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2012


全国高中数学联赛模拟试题(7)
一、 填空题

1、设 x1、x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,若 x1 是虚数,
2 x1 x2

?x x 是实数,则 S=1+ 2 ? ? 2 x1 ? x1 ?

? ? x2 ? ?? ? ?x ? ? 1

2<

br />
? ? x2 ? ?? ? ?x ? ? 1

4

? ?x ? ??? ? 2 ? ?x ? ? 1

8

? ? ? ?

21999

的值为___

2、点 P(a,b)在第一象限内, 过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的正半轴于 A、 B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 5、 在

?

x ?2

?

2 n ?1

的展开式中, 的幂指数是整数的各项系数之和是 x



x2 y2 6、双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 a b

一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系一定是 7、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则

lim
n ??

an 的值为 Sn

8、对一切实数 x,所有的二次函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c (a<b)的值均为非负 实数.则
二、解答题
9.已知函数 f ( x) ?

b?a 的最大值是 a?b?c x , x ? (0 , 1) 1 ? x2

⑴设 x1 , x2 ? (0 , 1) ,证明: ( x1 ? x2 ) ?[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 . ⑵设 a , b , c ? R ? ,且 a ?b ?c ? 1 ,求 u ? 值.
3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c ? ? 的最小 1? a2 1? b2 1? c2

1/9

10. 设 f (x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数

h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称
函数 f (x) 具有性质 P (a ) .

(1)设函数 f (x)

? h( x ) ?

b?2 ( x ? 1) x ?1 ,其中 b 为实数

①求证:函数 f (x) 具有性质 P (b) ②求函数 f (x) 的单调区间 (2)已知函数 g (x) 具有性质 P (2) , 给定 x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<
| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围

x2 y 2 11.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD a b
的中点为 M ?1,3? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与

x 轴相切.

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全国高中数学联赛模拟试题(7)
二、 填空题

1、设 x1、x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,若 x1 是虚
x2 数, 1 x2

?x x 是实数, S=1+ 2 ? ? 2 则 x1 ? x1 ?

? ? x2 ? ?? ? ?x ? ? 1

2

? ? x2 ? ?? ? ?x ? ? 1

4

? ?x ? ??? ? 2 ? ?x ? ? 1

8

? ? ? ?

21999

的值为___

-999 (利用复数为实数的充要条件) 2、点 P(a,b)在第一象限内, 过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的正半轴于 A、 B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 .
? ab (参数法,设∠PAO=θ ,再用基本不等式即可) a ? ? 3? ? .? , ? ?2 2 ?

3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是

4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 1 (建立空间坐标,用向量法解之) 18 5、在 是

?

x ?2

?

2 n ?1

的展开式中,x 的幂指数是整数的各项系数之和



3 2 n ?1 ? 1 (∑2kC2n+1k ,k 为奇数) 2

x2 y2 6、双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 a b

一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定( B ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上情况均有可能 (数形结合法,双曲线的定义) 7、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则

lim

an 的值为( D ) n ?? S n
3 5 7 9 (B) (C) (D) 4 4 4 4 ( Sn=9n-1(1+...+8) × 10-1+9n-1(1+...+8) × 10-2+...+9n-1(1+...+8) ×

(A)

10-n,an=9

n


3/9

8、对一切实数 x,所有的二次函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c (a<b)的值均为非负 实数.则
b?a 1 的最大值是 a?b?c 3 1 (A) (B) (C)3 2

(D)2

a ? 0, c ? 0, b ? a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0,

b?a (b ? a ) ? 4a ? a ? b ? c 4a 2 ? 4ab ? b 2

b ?1 4m 1 b a ? ? 2 ? (令 ? 1 ? m) , b 1 b a m ? 6m ? 9 3 1 ? ? ( )2 a 4 a
二、解答题
9. 已知函数 f ( x) ?

x , x ? (0 , 1) 1 ? x2

⑴设 x1 , x2 ? (0 , 1) ,证明: ( x1 ? x2 ) ?[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 .
3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c ? ? ⑵设 a , b , c ? R ,且 a ?b ?c ? 1 ,求 u ? 的最小 1? a2 1? b2 1? c2
?

值. 解:设 0< x 1< x 2<1, f( x 1)-f( x 2)=
x 2 (x1 ? x 2) ? x1 x 2) (1 x1 = < 0 2 2 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 2 ) 1 ? x1 1 ? x 2

∴( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]>0 同 理 : 若 x 1> x 2 有 ( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)] >0, 若 x 1= x ( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]=0 ∴( x 1- x 2)[f( x 1)-f( x 2)]≥0 (2) ∵ a + b +c=1 且 a 、 b 、c ? R+ ∴0< a <1,0< b <1,0<c<1 1 1 1 a 3 由(1)得:( a - )[f( a )-f( )]≥0∴( a - )[ - ]≥0 2 3 3 3 1 ? a 10 1 a2 ? a 2 3 ≥ 3 ( a - 1 ),即 3a ? a ≥ 9 ( a - 1 ) ∴ 10 3 10 3 1 ? a2 1 ? a2 同理:
9 1 9 1 3b 2 ? b 3c 2 ? c ≥ ( b - ), ≥ (c- ) 2 2 10 3 10 3 1? b 1? c

2



∴u≥

9 1 1 1 ( a - + b - +c- )=0, ∴u 的最小值为 0 10 3 3 3

10. 设 f (x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数

4/9

h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称
函数 f (x) 具有性质 P (a ) .

(1)设函数 f (x)

? h( x ) ?

b?2 ( x ? 1) x ?1 ,其中 b 为实数

①求证:函数 f (x) 具有性质 P (b) ②求函数 f (x) 的单调区间 (2)已知函数 g (x) 具有性质 P (2) , 给定 x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<
| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结 合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。

(1)(i) f '( x )

?

1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) 1 ?0 x( x ? 1)2

∵ x ? 1 时,

h( x ) ?

恒成立,

∴函数 f (x) 具有性质 P (b) ;

(ii)(方法一)设

? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 1 ?

b 2

b2 4 , ? ( x) 与 f ' ( x) 的符号相同。



1?

b2 ? 0, ?2 ? b ? 2 4 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;

当 b ? ?2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;

当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴

x?

b ? ?1 2 ,而 ? (0) ? 1 ,

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;
2 2 2 (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x ? bx ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 0

所以 f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;
5/9

当 b ? 2 时 , ? ( x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴

x?

b ?1 2 , 方 程 ? ( x ) ? 0的 两 根 为 :

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, ? ? (0,1) , 2 2 b ? b2 ? 4 2 2 ,而
x ? (1,


b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) (1, ) 2 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 [

b ? b2 ? 4 , ??) 2 上递减;同理得: f (x) 在区间 上递增。
综上所述,当 b ? 2 时, f (x) 在区间 (1,??) 上递增;
b ? b2 ? 4 ) 2 上递减;
2

当 b ? 2 时, f (x) 在

(1,

b ? b2 ? 4 , ??) f (x) 在 2 上递增。 [
2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x ? 2x ? 1) ? h( x)( x ?1) 又 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,

? 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增。


? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ) 。
m? 1 ,m ?1 ? ? x1 ? (m ?1) x1 ? (1 ? m) x2 , ? ? x2 ? (1 ? m) x1 ? (m ?1) x2 , 2 时, ? ? ? ,且



6/9

综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1) 。 (方法二)由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x ? 2 x ? 1) ,其中函数 h( x) ? 0 对于任
2

意的 x ? (1,??) 都成立。所以,当 x ? 1 时, g '( x ) ? h( x )(x ? 1) ? 0,从而 g ( x) 在区间
2

(1,??) 上单调递增。
①当 m ? (0,1) 时,有

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1, x2 ) ,所以
由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? )

? ( g ( x1 ), g ( x2 )) ,

从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,符合题设。 ②当 m ? 0 时,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的 单 调 性 知
g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与 题设不符。
③当 m ? 1 时,同理可得 设不符。 因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。

? ? x1 , ? ? x2 ,进而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题

x2 y 2 11.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD a b
的中点为 M ?1,3? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与

x 轴相切.

7/9

8/9

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