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2.2.1椭圆的简单几何性质(2)


标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

复习

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a

>同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性 顶点坐标

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c的关 系

c e ? a

a2=b2+c2

同前

性质探索(二)

探究1:椭圆 上的 任意一点P到椭圆中心O的距离
︱PO ︱的取值范围。

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y B2

A1

. .
F1

o

B1

. . .

. . .
P(x,y) F2

A2

x

po ? x ? y ,
2 2

2

x y b 2 2 2 ? 2 ? 2 ? 1,? y ? b ? 2 x . a b a 2 2 b c 2 2 2 2 2 2 2 ? po ? x ? y ? b ? (1 ? 2 ) x ? b ? 2 x a a
2 2 2 2 2 2

2

2

2

? 0 ? x ? a ,? b ? po ? b ? c ? a .
2

?b ? po ? a.
结论:椭圆短轴端点离椭圆中心最近,长轴端点离中心最

远。注意利用二次函数讨论最值的方法及函数思想的应用。

探究2:

椭圆 点P到左焦点F1的距离︱P F1 ︱ 的取
值范围。

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 上的任意一 a b

2

2

例2.我国自行研制的“中星20号”通信卫星,于 2003年11月15日升空精确地进入预定轨道。这 颗卫星的运行轨道,是以地球的中心为一个焦点 的椭圆,近地点与地球表面距离为212Km,远 地点与地球表面距离为41981Km.已知地球半径 约为6371 Km,求这颗卫星运行轨道的近似方程 (长、短半轴长精确到0.1 Km).

F

B

A

例2.我国自行研制的“中星20号”通信卫星,于 2003年11月15日升空精确地进入预定轨道。这 颗卫星的运行轨道,是以地球的中心为一个焦点 的椭圆,近地点与地球表面距离为212Km,远 地点与地球表面距离为41981Km.已知地球半径 约为6371 Km,求这颗卫星运行轨道的近似方程 (长、短半轴长精确到0.1 Km). y

解:

由题意及椭圆的几何性质知 该卫星运行轨道的近地点与远 地点恰好是相应椭圆的长轴两 B 端点,设两端点为A,B,并以 A,B所在直线为x轴,线段AB 中垂线为y轴建立如图所示平 面直角坐标系,并设地心在椭 x2 圆的右焦点F处。 所以设它的标准方程为

a+c

F
o
a-c

A

x

y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b



a-c=|FA| =6371+212=6583, a+c=|FB| =6371+41981=48352. a=27467.5, ∴b=√a2-c2=√(a+c)(a-c) =√48352×6583 ≈17841.0 . B
a+c

y

F o
a-c

A

解得

x

∴ 所求的卫星运行轨道的近似方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2 27467 .5 17841 .0

高考热点:求离心率

1.若椭圆 k ? 8

x + y =1的离心率为 0.5,求k的值
9
2

2

2

b2 1 解:由题意得: e ? 1? 2 ? a 4 (1)当焦点在x轴上,k ? 8 ? 9

9 1 则1 ? ? k ?8 4 ?k ? 4 ( 2)当焦点在y轴上, 0 ? k ?8 ? 9 k ?8 1 则1 ? ? 9 4 5 ?k ? ? 4 5 综上得k ? 4或k ? ? 4

分 类 讨 论 的 思 想

x y 2.若椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个

2

2

焦点及一个短轴端点构成正三角形,求其离心 率。 y
B2
A1

F1

b o c
B1

A2

F2

x

变式:若 ?B1 B2 F2 是等边三角形?

基本量a,b,c,e 及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系

3.已知椭圆的一个焦点将长轴分为 3: 2 两段,
求其离心率
解:由题意, (a ? c):(a ? c) ? 3: 2
解得

1? e 3 ? ,即 1? e 2

e ? 5?2 6

4.若椭圆的长轴长不大于短轴 长的2倍,则椭圆的离心 率

e?

? ? 0, ? ?

3? ? 2 ?



点击高考:
(2008 江苏 12) 在平面直坐标系中,椭圆
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

的焦距为
作圆

2, 以O为圆心,a为半径作圆,过点

a2 ( ,0 ) c

的两切线互相垂直,则离心率e=______

椭圆的第二定义

例: 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它 25 4 到定直线l: x ? 的距离的比为 ,求点M 4 5 的轨迹.

点M(x,y)与定点F(c,0)的距离 和它到定直线 变式、 2
a c l : x ? 的距离比是常数 ( a ? c ? 0). 求M点的轨迹。 c a

解:如图,设d是点M到直线L的距离,根据题意,所求轨
迹的集合是: MF c? P ? {M | ? ? d a? 由此得 :

? x ? c? ? y2
2

2 2 2 令 a ? c ? b , 可化得 : (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ).
2 2 2 2 2 2 2 2

a2 ?x c

c ? , 平方,化简得 : a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

这是一个椭圆的标准方程,所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。

第二定义的“三定”: 定点是焦点;定直线是准线;定值是 离心率 2 2 2 a x y ? ? ? 1 的准线是 x= 2 2 c a b 2 2 2 a y x ? 的准线是 y= ? ? 1 c a2 b2

c 离心率:e ? a
椭圆的准线 :

椭圆的准线与离心率
离心率的范围:

0 ? e ?1
L’

a 相对应焦点F(c,0),准线是: x ? c

a x?? c

2

2

y
F’

M F

L

o

x

a2 相对应焦点F(- c,0),准线是: x ? ? c

y x 思考: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)又如何呢? a b

2

2

思考:
F为椭圆 x a
2 2

y ? 的右焦点 ?1 , P为椭圆上一 b
2

2

动点, 求|PF|的最大值和最小值

第二定义的应用:
1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的 距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( B ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定

x y + = 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P

2

2

到右准线的距离为8.5,则P到左焦点 的距离为_________.

作业:
1.若椭圆 k ? 8 + 9 =1的离心率为 0.5,则:k=_____ 2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列, 则其离心率e=__________ 3.若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同 侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率= 。

x

2

y

2

4.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分, 则其离心率为________

5、求下列椭圆的准线方程: ①x2+4y2=4
x 2 y2 + =1 ② 16 81

x 2 y2 + = 1 6、已知P点在椭圆 25 16 上,且P到

椭圆左、右焦点的距离之比为1:4,求P到 两准线的距离.

7、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴 端点与最近的焦点相距为1、与相近的一 5 条准线距离为 的椭圆标准方程。
3

8.

作业:
1.若椭圆 k ? 8 + 9 =1的离心率为 0.5,则:k=_____ 2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列, 则其离心率e=__________ 3.若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同 侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率= 。

x

2

y

2

4.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分, 则其离心率为________

5、求下列椭圆的准线方程: ①x2+4y2=4
x 2 y2 + =1 ② 16 81

x 2 y2 + = 1 6、已知P点在椭圆 25 16 上,且P到

椭圆左、右焦点的距离之比为1:4,求P到 两准线的距离.

7、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴 端点与最近的焦点相距为1、与相近的一 5 条准线距离为 的椭圆标准方程。
3

8.


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