满足:(1)a,b,c构成等比数列; (2)a,b,c中至少有一个等于100,求符合要求的三元数组(a,b,c)的个数。

1

12.已知二次函数f (x) ??ax 2?bx ?c满足条件:(1)?4a ??b ???2a;(2)当| x |?1时,| f (x) |?1。 证明:当| x |??2时, f ? x ? ?

4 。 5

13.已知定义在R上的函数f (x)满足: f ?1? ?

10 ,且对任意实数x,y,恒有 3 f (x) f (y) ??f (x ??y) ??f (x ??y) ①若数列{an}满足an????f (n) ? f (n ? 1),n?N*。

(1)求数列{an}的通项公式;
2

(2)令 bn ?

? 3an ? 8?

24an

2

,n?N*,Sn是数列{bn}的前n项和,求证:Sn??1。

3


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