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河北衡水中学2014届高三数学一轮复习学案


河北衡水中学 2014 届高三数学一轮复习学案 主编:吴素利 数列求和(一) 学习目标:数列是高中数学的重要内容之一,是中学数学联系实际的主要渠道之 一,数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切。 数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种 方法和技巧在中学数学中有着十分重要的地方。因此,数列知识可以命综合性强 的试题。 知识梳理 1.等差数列前 n 项和 Sn= .推导: ; 等差数列前 n 项和 Sn= ?

【答案】1、

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
乘公比,错位相减

倒序相加法

na1

a1 (1 ? q n ) 1? q

题型二、裂项相消
如果一个数列的每一项都能化为两项之差, 而前一项的减数恰好与后一项的被减 数相同,一减一加,中间项全部相消为零,那么原数列的前 n 项和等于第一项的 被减数最末项的减数之差,多用于分母为等差数列的相邻 k 项之积,且分子为常 数的分式型数列的求和。 例 2:在数列 ?an ? 中, an ? 前 n 项和 Sn。 。

a1 ? a q n ) 1? q
2.

n(n ? 1) 2

n2 ? n

n2

n( n? 1 ) ( 2? n 6

1 ) a1 1? q

1 2 n 2 ? ? …+ 。又 bn ? 。求 ?bn ? n ?1 n ?1 n ?1 an ?an ?1

4、 (1)

? ?

1 1 1 1 1 m m (2) (3) (4) (5) (6) Cn?1 ? Cn (7) (n ? 1) n 2 2 n! a?b

题型一、公式法(直接法)
将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列前 n 项和公式求得。 ③1+3+5+…+(2n-1)=
2 3 3 3 3

推导: 2.常见数列的前 n 项和:①1+2+3+4+…+n= ②2+4+6+…+2n= ④1 +2 +3 +…+n
2 2 2 2=

例 1;已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6, a6 ? 0 (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8, b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 Sn。

? n(n ? 1) ? ⑤ 1 +2 +3 +…+n ? ? ? 2 ? ?

3.(1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列。 (2)拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式。相加过程消 去中间项。只剩有限项再求和。 (3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求 和。 (4)倒序相加:例如。等差数列前 n 项和公式的推导方法。 4.常见的拆项公式有: ( 1 )

1 = n( n +1)



1 n ?1

( 2 )

1 = (2n ? 1)(2n ? 1)



1 ? ? 1 ? ? ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
(3)

n(n ? 1)(2n ? 1) 6 3 5 7 n? 2 1? ? ? ? …+2 (n ? N ) 的和。 2 2 2 12 1 ?22 1 2? 2 ? 3 1 ? 2 2? …+n
习 1 : 已 知

12 ? 22 ? …+n2 ?





2

1 ? n(n ? 1)(n ? 2)

? 1 ? 1 ? n(n ? 1) ? (n ? 1)(n ? 2) ? ? ?

练习: (2013 重庆)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 3an , n ? N? 。 (1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn。 (2) 已知 ?bn ? 为等差数列,Tn 为前 n 项和, b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 , T20 。 且 求

(4)

1 ? a? b

( a ? b)
1 — ; (n ? 1)!
; !— n ! ;

n ? (5) (n ? 1)!
m (6) Cn ?1 ?

(7) n?n ! ?

(8) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) . 注意:文科不要(5) (7) (6)

练习 2: (2013 新课标)已知等差数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0, S5 ? ?5 . (1) 求 ?an ? 的通项公式;(2)求数列 ?

练习 1:求和 Sn ? 1 ? ?1 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和。 ? a2 n?1 ?a2 n?1 ?

? ?

1? ? 1 1? 1 ? ? 1 1 ? + ?1 ? ? ? +…+ ?1 ? ? ? …+ n-1 ? 2? ? 2 4? 2 ? ? 2 4

练习:设 f ( x)=

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求 3 ? 3
x

得 f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ?…+f (0)+…+f (0)+…+f (11)+f (12)+f (13) 的 值为( A. 3 ) B. 13 3 C.

28 3 3

D

13 3 3

练习 2:数列 1 ,3 ,5 , 7 练习 3:数列 ?an ? 的通项公式 an ? 为( A.11 ) B.99 C.120 D.121

1 2

1 4

1 8

1 1 ,…,(2n-1)+ n , …的前 n 项和 Sn。 16 2

1 n ? n ?1

,若其前 n 项和为 10,则项数 n

练习 3: 数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 4,…, 2+2 +…+2 1?
2

n-1

, …的前 n 项和 Sn ? 1020 ,那
C。9 D。10

题型五、并项求和
n 例 5. 已知数列 ?an ? , an ? ?2 ? n ? ? ?1? ? ,求 S10 。若求 S99 呢?

么 n 的最小值是(



A。7

B。8

1 练习 4:数列 ?an ? 前 n 项和 Sn,若 an ? ,则 Sn 等于( n ? n ? 1?
A. 1 B.

?

?



5 6

C.

1 6

D.

1 30

题型四、倒序相加
此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导。 目的在于利用与首末两项等距离的两 项相加有公因式可以提取,以便化简后求和。 例 4.求

12 22 32 102 ? 2 2 ? 2 2 +…+ 2 2 的和。 12 ? 102 2 ? 9 3 ? 8 10 ? 1

题型三、分组求和
若数列的通项是若干项的代数和,可将其分为几个部分来求。 例 3:求数列 2 , 4 , 6

1 4

1 8

1 1 , …,2n+ n+1 …的前 n 项和 Sn。 16 2

练习: ?1

2

? 22 -32 +42 - … -992 +1002


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