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高中数学必修4知识点总结归纳


甘肃省文县一中赵建德

高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数(初等函数二)
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象 ? 限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. l 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份, n
*

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距 离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x
-1-

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10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正 切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? ? tan ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ? cos ?
y P T v O M A x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14 、 函 数 y ? s i nx 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移 ? 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)
到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) , 得 到 函 数 y ? sin ?? x ? ? ? 的 图 象 ; 再 将 函 数

, y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移
1

?

倍(纵坐标不变) ,

? 个单位长 ?

度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵
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坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? 2?

?.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

值为 ymax ,则 ? ?
函 质





y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 ,

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 单 调 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?
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? k ??? 上是增函数.

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? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对 称 性 对
x ? k? ?





















?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

第二章

平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ; ③a ?0 ? 0?a ? a .
C

?

?

?

?

a
?

?
b
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a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

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⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、 向量共线定理: 向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .
b b ?0 设 a ? ? x1, y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? ? x2 , y2 ? ,

?

?

?

?

?

?

共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (不共线的向 量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22 、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? ?
23、平面向量的数量积:

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性 质 :设 a 和 b 都是非零向量 ,则 ① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时 ,
a ?b ? a b ; 当 a 与 b 反 向 时 , a ?b ? ? a b ; a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a . ③
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?

?

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a ?b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .
2

?

?

? ?

?

?

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2



第三章

三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;
⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴
sin 2? ? 2sin ? cos ?





cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

( cos 2 ? ?

2 tan ? cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ) .⑶ tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 2 2
? . ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

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第二章
2.1.1 简单随机抽样 1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量.

统计

为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.







2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单 位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常 只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③ 概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一 个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量 相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如
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果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实 施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅 助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后 再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本, 最后, 将这些子样 本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用 系统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的 样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变 量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样 本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该 方法, 主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。 如果要用样本资料推断总 体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中 各层实际的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

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2、 .样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得 到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均 值和标准差,而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确 实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数 量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因 变量 Y)进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的 目标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制 汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。

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第三章
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念:

概 率

(1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件

nA A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:
对于给定的随机事件 A, 如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA n ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅
度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性 的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同
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时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生 且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅 有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生, 对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生

1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;

A包含的基本事件数 ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基 本事件出现的可能性相等.

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