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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(51)


加试模拟训练题(51) (附详细答案) 1.如图,圆O1和圆O2与?ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且 EG、FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直; 2. 设 a、b、c、d 都是正实数,求证不等式 3. 在黑板上相继写下四个数: 7956、 3923、 5857、 9725. 再接着写出这四个数的和除以 10000 所得的余数,然后擦去第一个数,对留下的四个数,再按前面的方法处理,如此继续下去, 试问黑板上出现的四个数能否是 1989、1989、1989、1989? 4.试确定使 ab 2 ? b ? 7 整除 a 2 b ? a ? b 的全部正整数对 (a, b). 1.如图,圆O1和圆O2与?ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且 EG、FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直; 加试模拟训练题(51) 2. 设 a、b、c、d 都是正实数,求证不等式 【题说】第三十四届(1993 年)IMO 预选题本题由美国提供. 【证】由柯西不等式 即 又 (a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+(c-d)2≥0 结合(1)、(2)即得结论. 3. 在黑板上相继写下四个数: 7956、 3923、 5857、 9725. 再接着写出这四个数的和除以 10000 所得的余数,然后擦去第一个数,对留下的四个数,再按前面的方法处理,如此继续下去, 试问黑板上出现的四个数能否是 1989、1989、1989、1989? 【题说】第十五届(1989 年)全俄数学奥林匹克九年级题 4. 【解】由(1989、1989、1989、1989)出发,按所述方法处理,第 5 组为(7956、3923、5857、 9725).由于不同的四元数组的组数≤1016,在(1016+1)组中,必有两组相同.易知,每一组 也唯一地确定其前一组, 从而必有一组等于第 1 组, 因此, 黑板上可出现(1989、 1989、 1989、 1989),而且可出现无限多次. 4.试确定使 ab 2 ? b ? 7 整除 a 2 b ? a ? b 的全部正整数对 (a, b). 解: b(a b ? a ? b) ? a (ab ? b ? 7) ? b ? 7 a. ? ab 2 ? b ? 7 (b 2 ? 7 a ) 2 2 2 (i)若 b 2 ? 7 a ? 0 则有: ab 2 ? b ? 7 ? b 2 ? 7 a ? b 2 . 矛盾; (ii)若 b 2 ? 7 a ? 0 则 ab 2 ? b ? 7 ? 7 a ? b 2 ? 7 a. ? b 2 ? 7 , ? b ? 1 或 b ? 2. 当 b ? 1 时,题设成为 a ? 8 整除 7 a ? 1, 有7 a ? 1 ? 7(a ? 8) ? 57 得 a ? 8 57 ? 3 ? 29 , ? a ? 21 或 a ? 49 当 b ? 2 时, 4a ? 9 4 ? 7 a 由于 0 ? 7 a ? 4 ? 2(4a ? 9) 知: 4a ? 9 ? 7 a ? 4 无整数解; 2 ( iii ) 若 b 2 ? 7 a ? 0 则 b ? 7 k , a ? 7 k 其 中 k ? Z ? 此 时 a 2b ? a ? b 除 以 ab 2 ? b ? 7 商恰为 k,题设条件满足。 综上:所有满足条件的正整数对为 (a, b) ? (21,1), (49,1)(7 k , 7

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