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2010年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛题及答案


2010 年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛试卷

题 得

号 分



二 (11) (12)

三 (13) (14) (15)





评卷员 学校

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;

⒉不准使用计算器;
考号

⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. 1.已知集合 P ? ?a, b? , M ? {A | A ? P} ,则集合 P 与集合 M 的关系为( ) . A. P ? M 2. 已知函数 f ?x ? ? ? B. P ? M C. P ? M D P?M ) .

?1 ? x 2 , 0 ? x ? 1, 则 f [ f (?0.5)] 等于( x 2 , ? 1 ? x ? 0 . ?
B. ? 1 C. 0.5 D. 1

姓名

A. ? 0 . 5

3. 若四面体的一条棱长为 x , 其余的棱长都是 1 , 它的体积为 F ? x ? , 则 F ? x ? 在其定义域上 ( ) . A.是增函数,但无最大值 C.不是增函数,但有最大值 B.是增函数,且有最大值 D.不是增函数,且无最大值

2 2 4. 已知方程 ( x ? 2 x ? m) x ? 2 x ? n ? 0 的四个根组成一个首项为

?

?

1 的等差数列,则 4

| m ? n |? (
班级 A. 1

) . B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上.

b、 5. 设△ ABC 的三边长分别是 a 、 外心、 垂心分别为 O、 H, 那么 OA? OB ? OC ? OH ? ______ . c,
?x ? y ? 2 ≤ 0 x2 ? y 2 ? 6.设实数 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ≥ 0 ,则 u ? 的取值范围是__________. xy ?y ? 2≤ 0 ?

?

?

?

?

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(共 8 页)

7. 数列 {an } 满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式 8.多项式 x ? x ? 1
2

. .

?

? ? 2 x ? 1?
9

4

展开式中 x 的奇次项系数之和为

9.古希腊数学家把数 1, 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,…,叫做三角形数,它有一定的规律性,则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为__________. 10. 设 m ? R, M ? {? x, y ? | y ? ? 3x ? m} , N ? {? x, y ? | x ? cos? , y ? sin ? ,0 ? ? ? 2? } , 且

M

N ? {? c o ?s 1

,? s1 in ? ?

? , 2c o?s ? 2,则 , s im n 的取值范围为 }

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R .

(1)若函数 h( x) ? f ( x ? t ) 的图象关于点 ( ? (2)设 p : x ? [

?
6

, 0) 对称,且 t ? (0, ? ) ,求 t 的值;

? ?

, ], q : f ( x) ? m ? 3 ,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 4 2

12. (本小题满分 15 分)如图,已知正方形 ABCD , E 、 F 分别是 AB 、CD 的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) . (1)证明: BF // 平面 ADE ; (2)若△ ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的 结论,并求角 ? 的余弦值. B A B E F C E F A D D

C

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13. (本小题满分 20 分) 已知椭圆

椭圆于 N .

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,直线 l 过点 A ? ?a,0? 和点 B ? a, t?a ? ? t ? 0? 交椭圆于 M ,直线 MO 交 2 a y
M B

(1)用 a , t 表示△ AMN 的面积 S ; (2)若 t ?[1, 2] , a 为定值,求 S 的最大值.

A

O

x

N

14. (本小题满分 20 分) 如图,在 xOy 平面上有一系列点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ), ,Pn ( xn,yn ), , 1 ( x1 对每个自然数 n, 点P 以点 P 且⊙ P n 位于函数 y ? x ( x ? 0) 的图象上. n 为圆心的⊙ P n 与 x 轴都相切, n
2

与⊙ Pn ?1 又彼此外切,若 x1 ? 1 ,且 xn?1 ? xn (n ? N? ) . (1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? xn ?

(2)设⊙ P n 的面积为 Sn,Tn ?

S1 ? S2 ?

? Sn ,求证: Tn ?

3 ? . ?

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15.(本小题满分 20 分)

1 ? x2 ? x ? R? . 1 ? x ? x2 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;
已知函数 f ? x ? ? (2)若 et ? 2 x2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范围(这 里 e 是自然对数的底数) ;
2 ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a 2 ? ?b2 ? ? ? a ? ?b ? (3)求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有 f ?? ?≥? ? ?? f ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? a 2 ? ?b2 ? . ???

?

?

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2010 年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛答卷
学号 姓名 分数 一.选择题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在对应的位置.) 题号 答案 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. ) 5. 8. 6. 9. 7. 10. 1 2 3 4

三.解答题:(本大题共 5 小题,共 90 分.请在相应位置作答,要求写出解答过程.) 11. (本小题满分 15 分)

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12、 (本小题满分 15 分)
B C A B E F C E F A D D

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13、 (本小题满分 20 分)

y

M

B

A

O
N

x

14、 (本小题满分 20 分)

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15.(本小题满分 20 分)

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2010 年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛参考答案
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. 1.A 2.C 3.D 4.B 3、D 将两个边长都为 1 的正三角形一条边重合,一个三角形不动,另一个三角形由重合的位置逐渐 张开,当张开到两三角形垂直位置时体积最大,再继续张开则体积逐渐减少。故选 C。当两三角形趋 向重合时, F ? x ? ? 0 ,故值域为 (0, ] 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 5.答: 0 。如图,作直径 BD,因 AD⊥AB, ∴AD∥CH。同理 AH∥CD 于是四边形 AHCD 是平行四边形。 所以 OH ? OA? AH ? OA? DC ? OA? (OC? OD) ? OA? OB? OC ∴ OA ? OB ? OC ? OH ? 0 。也可根据特殊值法,令△ABC 为等边三角形得答案。
? ? ? ? ? ?

1 8

A D O B H C

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 10 ? 6. ? 2, ? ? 3?
7. a n ? ?

?n ? 1, n为奇数, ?n, n为偶数.

8.解 设 f ? x ? ? x ? x ? 1
2

?

? ? 2x ? 1?
9

4

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? … ? a22 x 22

令 x ? 1 , f ?1? ? 3 ? a0 ? a1 ? a2 ? …? a22 ;①
4

令 x ? ?1 , f ? ?1? ? ?1 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? …? a21 ? a22 ② ①-②得, 3 ? 1 ? 2 ? a1 ? a3 ? a5 ? …? a21 ? ,所以奇次项系数之和为 41.
4

9.解 引入自变量 n 和因变量 s ,列表得

n s

1

2 3

3 6

4 10
2

5 15

… …

在猜想一次关系未获通过的情况下,调整为二次函数关系 s ? an ? bn ? c ,把 ?1,1? , ? 2,3? , ?3,6? 分 别代入解之,得关系式为 s ?

n ? n ? 1? 1 2 1 n ? n ,或化为 s ? 。以 ? 4,10? , ? 5,15? 验证均获通过。 2 2 2

因此可求得第 24 个与第 22 个三角形数分别为 300,253,故这两个三角形数的差为 47. 10. ?2, 3

?

? ?

3, 2

?
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三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 解:解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2sin (
2

?

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 4 2

?

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
∴ h( x) ? f ( x ? t ) ? 2sin(2 x ? 2t ? ∴ h( x) 的图象的对称中心为 ( 又已知点 ( ?

?

?

?
6

k? ? ? ? t , 0), k ? Z . 2 6

3

),

, 0) 为 h( x) 的图象的一个对称中心,∴ t ?

? 5? 或 . 3 6 ? ? ? ? 2? ], (Ⅱ)若 p 成立,即 x ? [ , ] 时, 2 x ? ? [ , 4 2 3 6 3 f ( x) ?[1, 2] ,由 f ( x) ? m ? 3 ? m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3 ,
而 t ? (0, ? ) ,∴ t ? ∵ p 是 q 的充分条件,∴ ? 即 m 的取值范围是 (?1, 4) .

k? ? ? (k ? Z ) . 2 3

?m ? 3 ? 1 ,解得 ?1 ? m ? 4 , ?m ? 3 ? 2

12. (本小题满分 15 分)(1)EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,? EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四边形.? BF//ED

EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ? BF // 平面 ADE .
(2)法一:如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD. ? ACD 为正三角形, ? AC=AD? CG=GD G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角.即

?AHG ? ?
设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF ? AG ?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

?A H?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

cos ??

GH 1 ? . AH 4

法二:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上
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连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ,垂足为 G ? . ? ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, ? AF ? CD 又因 EF ? CD , 所以 CD ? 平面AEF

? ? 平面 A E F ? AG ? ? CD AG

又 AG ? ? EF 且 CD ? EF ? F , CD ? 平面BCDE, EF ? 平面BCDE

? AG? ? 平面BCDE

? G ? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.

即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角.即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中, AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF ? AG ?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

?A H?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

cos ??

GH 1 ? . AH 4

法三: 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ,垂足为 G ? . ? ACD 为正三角形, F 为 CD 的中点,

? AF ? CD

又因 EF ? CD ,

所以 CD ? 平面AEF

?CD ? 平面BCDE


?平面A E F ? 平面B C D E
A G? ? E F

平面AEF ? 平面BCDE =EF,AG? ? EF

? AG? ? 平面BCDE

? G ? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.

即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角.即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF

? A G?
2 a 5

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

?A H?

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? GH ?

a 2 5

,

cos ? ?

GH 1 ? . AH 4

13. (本小题满分 20 分)

? y ? 2 ( x ? a) t 2 2 2 解: (1)易得 l 的方程为 y ? ( x ? a ) …1 分 由 ? ,得 ? a t ? 4 ? y ? 4aty ? 0 ? 2 2 2 ?x ? ?a2 ? y ?1

?

t

解得 y ? 0 或

y?

4at a t ?4
2 2
AOM

即点 M 的纵坐标 y M ?

4at a t ?4
2 2

S ?S

AMN

? 2S

2 ?| OA | yM ? 4a 2t 2 …7 分

4?a t

(2)由(1)得, S ? 4a t 2 令 V ? 4 ? a 2 t ,V ? ? ? 4 ? a2 2
t t

2

4?a t

2

?

4a

2

4 2 ?a t t

(t ? 0)
2 a

由V ? ? 0 ? t ?

2 2 2 1 ,2) ,故当 t ? 时,Smax ? a 时,V ? ? 0;当0 ? t ? 2 时, V ? ? 0 …10 分 若 1 ? a ? 2 ,则 ? [ a a a a 2 4 若 a ? 2 ,则 0 ? ? 1. ? V ? ? a 2 t 在 [1, 2] 上递增,进而 S ? t ? 为减函数. a t
当t ? ∴当 t ? 1 时, S max ?

4a 2 4 ? a2

综上可得 S max

?a(1 ? a ? 2) ? ? ? 4a 2 (a ? 2) ? ?4 ? a2

14. (本小题满分 20 分)
2 解: 证明: (1)依题意,⊙ P n 的半径 r n ? yn ? xn, P n与

Pn?1 彼此外切,则 P nP n?1 ? r n ?r n?1 .

即 ( xn ? xn ?1 ) ? ( yn ? yn ?1 ) ? yn ? yn ?1 ,
2 2

两边平方,化简得 ( xn ? xn?1 ) ? 4 yn yn?1 ,
2

即 ( xn ? xn?1 ) ? 4xn xn?1 .
2 2 2

∵ xn ? xn?1 ? 0, ? xn ? xn?1 ? 2xn xn?1,

1 1 ? ? 2(n ? N? ) . xn ?1 xn

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(共 8 页)

∴数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? xn ?

(2)由题设,∵ x1 ? 1 , ?

1 xn

1 ? (n ? 1) 2 , x1

∴ xn ?

1 ? 4 , ,Sn ? ?xn ? 2n ? 1 ??n ????

Tn ? S1 ? S 2 ? ? 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 3 5

? Sn ? ? 1 2? (2n ? 1) ? ? ? 1 (2n ? 3) (2n ? 1) ? ?

? 1 1 ≤ ? ?1 ? ? ? ? 13 35

? 1? 1 ?? ? ? ?1 ? ?1 ? ?? ? 2 ? 2n ? 1 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? . ? ???n ? 1? 2
?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 2 ?1 ? x ? x ?

15. (本小题满分 20 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

?

?

?

?

∴ f ? x ? 的增区间为 ?2 ? 3, ?2 ? 3 , f ? x ? 减区间为 ??, ?2 ? 3 和 ?2 ? 3, ?? . 极大值为 f ?2 ?

?

? ? ? ? ? 2 3 2 3 3? ? ,极小值为 f ? ?2 ? 3 ? ? ? .…………6′ 3 3
2 ?1 ? x 2 ?
2

?1 ? x ? x ?

2 2

?

(Ⅱ)原不等式可化为 et ≥ ∴

2 ?1 ? x

2

3 1 ? x2 ? x ? x ? 0? (Ⅲ)设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ? x ? x2
则 g?? x? ? f ?? x? ?1 ?

1? x ? x

2

? 的最大值为 4

1? x ? x
3

由(Ⅰ)知, x ≤1 时, f ( x) 的最大值为

2 3 . 3

,由恒成立的意义知道 e t ≥

4 3 4 3 ,从而 t ≥ ln …12′ 3 3

? ? x 2 ? 4 x ? 1?

?1 ? x ? x ?

2 2

?1 ? ?

x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2

?1 ? x ? x ?
2

2 2

.

∴当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ? ?? ≤0 ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b 2 ∴? . ≤ ? ??? ? ??? ?

2

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?? ? a ? ? b ? 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? ? ? ?? ? ? ? ?
?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a 2 ? ?b2 ? f 即 f ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ?

2

? ? ? a ? ?b ?2 ? ?? ? ≥ ? ? ? ? ? ? ?
2

? ? a 2 ? ?b2 ? ? a 2 ? ?b2 f? , ?? ??? ? ??? ?

? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 .…………20′ ?≥ ? ? ? ??? ? ? ??? ?

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