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电磁感应导轨问题归纳(有答案)


应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨+杆”模型问题

常见模型--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 一、单棒问题-----------------------------------

---------------------------------------------------------------1 1、发电式 (一)导轨竖直-------------------------------------------------------------------------------------------------2 (二)导轨水平-------------------------------------------------------------------------------------------------4 (三)导轨倾斜-------------------------------------------------------------------------------------------------7 1 电容有外力充电式------------------------------------------------------------------------------------------14 2、阻尼式-------------------------------------------------------------------------------------------------------17 3、电动式-------------------------------------------------------------------------------------------------------18

二、 “双杆+导轨”模型二、双棒问题
1、无外力等距双棒--------------------------------------------------------------------------------------------18 2、有外力等距双棒--------------------------------------------------------------------------------------------19 三、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题 1.等间距型-------------------------------------------------------------------------------------------------------20 2.不等间距型----------------------------------------------------------------------------------------------------21 四、在水平导轨上的“双杆滑动”问题 1.等间距水平导轨,无水平外力作用(安培力除外)---------------------------------------------------22 2..不等间距水平导轨,无水平外力作用---------------------------------------------------------------------23 3.等间距水平导轨,受水平外力作用(安培力除外)--------------------------------------------------24 五、绳连的“双杆滑动”问题---------------------------------------------------------------------------------26

应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨+杆”模型问题
大概 1. 模型概述 “导轨+杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”,也是高考的热点,考查的知识点多,题目的综 合性强,物理情景变化空间大,是我们复习中的难点.“导轨+杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型;导轨 放置方式可分为水平、竖直和倾斜;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场 的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等,情景复杂,形式多变. 2. 常见模型 类型 示意图 棒 ab 长 L,质量 m,电阻 R;导轨 光滑水平,电阻不计 BLE S 闭合,棒 ab 受安培力 F= , R BLE 此时加速度 a= ,棒 ab 速度 v mR 过程分析 ↑→感应电动势 E′=BLv↑→电 流 I↓→安培力 F=BIL↓→加速度 a↓,当安培力 F=0 时,a=0,v 最大,最后匀速运动 能 量 转 化 运动 形式 最终 状态 变加速运动 E′ BL 变加速运动 匀速运动 mgRsin α vm= B2L2 通过安培力做功,把电能转化为动 能 克服安培力做功,把重力势能转化 为内能 棒 ab 长 L,质量 m,电阻 R;导轨 光滑,电阻不计 棒 ab 释放后下滑,此时加速度 a= gsin α , 棒 ab 速度 v↑→感应电动 E 势 E=BLv↑→电流 I= ↑→安培 R 力 F=BIL↑→加速度 a↓,当安培 力 F=mgsin α 时,a=0,v 最大, 最后匀速运动 “电—动—电”型 “动—电—动”型

已知量

匀速运动,vm=

一、单棒问题
1、发电式 (1)电路特点:导体棒相当于电源,当速度为 v 时,电动势 E=Blv (2)安培力特点:安培力为阻力,并随速度增大而增大

F
1

(3)加速度特点:加速度随速度增大而减小

(4)运动特点:加速度减小的加速运动 (5)最终状态:匀速直线运动 (6)两个极值 ①v=0 时,有最大加速度: ②a=0 时,有最大速度:

am ?

F ? ? mg m

(7)能量关系 (8)动量关系

( F ? ? mg )( R ? r ) B2l 2 1 2 Fs ? QE ? ? mgS ? mvm 2 vm ?

Ft ? BLq ? ?mgt ? mvm ? 0

(9)变形:摩擦力;改变电路;改变磁场方向;改变轨道
B ?

F

B

M

N

F

解题步骤:解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序,可概括总结为: (1)找”电源”,用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向; (2)画出等效电路图,求解回路中的电流的大小及方向; (3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程,最后确定导体棒的最终运动情况; (4)列出牛顿第二定律或平衡方程求解. (一)导轨竖直 1、如图所示,足够长的光滑平行金属导轨 MN、PQ 竖直放置,其宽度 L=1 m,一匀强磁场垂直穿过导轨平面,导轨 的上端 M 与 P 之间连接阻值为 R=0.40 Ω 的电阻, 质量为 m=0.01 kg、 电阻为 r=0.30 Ω 的金属棒 ab 紧贴在导轨上. 现 使金属棒 ab 由静止开始下滑,下滑过程中 ab 始终保持水平,且与导轨接触良好,其下滑距离 x 与时间 t 的关系如图 乙所示,图象中的 OA 段为曲线,AB 段为直线,导轨电阻不计,g=10 m/s2(忽略 ab 棒运动过程中对原磁场的影响), 求:




2

(1)磁感应强度 B 的大小; 答案 (1)0.1 T

(2)金属棒 ab 在开始运动的 1.5 s 内,通过电阻 R 的电荷量;

(3)金属棒 ab 在开始运动的 1.5 s 内,电阻 R 上产生的热量. (2)0.67 C (3)0.26 J 解析 (1)金属棒在 AB 段匀速运动,由题中图象乙得: Δx BLv v= =7 m/s I= ,mg=BIL 解得 B=0.1 T Δt r+R ΔΦ ΔS (2)q= I Δ t I= Δ Φ= B ?R+r?Δ t Δt 1 (3)Q=mgx- mv2 解得 Q=0.455 J 2

解得:q=0.67 C R 从而 QR= Q=0.26 J r+R

2、 如图所示,竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距 L,导轨间接有一定值电阻 R,质量为 m,电阻为 r 的金属 棒与两导轨始终保持垂直并良好接触,且无摩擦,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直,现将金属棒 由 静 止 释 放 , 金 属 棒 下 落 高 度 为 ( ) A.导体棒的最大速度为 2gh BLh B.通过电阻 R 的电荷量为 R+r C.导体棒克服安培力做的功等于电阻 R 上产生的热量 D.重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量 答案 BD
3、如图 2 所示,电阻为 R,其他电阻均可忽略,ef 是一电阻 可不计的水平放置的导体棒,质量为 m,棒的两端分别与 ab、cd 保 持良好接触,又能沿框架无摩擦下滑,整个装置放在与框架垂直的 匀强磁场中,当导体棒 ef 从静止下滑一段时间后闭合开关 S,则 S 闭合后 A.导体棒 ef 的加速度可能大于 g B.导体棒 ef 的加速度一定小于 g C.导体棒 ef 最终速度随 S 闭合时刻的不同而不同 D.导体棒 ef 的机械能与回路内产生的电能之和一定守恒 ( )

h

时 开 始 做 匀 速 运 动 , 在 此 过 程 中

4、MN 和 PQ 为竖直方向的两平行长直金属导轨,间距 l 为 0.40m,电阻不计.导轨所在平面与磁感应强度 B 为 0.50T 的匀强磁场垂直.质量 m 为 6.0× 10-3kg、电阻为 1.0Ω 的金属杆 ab 始终垂直 于导轨, 并与其保持光滑接触. 导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为 3.0Ω 的电阻 R1.当杆 ab 达到稳定状态时以速率 υ 匀速下滑,整个电路消耗的电 功率 P 为 0.27W, 重力加速度取 10m/s2, 试求速率 υ 和滑动变阻器接入电路 部分的阻值 R2.

5、如图,两根足够长的金属导轨 ab、cd 竖直放置,导轨间距离为 L1 电阻不计。在导轨上 端并接两个额定功率均为 P、电阻均为 R 的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中,磁感应强度 方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为 m、电阻可以忽略的金属棒 MN 从图示位置由静止
3

开始释放。金属棒下落过程中保持水平, 且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为 g。 求: (1)磁感应强度的大小: (2)灯泡正常发光时导体棒的运动速率。 解析:每个灯上的额定电流为 I ?

P 额定电压为: U ? P R R
mg PR 2 PL

(1)最后 MN 匀速运动故:B2IL=mg 求出: B ?

(2)U=BLv 得: v ?

PR 2P ? BL mg

(二)导轨水平 3. 如图 3 所示,两根平行金属导轨固定在同一水平面内,间距为 l,导轨左端连接一个电阻.一根质量为 m、电阻 为 r 的金属杆 ab 垂直放置在导轨上.在杆的右方距杆为 d 处有一个匀强磁场,磁场方向垂直于轨道平面向下,磁感应 强度为 B.对杆施加一个大小为 F、方向平行于导轨的恒力,使杆从静止开始运动,已知杆到达磁场区域时速度为 v, 之后进入磁场恰好做匀速运动.不计导轨的电阻,假定导轨与杆之间存在恒定的阻力.求: (1)导轨对杆 ab 的阻力大小 Ff. (2)杆 ab 中通过的电流及其方向. (3)导轨左端所接电阻的阻值 R. mv2 mv2 2B2l2d 答案 (1)F- (2) ,方向由 a 流向 b (3) -r 2d 2Bld mv 解析 (1)杆 ab 进入磁场前做匀加速运动,有 F-Ff=ma v2=2ad mv2 解得导轨对杆的阻力 Ff=F- 2d (2)杆 ab 进入磁场后做匀速运动,有 F=Ff+F 安 杆 ab 所受的安培力 F 安=IBl mv2 解得杆 ab 中通过的电流 I= 2Bld 由右手定则判断杆中的电流方向自 a 流向 b (3)杆运动过程中产生的感应电动势 E=Blv E 杆中的感应电流 I= R +r 2B2l2d 解得导轨左端所接电阻阻值 R= -r mv
4

13.如图 ,二相互平行的光滑金属导轨位于水平面内,间距 在 区域有一与水平面垂直的均匀磁场 ;一质量为

,在导轨的一端接有阻值为 的金属杆垂直放置在导轨上并以

的电阻;

的初速度进入磁场中,在安培力及垂直于杆的水平外力 F 共同作用下做匀变速直线运动,加速度大小为 方向与初速度方向相反;设导轨及金属杆的电阻均不计且接触良好 求:(1)电流为 0 时金属杆所处的位置?(2)电流为最大值的一半时施加在金 属杆上外力 F 的大小及方向?(3)保持其它条件不变而初速度 开始时外力 F 的方向与初速度 取值的关系? 取不同值,则

解析:由题意知杆必向右作匀减速直线运动到速度为 0 后再向左作匀加速直线运动直到离开磁场区域,故电流 为 0 时表示杆的速度为 0; 杆向右匀减速直线运动的位移为 得 ;杆的运动速度变化时电路中的电动势变化,故电流相应

变化,由电动势

有杆运动的速度最大则电路中感应电动势最大、电流最大,即最大电流必为



当电流为最大值的一半时即

时: 即

①若此时杆向右运动,则外力方向不定,我们假设外力 F 水平向右由牛顿定律有

,故杆向右运动中外力 F 大小为 0.18N 方向水平向左;②若此时杆向左运动, 则外力 F 方向必水平向左且有 即 代入数据得 。

(3)杆开始运动时速度为

,则电动势为

,故安培力为

;那么对杆由牛顿定

律有









时,

表示外力 F 方向与 X 轴方向相反;





时,
5

表示外力 F 方向与 X 轴方向相同.

【例 2】 如图所示, 质量 m1=0.1kg, 电阻 R1=0.3Ω , 长度 l=0.4m 的导体棒 ab 横放在 U 型金属框架上。 框架质量 m2=0.2kg, 放在绝缘水平面上,与水平面间的动摩擦因数μ =0.2,相距 0.4m 的 MM’、NN’相互平行,电阻不计且足够长。电 阻 R2=0.1Ω 的 MN 垂直于 MM’。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度 B=0.5T。垂直于 ab 施加 F=2N 的水平恒力,ab 从静止开始无摩擦地运动,始终与 MM’、NN’保持良好接触,当 ab 运动到某处时,框架开始运动。 设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g 取 10m/s2.

(1)求框架开始运动时 ab 速度 v 的大小; (2)从 ab 开始运动到框架开始运动的过程中,MN 上产生的热量 Q=0.1J,求该过程 ab 位移 x 的大小。 【解析】:(1) ab 对框架的压力

F1 ? m1 g




F ? m2 g ? F1 框架受水平面的支持力 N
ab 中的感应电动势 E ? Blv
④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

依题意,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则框架受到最大静摩擦力

F2 ? ? FN



E I? R1 ? R2 MN 中电流 MN 安 ? IlB
受到的安培力 F 框架开始运动时

F安 ? F2

由上述各式代入数据解得 v ? 6m / s

Q总 ?
(2)闭合回路中产生的总热量

R1 ? R2 Q R2



Fx ?
由能量守恒定律,得 代入数据解得 x ? 1.1m

1 m1v 2 ? Q总 2 ⑩
1 ○ 1

【例 3】如图 7-9 甲所示,一对平行光滑轨道放置在水平面上,两轨 道间距 L=0.20m,电阻 R=1.0Ω ,有一导体杆静止放在轨道上,与两 轨道垂直,杆及轨道的电阻可忽略不计,整个装置处于磁感强度 B=0.50T 的匀强磁场中,磁场方向垂直轨道面向下,现用一外力 F 沿轨道方向拉杆,使之做匀加速运动,测得力 F 与时间 t 的关系如 图 7-9 乙所示,求杆的质量 m 和加速度 a.
6

(1)如图所示。(4 分)

(2)对杆应用牛顿定律,得

(2 分)

(1 分) 分)

(1 分)

(1 分)

由以上各式得:
2

(3

分别把 t1=0、F1=2N 及 t1=10s、F1=3N 代入上式解得 m=0.2kg (1 分)、 a=10m/s (1 分)

【答案】m=0.1kg, a=10m/s2 16.(13 分)如图所示,两根正对的平行金属直轨道 MN、M? N? 位于同一水 平面上,两轨道之间的距离 l=0.50m.轨道的 MM? 端之间接一阻值 R=0.40Ω 的定值电阻,NN? 端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道 NP、N? P? 平滑连接,两半圆轨道的半径均为 R0=0.50m.直轨道的右端处于竖直向下、 磁感应强度 B=0.64 T 的匀强磁场中,磁场区域的宽度 d=0.80m,且其右边 界与 NN? 重合.现有一质量 m=0.20kg、电阻 r=0.10Ω 的导体杆 ab 静止在距 磁场的左边界 s=2.0m 处.在与杆垂直的水平恒力 F=2.0N 的作用下 ab 杆开 始运动,当运动至磁场的左边界时撤去 F,结果导体杆 ab 恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点 PP? .已知导体 杆 ab 在运动过程中与轨道接触良好,且始终与轨道垂直,导体杆 ab 与直轨道之间的动摩擦因数 μ=0.10,轨道的电阻 可忽略不计,取 g=10m/s2,求: ?导体杆刚进入磁场时,通过导体杆上的电流大小和方向; ?导体杆穿过磁场的过程中通过电阻 R 上的电荷量; ?导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热.

9.(本题特点:B 变 S 不变)如图所示,导轨是水平的,其间距 l1=0.5m,ab 杆与导轨左端的距离 l2=0.8m,由导轨 与 ab 杆所构成的回路电阻为 0.2Ω , 方向垂直导轨平面向下的匀强磁场的磁感应强度 B0=1T, 滑轮下挂一个重物 M 质 量为 0.04kg,ab 杆与导轨之间的摩擦不计,现使磁场以

?B ? 0.2T / s 的变化率均匀的增大, 问:当 t 为多少时,M ?t

刚离开地面。 解析:闭合回路的磁通量发生变化,要产生感应电流,在磁场中受到安培力的作用,当绳子绷紧,物体 M 刚要离开 地面时,绳子中拉力大小 F1 应等于重力大小,也等于棒 ab 所受的安培力 F2 的大小,即 而 F2 ? BIl1 ,从而得 Mg ? BIl1

F1 ? Mg

F1 ? F2

?B ? t ? 1 ? 0.2t , 其中 B ? B0 ? ?t 代入数据得 t ? 0.5s

E I? ? R

l1l 2 ?

?B ?t ? 0.4 A R
7

(三)导轨倾斜 【例 3】如图所示,AB、CD 是两根足够长的固定平行金属导轨,两导轨间的距离为 L,导轨平面与水平面的夹角为 θ ,在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为 B,在导轨 的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻,一根质量为 m、垂直于导轨放置的金属棒 ab,从静止 开始沿导轨下滑,求此过程中 ab 棒的最大速度。已知 ab 与导轨间的动摩擦因数为μ ,导轨 和金属棒的电阻都不计。求金属棒的最大速度? 解析:ab 沿导轨下滑过程中受四个力作用,即重力 mg,支持力 FN 、摩擦力 Ff 和安培力 F 安,如图所示,ab 由静止开始下滑后,将是 处于平衡状态,以后将以 vm 匀速下滑 ab 下滑时因切割磁感线,要产生感应电动势,根据电磁感应定律: 闭合电路 AC ba 中将产生感应电流,根据闭合电路欧姆定律: ③ 取平行和垂直导轨的两个方向对 ab 所受的力进行正交分解,应有: FN = mgcosθ 由①②③可得 Ff= μ mgcosθ E=BLv I=E/R ② ①

v ?? E ?? I ?? F安 ?? a ? ( ? 为增大符

号),所以这是个变加速过程,当加速度减到 a=0 时,其速度即增到最大 v=vm,此时必将

据右手定则可判定感应电流方向为 aAC ba,再据左手定则判断它受的安培力 F 安方向如图示,其大小为: F 安=BIL

F安 ?

B L2 v R

2

以 ab 为研究对象,根据牛顿第二定律应有:

B 2 L2 v mgsinθ –μ mgcosθ - R =ma
ab 做加速度减小的变加速运动,当 a=0 时速度达最大

B 2 L2 v 因此,ab 达到 vm 时应有: mgsinθ –μ mgcosθ - R =0 mg ?sin ? ? ? cos ? ?R vm ? B 2 L2 由④式可解得
面,还是从能量、动量方面来解决问题。



注意:(1)电磁感应中的动态分析,是处理电磁感应问题的关键,要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方 (2)在分析运动导体的受力时,常画出平面示意图和物体受力图。 4.如图所示,金属框架与水平面成 30°角,匀强磁场的磁感强度 B=0.4T,方向垂直框架平面 向上,金属棒长 l=0.5m,重量为 0.1N,可以在框架上无摩擦地滑动,棒与框架的总电阻为 2Ω , 运动时可认为不变,问: (1)要棒以 2m/s 的速度沿斜面向上滑行,应在棒上加多大沿框架平面方向的外力? (2)当棒运动到某位置时,外力突然消失,棒将如何运动? (3)棒匀速运动时的速度多大? (4)达到最大速度时,电路的电功率多大?重力的功率多大?

8

13.如图 13 所示, MN、 PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成 θ 角固定, 轨间距为 d.空间存在匀强磁场, 磁场方向垂直于轨道平面向上, 磁感应强度为 B.P、M 间所接电阻阻值为 R.质量为 m 的金属杆 ab 水平放置在轨道上,其有效电阻为 r.现从静止释放 ab,当它沿轨道下滑 距离 s 时,达到最大速度.若轨道足够长且电阻不计,重力加速度为 g.求: (1)金属杆 ab 运动的最大速度; 1 (2)金属杆 ab 运动的加速度为 gsin θ 时,电阻 R 上的电功率; 2

(3)金属杆 ab 从静止到具有最大速度的过程中,克服安培力所做的功.

12. 如图所示,倾角θ =30?、宽度 L=1m 的足够长的“U”形平行光滑金属导轨固定在磁 感应强度 B =1T,范围足够大的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下。用平行于轨道的牵 引力拉一根质量 m =0.2 ㎏、电阻 R =1Ω 的垂直放在导轨上的金属棒 a b, 使之由静止开始沿 轨道向上运动。牵引力做功的功率恒为 6W,当金属棒移动 2.8m 时,获得稳定速度,在此 过程中金属棒产生的热量为 5.8J,不计导轨电阻及一切摩擦,取 g=10m/s2。求: (1)金属棒达到稳定时速度是多大? (2)金属棒从静止达到稳定速度时所需的时间多长? 解:(1)金属棒沿斜面上升达稳定速度时,设所受的安培力为 F 安,由平衡条件得: F=mgsinθ+F 安 而 F 安=BIL=B

BLv L R

又F ?

P v

联立以上三式解得 v = 2m/s (2)由能量转化与守恒定律可得 Pt = mgssinθ+ 代入数据解得:t =1.5s

1 2 mv +Q 2

1. (2012·山东理综·20)如图 8 所示,相距为 L 的两条足够长的光滑 平行金属导轨与水平面的夹角为θ ,上端接有定值电阻 R,匀强 磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为 B.将质量为 m 的导体棒由 静止释放,当速度达到 v 时开始匀速运动,此时对导体棒施加 一平行于导轨向下的拉力,并保持拉力的功率恒为 P,导体棒 最终以 2v 的速度匀速运动.导体棒始终与导轨垂直且接触良好, 不计导轨和导体棒的电阻,重力加速度为 g.下列选项正确的是 A.P=2mgvsin θ B.P=3mgvsin θ v g C.当导体棒速度达到 时加速度大小为 sin θ 2 2 D.在速度达到 2v 以后匀速运动的过程中,R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功 答案 AC
9

图8 ( )

E BLv 解析 根据 I= = ,导体棒由静止释放,速度达到 v 时,回路中的电流为 I,则根据 R R 共点力的平衡条件,有 mgsin θ =BIL.对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,使其以 2v 的速度匀速运动时,则回路中的电流为 2I,则根据平衡条件,有 F+mgsin θ =B·2IL,所 以拉力 F=mgsin θ ,拉力的功率 P=F×2v=2mgvsin θ ,故选项 A 正确,选项 B 错误; v I I g 当导体棒的速度达到 时,回路中的电流为 ,根据牛顿第二定律,得 mgsin θ -B L=ma,解得 a= sin θ ,选项 C 2 2 2 2 正确;当导体棒以 2v 的速度匀速运动时,根据能量守恒定律知,重力和拉力所做的功之和等于 R 上产生的焦耳热, 故选项 D 错误.

如图所示,电阻可忽略的光滑平行金属导轨长 s=1.15 m,两导轨间距 L=0.75 m,导轨倾角为 30°,导轨上端 ab 接 一阻值 R=1.5 Ω 的电阻,磁感应强度 B=0.8 T 的匀强磁场垂直轨道平面向上.阻值 r=0.5 Ω 、质量 m=0.2 kg 的金 属棒与轨道垂直且接触良好, 从轨道上端 ab 处由静止开始下滑至底端, 在此过程中金属棒产生的焦耳热 Qr=0.1 J. (取 g=10 m/s2)求:

(1)金属棒在此过程中克服安培力做的功 W 安;

(2)金属棒下滑速度 v=2 m/s 时的加速度 a; 2 1 (3)为求金属棒下滑的最大速度 vm, 有同学解答如下: 由动能定理, WG-W 安= mv m , ?.由此所得结果是否正确? 2 若正确,说明理由并完成本小题;若不正确,给出正确的解答. 答案 (1)0.4 J (2)3.2 m/s2 (3)见解析 解析 (1)下滑过程中安培力做的功即为电阻上产生的焦耳热,由于 R=3r,因此 QR=3Qr=0.3 J 所以 W 安=Q=QR+Qr=0.4 J (2)金属棒下滑时受重力和安培力 B2L2 F 安=BIL= v R+r B2L2 由牛顿第二定律得 mgsin 30°- v=ma R+r B2L2 所以 a=gsin 30°- v m?R+r? = m/s2=3.2 m/s2 (3)此解法正确. 金属棒下滑时受重力和安培力作用,其运动满足 B2L2 mgsin 30°- v=ma R+r 上式表明,加速度随速度增大而减小,棒做加速度减小的加速运动.无论最终是否达到 匀速,当棒到达斜面底端时速度一定为最大.由动能定理可以得到棒的最大速度,因此 上述解法正确.
10

2 1 mgssin 30°-Q= mv m 2

所以 vm= =

2Q 2gssin 30°- m 1 2×0.4 2×10×1.15× - m/s≈2.74 m/s. 2 0.2

【例 1】如右图所示,一平面框架与水平面成 37°角,宽 L=0.4 m,上、下两端各有一个电阻 R0=1 Ω ,框架的其他 部分电阻不计,框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场,磁感应强度 B=2T.ab 为金属杆,其长度为 L =0.4 m,质量 m=0.8 kg,电阻 r=0.5Ω ,棒与框架的动摩擦因数μ =0.5.由静止开始下滑,直到速度达到最大的过程 中,上端电阻 R0 产生的热量 Q0=0.375J(已知 sin37°=0.6,cos37°=0.8;g 取 10m/s2)求:(1)杆 ab 的最大速度; (2)从开始到速度最大的过程中 ab 杆沿斜面下滑的距离;(3)在该过程中通过 ab 的电荷量.

【解析】该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题,解题的关键是要正确分析 金属杆的运动及受力的变化情况。 ∴F=mg(sinθ —μ cosθ ) 杆 ab 达到平衡时的速度即为最大速度 v,这时 mgsinθ —F— ?N =0,N=mgcosθ

R0 E ? r ? 1? I? R , F ? BIL 2 总电阻 , E ? Blv , 2 2 B Lv mg (sin ? ? ? cos ? ) R v? ? 2.5 m F? s R ,得 B 2 L2 R?
克 服 磁 场 力 所 做 的 功 数 值 上 等 于 产 生 的 总 电 能 即

W ? Q ? 2Q0 ? 2Q0 ? 1.5J
由动能定理:



smg sin ? ? W ? ?mg cos ? ?

1 mv 2 ? 0 2

1 2 mv ? W 2 s? mg (sin ? ? ? cos ? ) =2.5m
q ? I? t ?
通过 ab 的电荷量

BLs R ,代入数据得 q=2 C

如图所示,固定的光滑金属导轨间距为 L,导轨电阻不计,上端 a、b 间接有阻值为 R 的电阻,导轨平 面与水平面的夹角为 θ,且处在磁感应强度大小为 B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。质量为 m、电阻为 r 的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上。初始时刻,弹簧恰处于自然长度,导体棒具有沿 轨道向上的初速度 v0。整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。已知弹簧的劲度系数 为 k,弹簧的中心轴线与导轨平行。
11

?求初始时刻通过电阻 R 的电流 I 的大小和方向; ?当导体棒第一次回到初始位置时,速度变为 v,求此时导体棒的加速度大小 a; ?导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为 Ep,求导体棒从开始运动直到停止的过程中,电阻 R 上产生的 焦耳热 Q。 【答案】?棒产生的感应电动势 E1 ? BLv0
I1 ? BLv0 E1 ? R ? r R ? r (1 分)

(1 分)

通过 R 的电流大小

电流方向为 b→a
I2 ?

(2 分)

?棒产生的感应电动势为 E2 ? BLv (1 分)
F ? BIL ?

感应电流

E2 BLv ? R?r R?r

(1 分)

棒受到的安培力大小

B 2 L2 v R ? r ,方向沿斜面向上

(2 分)

根据牛顿第二定律 有

m g sin ? ? F ? m a

(1 分)

a ? g sin ? ?
解得

B 2 L2 v m( R ? r )

(1 分)

?导体棒最终静止,有

m g sin ? ? kx

压缩量

x?

mgsin ? k


(2 分)

设整个过程回路产生的焦耳热为 Q0,根据能量守恒定律
1 2 mv0 ? mgx sin ? ? EP ? Q0 2

Q0 ?

1 2 (mg sin ? ) 2 mv0 ? ? EP 2 k

(2 分)

电阻 R 上产生的焦耳热

Q?

R R 1 2 (mg sin ? )2 Q0 ? [ mv0 ? ? EP ] R?r R?r 2 k
12

针对性演练.如图 13 所示, 两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为 θ 的绝缘 斜面上(两导轨与水平面的夹角也为 θ),导轨上端连接一个定值电阻。导 体棒 a 和 b 放在导轨上, 与导轨垂直并良好接触。 斜面上水平虚线 PQ 以下 区域内,存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。现对 a 棒施以平行导轨斜 向上的拉力,使它沿导轨匀速向上运动,此时放在导轨下端的 b 棒恰好静 止。当 a 棒运动到磁场的上边界 PQ 处时,撤去拉力,a 棒将继续沿导轨向
图 13

上运动一小段距离后再向下滑动,此时 b 棒已滑离导轨。当 a 棒再次滑回到磁场上边界 PQ 处时,又恰 能沿导轨匀速向下运动。已知 a 棒、b 棒和定值电阻的阻值均为 R,b 棒的质量为 m,重力加速度为 g, 导轨电阻不计。求: ?a 棒的质量 ma; ?a 棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力 F。 解 ?a 棒在 PQ 上方运动的过程中只有重力做功,机械能守恒,故可知 a 棒在磁场中沿导轨向上

匀速运动和向下匀速运动的速度大小相等,进一步结合法拉第电磁感应定律可知,在这两个过程中,a 棒因切割磁感线而产生的感应电动势的大小相等,设为 E。 (2 分)

1 E a 棒在磁场中沿导轨向上匀速运动时,b 棒中的电流为: I b ? ? 2 3R 2
此时,b 棒恰好静止,有:IbLB=mgsin θ (1 分) a 棒在磁场中沿导轨向下匀速运动时,设 a 棒中的电流为 Ia′,有:

(1 分)

E (1 分) 2R Ia′LB=magsin θ (2 分) Ia? ?
解得:ma=1.5m。 (1 分) (1 分)

?a 棒在磁场中沿导轨向上运动时,设 a 棒中的电流为 Ia,有:Ia=2Ib

处于磁场中的 a 棒在平行导轨斜向上的拉力 F 作用下沿导轨匀速向上运动,有: F=IaLB+magsin θ 又:IbLB=mgsin θ (2 分) (1 分) (1 分)

解得:F=3.5mgsin θ。

如图所示,有一足够长的光滑平行金属导轨,电阻不计,间距 L=0.5 m,导轨沿与水平方向成 θ=30° 倾斜放置,底部
13

连接有一个阻值为 R=3 Ω 的电阻.现将一个长也为 L=0.5 m、质量为 m=0.2 kg、电阻 r=2 Ω 的均匀金属棒 ab,自 轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下,下滑中均保持与轨道垂直并接触良好,经一段距离后进入一垂直轨道平面的匀 强磁场中,如图所示.磁场上部有边界 OP,下部无边界,磁感应强度 B=2 T.金属棒进入磁场后又运动了一段距离 便开始做匀速直线运动,在做匀速直线运动之前这段时间内,金属棒上产生了 Qr=2.4 J 的热量,且通过电阻 R 上的 电荷量为 q=0.6 C,取 g=10 m/s2.求:

(1)金属棒匀速运动时的速度 v0; (2)金属棒进入磁场后速度 v=6 m/s 时,其加速度 a 的大小及方向; (3)磁场的上部边界 OP 距导轨顶部的距离 s. 解(1)此时金属棒沿斜面方向受力平衡:BIL=mgsin θ…………(1 分) ( 对闭合电路有:I=,E=BLv0…………………………………………. (1 分) (

联立解得:v0=

=5 m/s……………..(1 分)

(2)由牛顿第二定律得:mgsin θ-BIL=ma…………..(1 分) 而由电路:I=………………………………………. (1 分)

a=gsin θ-

=-1 m/s2……………..(1 分)

因此,此时加速度大小为 1 m/s2,方向沿斜面向上.……………..(1 分) (3)由于金属棒 r 和电阻 R 上的电流瞬时相同,根据焦耳定律产生的电热应与阻值成正比,因此可求出金属棒匀速运动 前 R 上产生的电热为: QR=Qr=3.6 J……………..(1 分) gkstk 因此,该过程中电路中的总电热为:Q=Qr+QR=6 J 又该过程中电路平均电流为:== q=·Δt==……………..(1 分) gkstk 从释放到刚好达到匀速运动的过程中,由能量守恒得到: mgsin θ(s+x)=mv+Q……………..(1 分) gkstk 联立解得:s=- =5.5 m. ……………..(1 分) ……………..(1 分)

设匀速前金属棒在磁场中位移为 x,则此过程中通过 R 的电荷量为:

与电容器结合 电容有外力充电式 (1)电路特点:导体为发电边;电容器被充电。 (2)三个基本关系 导体棒受到的安培力为: FB ? BIl
14

F

导体棒加速度可表示为: a ? 回路中的电流可表示为:

F ? FB m

I?

?Q C ?E CBl ?v ? ? ? CBla ?t ?t ?t

(3)四个重要结论: ①导体棒做初速度为零匀加速运动: ②回路中的电流恒定: ③导体棒受安培力恒定:

F a? m ? CB 2l 2 CBlF I? m ? CB 2l 2
CB 2l 2 F m ? CB 2l 2

FB ?

④导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能:(试用动能定理证明)

1 2 W克B ? C (Blv ) 2
(4)变形:导轨有摩擦;电路变化;恒力的提供方式;
B ? F

FB

h

mg mg B

【例 7】 如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距 l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为 C, 匀强磁场垂直纸面 向里, 磁感应强度为 B, 质量为 m 的金属棒 ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让 ab 从离地面高为 h 的位置由静止下滑, 不考 虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 求金属棒落地时的速度为多大?

【解析】ab 在 mg 作用下加速运动,经时间 t ,速度增为 v,a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v 电容器带电量 Q=CE=CBl v,感应电流 I=Q/t=CBL v/ t=CBl a 产生安培力 F=BIl =CB2 l 2a,由牛顿运动定律 mg-F=ma ma= mg - CB2 l 2a ,a= mg / (m+C B2 l 2) ∴ab 做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B2 l 2) 落地速度为 2m gh

v ? 2ah ?

m ? CB 2 l 2

3. 如图 10,两根足够长光滑平行金属导轨 PP′、QQ′倾斜放 置,匀强磁场垂直于导轨平面,导轨的上端与水平放置的
15

两金属板 M、N 相连,板间距离足够大,板间有一带电微 粒,金属棒 ab 水平跨放在导轨上,下滑过程中与导轨接触良好. 现同时由静止释放带电微粒和金属棒 ab,则 A.金属棒 ab 最终可能匀速下滑 B.金属棒 ab 一直加速下滑 C.金属棒 ab 下滑过程中 M 板电势高于 N 板电势 D.带电微粒不可能先向 N 板运动后向 M 板运动 答案 BC 解析 金属棒沿光滑导轨加速下滑,棒中有感应电动势而对金属板 M、N 充电,充电电 流通过金属棒时金属棒受安培力作用,只有金属棒速度增大时才有充电电流,因此总有 mgsin θ -BIL>0,金属棒将一直加速下滑,A 错,B 对;由右手定则可知,金属棒 a 端(即 M 板)电势高,C 对;若微粒带负电,则电场力向上,与重力反向,开始时电场力为 0, 微粒向下加速,当电场力增大到大于重力时,微粒的加速度向上,可能向 N 板减速运动 到零后再向 M 板运动,D 错. (2012·广东理综·35)如图 1 所示,质量为 M 的导体棒 ab,垂直放在相距为 l 的平行光 滑金属导轨上,导轨平面与水平面的夹角为θ ,并处于磁感应强度大小为 B、方向垂直 于导轨平面向上的匀强磁场中.左侧是水平放置、间距为 d 的平行金属板,R 和 Rx 分别 表示定值电阻和滑动变阻器的阻值,不计其他电阻. 图 10 ( )

图1 (1)调节 Rx=R,释放导体棒,当导体棒沿导轨匀速下滑时,求通过导体棒的电流 I 及导 体棒的速率 v. (2)改变 Rx,待导体棒沿导轨再次匀速下滑后,将质量为 m、带电荷量为+q 的微粒水平射入金属板间,若它能匀速通 过,求此时的 Rx. 解析 (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示. 导体棒所受安培力 F 安=BIl 导体棒匀速下滑,所以 F 安=Mgsin θ Mgsin θ 联立①②式,解得 I= Bl ① ② ③

导体棒切割磁感线产生感应电动势 E=Blv ④ E E 由闭合电路欧姆定律得 I= ,且 Rx=R,所以 I= 2R R+Rx 2MgRsin θ 联立③④⑤式,解得 v= B2l2 (2)由题意知,其等效电路图如图所示.
16



由图知,平行金属板两板间的电压等于 Rx 两端的电压. 设两金属板间的电压为 U,因为导体棒匀速下滑时的电流仍 为 I,所以由欧姆定律知 U=IRx U 要使带电的微粒匀速通过,则 mg=q d mBld 联立③⑥⑦式,解得 Rx= . Mqsin θ Mgsin θ 2MgRsin θ mBld 答案 (1) (2) Bl B2l2 Mqsin θ ⑦ ⑥

如图, 两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ , 间距为 L。 导轨上端接有一平行板电容器,电容为 C。导轨处于匀强磁场 中,磁感应强度大小为 B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放 置一质量为 m 的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中保 持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因 数为μ ,重力加速度大小为 g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨 上端由静止开始下滑,求: (1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系; (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。 (1) (2)

(1)设金属棒下滑的速度大小为 v,则感应电动势为 E=BLv ① 平行板电容器两极板的电压为 U,U=E ② 设此时电容器极板上储存的电荷为 Q,按定义有 ③ 联立①②③式解得 ④ (2) 设金属棒下滑的速度大小为 v 时经历的时间为 t,通过金属棒的电流为 i, 金属棒受到磁场的安培力为 F, 方向沿导轨向上,大小为 F="BLi" ⑤ 设在 t~t+ 由④式可得 按加速度的定义有 N=mgcos ⑨ 时间间隔内流经金属棒的电荷量为 ,按定义有 ⑥

也是平行板电容器两极板在 t~t+ ⑦ 式中 ⑧ ⑩

时间间隔内增加的电荷量 为金属棒速度的变化量

分析导体棒的受力:受重力 mg,支持力 N,滑动摩擦力 f,沿斜面向上的安培力 F。 (11)
17

联立⑤至(11)式得

(12)

由(12)式及题设可知,金属棒做初速为零的匀加速直线运动,t 时刻金属棒下滑的速度大小为 v (13)

2、阻尼式
(1)电路特点:导体棒相当于电源。 (2)安培力的特点:安培力为阻力,并随速度减小而减小。

FB ? BIl ?

Bl v R?r

2 2

v0

(3)加速度特点:加速度随速度减小而减小

a?

FB B 2l 2 v ? m m( R ? r )

(4)运动特点:加速度减小的减速运动 (5)最终状态:静止 (6)能量关系:动能转化为焦耳热

1 2 mv0 ? 0 ? Q 2
(7)动量关系

?BIl ? ?t ? 0 ? mv0

q?

mv0 Bl

q?n

?? Bl ? ?s ? R?r R?r

(8)变形:有摩擦力;磁场不与导轨垂直等 【例 4】如图所示,MN、PQ 是间距为 L 的平行金属导轨,置于磁感强度为 B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁 场中,M、P 间接有一阻值为 R 的电阻.一根与导轨接触良好、阻值为 R/2 的金属导线 ab 垂直导轨放置,若某时金属 导线 ab 以初速度 v 开始向右滑动。(1)试求刚开始滑动时 ab 两点间的电势差。(2)试求金属导线 ab 运动的整个过 程中产生电路中产生的热量、通过 ab 电量以及 ab 发生的位移 x。

【解析】(1)ab 运动切割磁感线产生感应电动势 E,所以 ab 相当于电源,与外电阻 R 构成回路。
18

R 2 BLV ? BLV 3 R?R 2 ∴Uab=
Q?
(2)若无外力作用则 ab 在安培力作用下做减速运动,最终静止。动能全部转化为电热。

1 mv 2 2 。

mv q? BL 。 由动量定理得: Ft ? mv 即 BILt ? mv , q ? It ∴ 3、电动式

q ? It ?

?? BLx m v ? ? 3mvR 3 3 BL x? R R 2 B 2 L2 。 2 2 ,∴

(1)电路特点:有外加电源,导体为电动边,运动后产生反电动势(等效于电机)。 (2)安培力特点:安培力为动力,并随速度增大而减小。

(3)加速度特点:加速度随速度增大而减小

(4)运动特点:加速度减小的加速运动 (5)最终状态:匀速运动 (6)两个极值:①最大加速度:v=0 时,E 反=0,电流、加速度最大

②速度最大:稳定时,电流最小,速度最大,

(7)稳定后的能量转化规律

(8)动量关系:

BLq ? ?mgt ? mvm ? 0
1
2

(9)能量关系: qE ? QE ? ? mgS ? 2 mvm (10)变形:无(有)摩擦力;倾斜导轨;有初速;磁场方向变化

v

B

【例 5】如图所示,水平放置的足够长平行导轨 MN、PQ 的间距为 L=0.1m,电源的电动势 E=10V,内阻 r=0.1Ω ,金 属杆 EF 的质量为 m=1kg,其有效电阻为 R=0.4Ω ,其与导轨间的动摩擦因素为 μ =0.1,整个装置处于竖直向上的匀 强磁场中,磁感应强度 B=1T,现在闭合开关,求:(1)闭合开关瞬间,金属杆的加速度;(2)金属杆所能达到的 2 最大速度;(3)当其速度为 v=20m/s 时杆的加速度为多大?(忽略其它一切电阻,g=10m/s )
M E B N

19

P

Q

【答案】(1)1m/s ; (2)50m/s; (3)0.6m/s 3.在方向水平的、磁感应强度为 0.5 T 的匀强磁场中,有两根竖直放置的导体轨道 cd、ef,其宽度为 1 m,其下端与 电动势为 12 V、内电阻为 1 Ω 的电源相接,质量为 0.1 kg 的金属棒 MN 的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动, 如图所示,除电源内阻外,其他一切电阻不计, g=10 m / s2 ,从 S 闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中 ( CD ) A.电源所做的功等于金属棒重力势能的增加 B.电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热 C.匀速运动时速度为 20 m/s D.匀速运动时电路中的电流强度大小是 2 A 【例4】如图所示,竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L,导轨的两端分别与电源(串 有一滑动变阻器R)、定值电阻、电容器(原来不带电)和开关S相连.整个空间充满了垂直于导轨 平面向外的匀强磁场, 其磁感应强度的大小为B。 一质量为m, 电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上. 已 知电源电动势为E,内阻为r,电容器的电容为C,定值电阻的阻值为R0,不计导轨的电阻. (1)当S接1时,金属棒ab在磁场中恰好保持静止,则滑动变阻器接入电路的阻值R多大? (2)当S接2后,金属棒ab从静止开始下落,下落距离s时达到稳定速度,则此稳定速度的大小为 多大?下落s的过程中所需的时间为多少? (3)先把开关S接通2,待ab达到稳定速度后,再将开关S接到3.试通过推导,说明ab棒此后的运动性质如何?

2

2

BIL ? mg , I ?
解析:(1)

EBL E R? ?r mg R ? r ,得

B 2 L2v mgR mg ? v ? 2 20 R0 ,得 B L (2)
由动量定理得 mgt ? BILt ? mv ,其中

It ? q ?

BLs R0

t?


B 2 L2 s mR0 B 4 L4 s ? m2 gR02 ? ? mgR0 B 2 L2 mgR0 B 2 L2
I? ?q C ?U ?v mg ? ? CBL ? CBLa a? mg ? BIL ? ma m ? CB 2 L2 =常量。 ?t ?t ?t , ,得

(3)S接3后的充电电流为

所以ab棒做"匀加速直线运动",电流是恒定的.

二、 “双杆+导轨”模型二、双棒问题
1、无外力等距双棒 (1)电路特点:棒 2 相当于电源;棒 1 受安培力而加速起动,运动后产生反电动势. (2)电流特点:

v0 1 2

I?

Blv2 ? Blv1 Bl( v2 ? v1 ) ? R1 ? R2 R1 ? R2
20

随着棒 2 的减速、棒 1 的加速,两棒的相对速度 v2-v1 变小,回路中电流也变小。

v1=0 时:电流最大

Im ?

Blv0 R1 ? R2

v2=v1 时:电流 I=0 (3)两棒的运动情况 B 2l 2 ( v2 ? v1 ) 安培力大小: FB ? BIl ?

R1 ? R2

两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小. 棒 1 做加速度变小的加速运动 棒 2 做加速度变小的减速运动 最终两棒具有共同速度 (4)两个规律 ①动量规律:两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,系统动量守恒.

m2v0 ? ( m1 ? m2 )v共
②能量转化规律:系统机械能的减小量等于内能的增加量.(类似于完全非弹性碰撞)

1 1 2 2 m2 v0 ? ( m1 ? m2 )v共 +Q 2 2 Q1 R1 两棒产生焦耳热之比: Q ? R 2 2
(5)变形:初速度的提供方式不同;磁场方向与导轨不垂直;两棒都有初速度;两棒位于不同磁场中
m
B
M

h

FB

m

v
0

v1 1 2

v2
B2

e

O1

c v0 B1

1 2

f

O2

d

【例 8】如图所示,两根间距为 l 的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成.其水平段 加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为 B,导轨水平段上静止放置一金属棒 cd,质量为 2m,电阻为 2r.另一质量为 m,电阻为 r 的金属棒 ab,从圆弧段 M 处由静止释放下滑至 N 处进入水平段,圆弧段 MN 半径为 R,所对圆心角为 60°,求: (1)ab 棒在 N 处进入磁场区速度多大?此时棒中电流是多少? (2) cd 棒能达到的最大速度是多大?(3)ab 棒由静止到达最大速度过程中,系统所能释放的热量是多少?

【解析】(1) v ?

gR ;回路中电流强度为

I?

Bl gR E ? 2r ? r 3r
21

(2) v ? ?

1 1 gR ;(3)系统释放热量应等于系统机械能减少量,故有 Q ? mgR 3 3

2、有外力等距双棒 (1)电路特点:棒 2 相当于电源;棒 1 受安培力而起动. (2)运动分析: 某时刻回路中电流: I ? Blv2 ? Blv1 R1 ? R2 安培力大小: FB ? BIl F ? FB F 棒 1: a1 ? B 棒 2:a2 ? m2 m
1

F 1 2

最初阶段,a2>a1, 只要 a2>a1, (v2-v1) 增大,I 增大,FB 增大,a1 增大,a2 减小 当 a2=a1 时,v2-v1 恒定,I 恒定,FB 恒定,两棒匀加速 (3)稳定时的速度差

F ? ( m1 ? m2 )a FB ? m1a FB ? BIl Bl( v2 ? v1 ) I? R1 ? R2 ( R ? R )m F v2 ? v1 ? 2 12 2 1 B l ( m1 ? m2 )
(4)变形:两棒都受外力作用;外力提供方式变化

F 1 2

F

【例 9】如图所示,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度 B=0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂 直,导轨的电阻很小,可忽略不计。导轨间的距离 l=0.20m。两根质量均为 m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨 上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直,每根金属杆的电阻为 R=0.50Ω 。在 t=0 时刻,两杆都处于静止状态。 现有一与导轨平行、大小为 0.20N 的恒力 F 作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动。经过 t=5.0s,金属杆甲的加 速度为 a=1.37m/s2,问此时两金属杆的速度各为多少?
乙 甲

F

【解析】回路中的电流

I?

Blv2 ? Blv1 R1 ? R2

杆甲的运动方程 F ? Bli ? ma 带入上式的 V 甲-V 乙=6.3
22

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等,方向相反,所以两杆的动量 (t ? 0 时为 0)等于外力 F 的冲量

Ft ? mv1 ? mv2 。联立以上各式解得 v1 ?

1 F1 2R R [ ? 2 ( F ? m a)] v2 ? 1 [ F1 ? 2 ( F ? m a)] ,代入数据得 2 2 2 m B F 2 m B I

v1 ? 8.15m / s

v2 ? 1.85m / s
一、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题

1.等间距型 如图 1 所示,竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中,两根质量相同 的金属棒 a 和 b 和导轨紧密接触且可自由滑动,先固定 a,释放 b,当 b 速度达到 10m/s 时,再释放 a,经 1s 时间 a 的速度达到 12m/s,则: A、 当 va=12m/s 时,vb=18m/s B、当 va=12m/s 时,vb=22m/s C、若导轨很长,它们最终速度必相同 D、它们最终速度不相同,但速度差恒定 【解析】因先释放 b,后释放 a,所以 a、b 一开始速度是不相等的,而且 b 的速度要大于 a 的速度,这就使 a、b 和导 轨所围的线框面积增大,使穿过这个线圈的磁通量发生变化,使线圈中有感应电流产生,利用楞次定律和安培定则判 断所围线框中的感应电流的方向如图所示。再用左手定则判断两杆所受的安培力,对两杆进行受力分析如图 1。开始 两者的速度都增大,因安培力作用使 a 的速度增大的快,b 的速度增大的慢,线圈所围的面积越来越小,在线圈中产 生了感应电流;当二者的速度相等时,没有感应电流产生,此时的安培力也为零,所以最终它们以相同的速度都在重 力作用下向下做加速度为 g 的匀加速直线运动。 在释放 a 后的 1s 内对 a、b 使用动量定理,这里安培力是个变力,但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的, 设在 1s 内它的冲量大小都为 I,选向下的方向为正方向。 当 棒先向下运动时,在 和 以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流,于是 棒受到向下的安培力, 棒受到 向上的安培力,且二者大小相等。释放 棒后,经过时间 t,分别以 和 为研究对象,根据动量定理,则有: 对 a 有:( mg + I ) ·t = m va0, 对 b 有:( mg - I ) ·t = m vb-m vb0 联立二式解得:vb = 18 m/s,正确答案为:A、C。 在 、 棒向下运动的过程中, 棒产生的加速度 速度与 棒接近时,闭合回路中的 , 棒产生的加速度 。当 棒的

逐渐减小,感应电流也逐渐减小,则安培力也逐渐减小。最后,两棒以共

同的速度向下做加速度为 g 的匀加速运动。

2.不等间距型

a1b1c1d1 和 a2b2c2 d2 为在同一竖直平面内的金属导轨,处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向垂直导 ab ab l cd l cd 轨所在的平面(纸面)向里。导轨的 1 1 段与 2 2 段是竖直的.距离为小 1 , 1 1 段与 2 2 段也是竖直的,距离为 2 。
图中

x1 y1 与 x2 y2 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆,质量分别为 m1 和 m2 ,它们都垂直于导轨并与导轨保持光
滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为 R 。F 为作用于金属杆
23

x1 y1 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位

置时,已匀速向上运动,求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。(04 全国 2)

【解析】设杆向上运动的速度为 v ,因杆的运动,两杆与导轨构成的回路的面积减少,从而磁通量也减少。由法拉第 电磁感应定律,回路中的感应电动势的大小

E ? B(l2 ? l1 )v
回路中的电流



I?

E R



电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用,作用于杆

x1 y1 的安培力为

f1 ? Bl1I f2 ? Bl2 I



方向向上,作用于杆

x2 y2 的安培力

方向向下。当杆作匀速运动时,根据牛顿第二定律有

F ? m1g ? m2 g ? f1 ? f2 ? 0
解以上各式,得



I?
v?

F ? (m1 ? m2 ) g B(l2 ? l1 )
F ? (m1 ? m2 ) g R B 2 (l2 ? l1 )2


⑥ ⑦

作用于两杆的重力的功率的大小

P ? (m1 ? m2 ) gv
电阻上的热功率

⑨ 由⑥、⑦、⑧、⑨式,可得

Q ? I 2R
P?

F ? (m1 ? m2 ) g R(m1 ? m2 ) g B 2 (l2 ? l1 )2
2

? F ? (m1 ? m2 ) g ? Q?? ? R ? B (l2 ? l1 ) ?

二、在水平导轨上的“双杆滑动”问题
24

一、等间距水平导轨,无水平外力作用(安培力除外) 够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为 l,导轨上面横放 着两根导体棒 ab 和 cd,构成矩形回路,如图 2 所示,两根导体棒的质量皆为 m,电阻皆 为 R, 回路中其余电阻不计, 整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场, 磁感应强度为 B, 设两导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行,开始时棒 cd 静止,棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0, 若两导体棒在运动中始终不接触,求: 1、运动中产生焦耳热最多是多少? 2、当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时,cd 棒的加速度是多少? 【解析】 ab 棒向 cd 棒运动时, 两棒和导轨构成的回路的面积变小, 穿过它的磁通量也变小, 在回路中产生了感应电流,用楞次定律和安培定则判断其方向如图 3 所示,又由左手定则 可判断 ab 棒受到的与运动方向相反的安培力作用,作减速运动,cd 棒受到安培力作用作加 速运动,在 ab 棒速度大于 cd 棒的速度时,两棒间的距离总会减小,回路中总有感应电流, ab 会继续减速,cd 会继续加速,当两棒的速度相等时,回路的面积保持不变,磁通量不变 化,不产生感应电流,两棒此时不受安培力作用,以相同的速度向右作匀速直线运动。 1、从初始至两棒达到速度相同的过程中,两棒组成的系统受外力之和为零,系统的总动量守恒,有:mv0 = 2mv, 所以最终作匀速直线运动的速度为:v = v0 /2 两棒的速度达到相等前,两棒机械能不断转化为回路的电能,最终电能又转化为内能。两棒速度相等后,两棒的 机械能不变化,根据能量守恒定律得整个过程中产生的焦耳最多时是两棒速度相等时,而且最多的焦耳热为两棒此时 减小的机械能:

Q?

1 1 1 2 mv0 2 ? (2m)v 2 ? mv0 2 2 4
'

2、设 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时,cd 棒的速度为 v ,又由动量守恒定律得:

3 mv0 ? m ? v0 ? mv ' …………(1) 4
因 ab 和 cd 切割磁感线产生的感应电动势方向相反,所以此时回路中的感应电动势为:

3 E ? Eab ? Ecd ? Bl ? v0 ? Blv ' …………(2) 4 E 由闭合电路欧姆定律得此时通过两棒的感应电流为: I ? …………(3) 2R
此时 cd 棒所受的安培力为:F = BI l ,联立解得加速度为: a ?

F Bl 2v0 ? m 4mR

【例4】如下图,在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离 为l, 匀强磁场垂直于导轨所在的平面(纸面)向里, 磁感应强度的大小 为B,两根金属杆1、2摆在导轨上,与导轨垂直,它们的质量和电阻分 别为ml、m2和R1、R2,两杆与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为 μ ,已知:杆1被外力拖动,以恒定的速度v0沿导轨运动;达到稳定状 态时,杆2也以恒定速度沿导轨运动,导轨的电阻可忽略,求此时杆2 克服摩擦力做功的功率。 【解析】 解法一:设杆2的运动速度为v,由于两杆运动时,两杆和导轨构成的回路的磁通量发生变化,产生感应电 动势ε=Bl(v0-v) ①,感应电流I=ε/(R1+R2)②,杆2运动受到的安培力等于摩擦力BIl=μm2g ③,导体杆2克服摩擦 2 2 力做功的功率P=μm2gv ④,解得P=μm2g[v0-μm2g (R1+R2)/B l ⑤ 解法二:以F表示拖动杆1的外力,表示回路的电流,达到稳定时,对杆1有F-μm1g-BIl①,对杆2有BIl-μm2g=0、②,
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外力的功率PF=Fv0③,以P表示杆2克服摩

本题主要考查考生应用电磁感应定律、欧姆定律和牛顿运动定律解决力电综合问题的能力.

二、不等间距水平导轨,无水平外力作用(安培力除外)
如图所示,光滑导轨 、 等高平行放置, 、 是质量均为 、 间宽度为 间宽度的 3 倍,导轨右侧水平且处于竖直向上 从离水平轨道 高处由静止下滑,设导

的匀强磁场中,左侧呈弧形升高。

的金属棒,现让

轨足够长。试求: (1)

棒的最终速度;(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

【解析】

下滑进入磁场后切割磁感线,在

电路中产生感应电流, 、



各受不同的磁场力作用而分别作变

减速、变加速运动,电路中感应电流逐渐减小,当感应电流为零时, 匀速滑动。

不再受磁场力作用,各自以不同的速度

(1)

自由下滑,机械能守恒:



由于



串联在同一电路中, 任何时刻通过的电流总相等, 金属棒有效长度 ②

, 故它们的磁场力为:

在磁场力作用下, (



各作变速运动,产生的感应电动势方向相反,当 、 运动趋于稳定,此时有:

时,电路中感应电流为零

),安培力为零,

所以
26





受安培力作用,动量均发生变化,由动量定理得:





联立以上各式解得:



(2)根据系统的总能量守恒可得:

三、等间距水平导轨,受水平外力作用(安培力除外)
两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感强度 阻很小,可忽略不计。导轨间的距离 ,两根质量均为 。在 的匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地 时刻,两杆都处于静止状态。现有一 ,金属杆甲的加速度

滑动,滑动过程中与导轨保持垂直,每根金属杆的电阻为 与导轨平行,大小为 0.20N 的恒力 为

作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动。经过 ,求此时两金属杆的速度各为多少?

【解析】 设任一时刻 两金属杆甲、 乙之间的距离为 , 速度分别为 杆乙移动距离 ,回路面积改变



, 经过很短时间

, 杆甲移动距离



由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势:

回路中的电流:

27

杆甲的运动方程:

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反,所以两杆的动量变化( 冲量: 联立以上各式解得

时为 0)等于外力 F 的

代入数据得

=8.15m/s

=1.85m/s

三、绳连的“双杆滑动”问题
两金属杆 ab 和 cd 长均为 l ,电阻均为 R,质量分别为 M 和 m,M>m,用两根质量和 电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,并悬挂在水平光滑不导电的圆棒 两侧,两金属杆处在水平位置,如图 4 所示,整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场 中,磁感强度为 B,若金属杆 ab 正好匀速向下运动,求运动速度。 【解析】设磁场垂直纸面向里,ab 杆匀速向下运动时,cd 杆匀速向上运动,这时两杆切割磁 感线运动产生同方向的感应电动势和电流,两棒都受到与运动方向相反的安培力,如图 5 所示,速度越大,电流越大, 安培力也越大,最后 ab 和 cd 达到力的平衡时作匀速直线运动。 回路中的感应电动势: E ? E1 ? E2 ? 2Blv 回路中的电流为: I ?

E Blv ? 2R R

ab 受安培力向上,cd 受安培力向下,大小都为: F ? BIl ? 设软导线对两杆的拉力为 T,由力的平衡条件: 对 ab 有:T + F = Mg 对 cd 有:T = mg + F 所以有:

B 2l 2 v R

( M ? m) gR 2 B 2l 2 v ? ( M ? m) g ,解得: v ? 2 B 2l 2 R

小结:从以上的分析可以看出处理“双杆滑动”问题要注意以下几 点: 1、在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时,要注意是同向还是反向,可以根据切割磁感线产生的感应电流的方 向来确定,若同向,回路的电动势是二者相加,反之二者相减。一般地,两杆向同一方向移动切割磁感线运动时,两 杆中产生的感应电动势是方向相反的,向反方向移动切割磁感线时,两杆中产生的感应电动势是方向相同的,线圈中 的感应电动势是“同向减,反向加”。
28

2、计算回路的电流时,用闭合电路欧姆定律时,电动势是回路的电动势,不是一根导体中的电动势,电阻是回路的 电阻,而不是一根导体的电阻。 3、要对导体杆进行两种分析,一是正确的受力分析,根据楞次定律可知安培力总是阻碍导体杆的相对运动的。也可 先判断出感应电流方向,再用左手定则判断安培力的方向。二是正确的进行运动情况分析。这两步是正确选用物理规 律基础。 4、合理选用物理规律,包括力的平衡条件、动能定理、动量定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、欧姆定律、焦 耳定律、楞次定律、法拉第电磁感应定律等。处理这类问题可以利用力的观点进行分析,也可以利用能的观点进行分 析,还可以利用动量的观点进行分析。 在利用能的观点进行分析时,要注意导体克服安培力作功的过程是把其它形式的能转化为电能的过程。

针对训练、足够长的光滑金属导轨 E F,P Q 水平放置,质量为 m 电阻为 R 的相同金属棒 ab,cd 与导 轨垂直且接触良好, 磁感强度为 B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图 5 所示。 现用恒力 F 作用于 ab 棒上,使它向右运动。则 A.安培力对 cd 做正功使它向右加速运动 B.外力 F 做的功等于克服 ab 棒上安培力的功 C.外力作的功等于回路产生的总热量和系统的动能 D.回路电动势先增后减两棒共速时为零 解析:开始时 ab 棒在外力 F 作用下向右切割磁感线产生电磁感 应,ab 棒相当于电源,由右手定则,b 端电势较低,a 端电势高,形成由 b→a→c→d→b 逆时转电流。 电流通过 ab 和 cd 棒,由左手定则,ab 棒安培力向左,做负功,阻碍速度 v1 增加;cd 棒安培力向右, 做正功,使 cd 棒动能增加速度 v 2 增大。外力除克服 ab 棒上安培力做功外,还要对 cd 棒做正功。故 A 对 B 错。由于外力和安培力的作用,开始时 ab 棒加速度大于 cd 棒,两者速度差增大,回路感应电动 势 E ? Bl(v1 ? v2 ) 增大,感应电流增大,使 ab 加速度减小,cd 加速度增大,当两棒加速度相等时速度 差最大,回路感应电动势最大。以后 ab 和 cd 棒在外力 F 作用下以相同加速度运动,速度差恒定不可 能共速,电动势恒定不会等于零,故 D 错。根据能量守恒整个过程外力做的功等于回路产生的总热量 和系统的动能,C 项正确。所以正确选项为 A、C。 题后: 电磁感应中的金属棒导轨问题, 可以用力学中滑块 A 在滑板 B 上运动作为物理模型。滑板 B 与地面光滑接触,摩擦力分别对 A、B 做负功和正功,使部分机械能转化为内能,相当于双金属棒情景。 若 B 固定于地面,则类似单金属棒。摩擦力做的总功等于系统内能增量,相当于安培力做功的情景。
P d 图5 b E ⅹ ⅹ c a ⅹ ⅹ ⅹ →F ⅹ ⅹ ⅹ F

Q

29

解析

(1)设甲在磁场区域 abcd 内运动时间为 t1,乙从开始运动到 ab 位置的时间为 t2,

则由运动学公式得 1 1 2 2 L= · 2gsin θ· t 1 ,L= gsin θ· t2 2 2 L 2L 解得 t1= ,t = gsin θ 2 gsin θ 因为 t1<t2,所以甲离开磁场时,乙还没有进入磁场.

(1 分) (1 分)

设乙进入磁场时的速度为 v1,乙中产生的感应电动势为 E1,回路中的电流为 I1,则 1 2 mv =mgLsin θ (1 分) 2 1 E1=Bdv1 I1=E1/2R mgsin θ=BI1d B2d2 解得 R= 2m 2L gsin θ (1 分) (1 分) (1 分) (1 分)

(2)从释放金属杆开始计时,设经过时间 t,甲的速度为 v,甲中产生的感应电动势为 E, 回路中的电流为 I,外力为 F,则 v=at E=Bdv I=E/2R F+mgsin θ-BId=ma
30

(1 分) (1 分) (1 分) (1 分)

a=2gsin θ 联立以上各式解得 F=mgsin θ+mgsin θ 2gsin θ · t(0≤t≤ L L ) gsin θ (1 分) (1 分)

方向垂直于杆平行于导轨向下. 量相同,均设为 Q1,则 v 0 =2aL 1 2 W+mgLsin θ=2Q1+ mv 0 2 解得 W=2Q1+mgLsin θ 乙在磁场运动过程中,甲、乙产生相同的热量,均设为 Q2,则 2Q2=mgLsin θ
2

(3)甲在磁场运动过程中,乙没有进入磁场,设甲离开磁场时速度为 v0,甲、乙产生的热 (1 分) (2 分)

(2 分) 根据题意有 Q=Q1+Q2 解得 W=2Q B2d2 答案 (1) 2m 2L gsin θ 2gsin θ · t(0≤t≤ L L ),方向垂直于杆平行于导轨向下 gsin θ (1 分) (1 分)

(2)F=mgsin θ+mgsin θ (3)2Q

2. (2011· 天津理综· 11)如图 2 所示,两根足够长的光滑平行金属导轨 MN、PQ 间距为 l=0.5 m,其电阻不计,两导轨及其构成的平面均 与水平面成 30° 角. 完全相同的两金属棒 ab、 cd 分别垂直导轨放置, 每棒两端都与导轨始终有良好接触, 已知两棒质量均为 m=0.02 kg, 电阻均为 R=0.1 Ω,整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度 B= 0.2 T,棒 ab 在平行于导轨向上的力 F 作用下,沿导轨向上匀速运动,而棒 cd 恰好能够 保持静止,取 g=10 m/s2,问: (1)通过棒 cd 的电流 I 是多少,方向如何? (2)棒 ab 受到的力 F 多大? (3)棒 cd 每产生 Q=0.1 J 的热量,力 F 做的功 W 是多少? 答案 解析 (1)1 A 方向由 d 至 c (1)棒 cd 受到的安培力 (2)0.2 N (3)0.4 J

Fcd=IlB 棒 cd 在共点力作用下受力平衡,则 Fcd=mgsin 30° 代入数据解得 I=1 A 根据楞次定律可知,棒 cd 中的电流方向由 d 至 c (2)棒 ab 与棒 cd 受到的安培力大小相等 Fab=Fcd 对棒 ab,由受力平衡知
31

F=mgsin 30° +IlB 代入数据解得 F=0.2 N (3)设在时间 t 内棒 cd 产生 Q=0.1 J 的热量,由焦耳定律知 Q=I2Rt 设棒 ab 匀速运动的速度大小为 v,其产生的感应电动势 E=Blv 由闭合电路欧姆定律知 E I= 2R 由运动学公式知在时间 t 内,棒 ab 沿导轨的位移 s=vt 力 F 做的功 W=Fs 综合上述各式,代入数据解得 W=0.4 J 4. 如图 11 所示,足够长的光滑平行金属导轨 cd 和 ef 水平放置,在其左端连接倾角为 θ=37° 的光滑金属导轨 ge、 hc, 导轨间距均为 L=1 m, 在水平导轨和倾斜导轨上, 各放一根与导轨垂直的金属杆, 金属杆与导轨接触良好. 金 属杆 a、b 质量均为 m=0.1 kg,电阻 Ra=2 Ω、Rb=3 Ω,其余电阻不计.在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直 向上和竖直向下的匀强磁场 B1、B2,且 B1=B2=0.5 T.已知从 t=0 时刻起,杆 a 在外力 F1 作用下由静止开始水 平向右运动,杆 b 在水平向右的外力 F2 作用下始终保持静止状态,且 F2=0.75+0.2t (N).(sin 37° =0.6,cos 37° =0.8,g 取 10 m/s2)

图 11 (1)通过计算判断杆 a 的运动情况; (2)从 t=0 时刻起,求 1 s 内通过杆 b 的电荷量; (3)若 t=0 时刻起,2 s 内作用在杆 a 上的外力 F1 做功为 13.2 J,则这段时间内杆 b 上产生的热量为多少? 答案 解析 (1)以 4 m/s2 的加速度做匀加速运动 (1)因为杆 b 静止,所以有 (2)0.2 C (3)6 J F2-B2IL=mgtan 37° 而 F2=0.75+0.2t(N) 解得 I=0.4t (A) 整个电路中的电动势由杆 a 运动产生,故 E=I(Ra+Rb)
32

E=B1Lv 解得 v=4t 所以,杆 a 做加速度为 a=4 m/s2 的匀加速运动. 1 (2)杆 a 在 1 s 内运动的距离 d= at2=2 m 2 q= I Δt E I= Ra+Rb ΔΦ B1Ld E= = Δt Δt ΔΦ B1Ld q= = =0.2 C Ra+Rb Ra+Rb 即 1 s 内通过杆 b 的电荷量为 0.2 C (3)设整个电路中产生的热量为 Q,由能量守恒定律得 1 2 W1-Q= mv 1 2 v1=at=8 m/s 解得 Q=10 J Rb 从而 Qb= Q=6 J Ra+Rb

例 6、如图所示,间距为 l 的平行金属导轨 LMN 和 OPQ 分别固定在两个竖直面内,电阻为 R、质量为 m、 长为 l 的相同导体杆 ab 和 cd 分别放置在导轨上, 并与导轨垂直. 在水平光滑导轨间有与水平面成 ? 、 并垂直于 ab 的匀强磁场;倾斜导轨间有沿斜面向下的匀强磁场,磁感应强度均为 B。倾斜导轨与水平 面夹角也为 ? ,杆 cd 与倾斜导轨间动摩擦因素为 ? . ab 杆在水平恒力作用下由静止开始运动,当 cd

刚要滑动时 ab 恰达到最大速度 . ( ? = 30? 、 (1)此时杆 cd 中的电流大小; (2)杆 ab 的最大速度;

??

3 2 、最大静摩擦力等于滑动摩擦力).求:

(3)若此过程中流过杆 ab 的电量为 q ,则 cd 产生的焦耳热 Q 为多大?

【答案】解:(1)cd 杆刚要滑动时: mg sin ? ? f

1分

33

N ? F安cd ? mg c o ? s
f ? ?N

1分 1分 1分

F安cd ? BIl

? 3 mg ? F安cd ? ? 6 ? ? I ? 3mg ? 6lB ?
解得: (2)由法拉第电磁感应定律: E ? Blvm sin ? 2分 2分 1分

E ? I? 2 R
vm ? 2 3mgR 3B 2 l 2

解得:
q?

1分

(3)由电磁感应: ab 杆,由平衡:

?? B sin ? ? x ? l Bxl ? ? 2R 2R 4R

1分 1分

F ? F安ab sin ? ? F安cd sin ?

由能量守恒:

F x?

1 2 mmv ? a Q b ? Q cd 2
c d

2分 1分

Qa b ? Q

解得:

3mgRq m3 g 2R Qab ? Qcd ? ? 6 Bl 3B 4 l 4

2

1分

34


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