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期中复习—函数性质


期中复习-函数性质

函数的单调性
知识回顾
函数单调性的定义:
①如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的任意 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 f ? x ? 在 D 内是 增函数;当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x

? 在 D 内时减函数. 1. 单调性的定义①的等价形式: 设 x1 , x2 ?? a, b? ,那么
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b? 是增函数;

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b? 是减函数;
f ( x) 在 ? a, b? 是减函数.

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ??0 ?
2.

函数单调性的应用 即若 f ( x) 在区间 D 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D ) ; 若 f ( x) 在区间 D 上递递减且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 . ( x1 , x2 ? D ) . ①比较函数值的大小.②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等

一、主要方法
1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数 的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有: (1)定义法; 用定义法证明函数单调性的一般步骤: ①取值:即设 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值,且 x1 ? x2 ②作差变形:通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. ③定号: 确定差 f ( x1 ) ? f ( x2 )(或 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 的符号, 若符号不确定, 可以进行分类讨论. ④下结论:即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间. (2)如果 f ( x) 在区间 D 上是增(减)函数,那么 f ( x) 在 D 的任一非空子区间上也是增(减) 函数; (3)图象法; (4)复合函数的单调性结论:“同增异减” ; (5)在公共定义域内 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数.

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期中复习-函数性质 单调性 1、试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?
2x 在区间 (0 , 1) 上的单调性. x ?1

2、求 y ? x ?

1 ( x ? 0 )的单调区间并求其值域 x

3、 画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3 |

4、 求函数 y ?

1 的单调区间. x ?x?2
2

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期中复习-函数性质 5、 讨论函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的单调性.

6、 如果函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c 对任意的 x ? R 都有 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 2 ? ,试比较 f ?1? , f ? 2? , f ? 4? 的大 小.

7、 已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确的是( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)



8、 求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最值.

3) 和点 B(3 ,? 1) ,则不等式 | f ( x ? 1) ? 1|? 2 的 9、若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A(0 ,

解集为(

) . B. (?? ,2)
3) C. (0 ,

3) A. (?? ,

D. (?1 ,2)

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期中复习-函数性质 奇偶性 一、函数奇偶性的定义 1. 奇函数:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果对于 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D ,且
f (? x) ? ? f ( x),则这个函数叫做奇函数.

2. 偶函数:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果对于 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D ,且 f (? x) ? f ( x),则这个函数叫做偶函数. 二、奇偶函数的图象特征 1. 函数 y ? f ( x) 是偶函数 ? y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; 2. 1. 函数 y ? f ( x) 是奇函数 ? y ? f ( x) 的图象关于原点对称. 定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 三、判断函数奇偶性的方法 若不对称,则为非奇非偶函数; 若对称,则再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) 是否为恒等式. 2. 定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 , 3. 4. 图象法 性质法:设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域 D ? D1 ? D2 上: 奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇; 函数具有奇偶性 ? 其定义域关于原点对称; 函数 y ? f ( x) 是偶函数 ? y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; 函数 y ? f ( x) 是奇函数 ? y ? f ( x) 的图象关于原点对称. 3. 4. 奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反. 若奇函数 y ? f ( x) 的定义域包含 0,则 f (0) ? 0 .
f ( x) ? ?1 . f (? x)

四、奇偶函数的性质 1. 2.

1、判别下列函数的奇偶性:
3 (1) f ( x) ? x ?

1 (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . ; x

2、 设函数 f ( x ) 和 f ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数

)

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x) ?0 , g ( x) g (? x) ? 1 , 3、函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有相同的定义域,对定义域中任何 x ,有 f (x) ? f ( ?

则 F ( x) ?

2 f ( x) ? f ( x) 是( g ( x) ? 1

) C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

A.奇函数

B.偶函数

4、已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a , b, c ? Z ) 是奇函数,且 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a , b , c 的值. bx ? c

n 为何值时, f ( x) 是奇函数? 5、 已知函数 f ( x) ? (m2 ? 1) x2 ? (m ? 1) x ? n ? 2 ,当 m,

6、 已知 f ? x ? ? -x2 ? 2015x3 ? 9999x ? 8 且 f (?2) ? 10 ,求 f ? 2 ? .

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期中复习-函数性质 7 、设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ? ?) 时, f ( x) ? x(1? 3 x ),那么当 x ? ( ?? , 0) 时, f ( x)

=_________.

8 已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

9 定义在 R 上的函数 f ? x ? ?

x2 ? x h ? x? . , 可表示成一个偶函数 g ? x ? 和一个奇函数 h ? x ? 之和, 求 g ? x? , x2 ? 1

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期中复习-函数性质 10 已设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (?? , 0) 上是减函数,实数 a 满足不等式
f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围.

抽象函数

2 1、 已知函数 f ? x ? 对任意 x, y ? R , 总有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? , 且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ?1? ? ? . 3
(1)求证: f ? ? x ? ? ? f ? x ? ; (2)求证: f ? x ? 在 R 上是减函数; (3)求 f ? x ? 在 ? ?3,3? 上的最大值和最小值;

2、 已 知函数 f ( x ) 的 定义域 为 R ,对 任意实 数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n), 且当 x ? 0 时 ,

0 ? f ( x) ? 1 .
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(1)证明: f (0) ? 1, 且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (2)证明: f ( x ) 在 R 上单调递减; (3)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围

期中复习-函数性质

2 2 (4) A ? ( x , y) | f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) , B ? ?( x , y) | f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R?, 若 A ? B ? ? , 试确

?

?

定 a 的取值范围.

3、

已知 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数, 对 x ? R 有 f ? x? ? 0 , 且 f ? 5? ? 1 , 设 F ? x? ? f ? x? ? 讨论 F ? x ? 的单调性,并证明你的结论.

1 , f ? x?

4、

已知给定函数 f ( x) 对于任意正数 x , y 都有 f ( xy ) = f ( x) ·f ( y ) ,且 f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时,
f ( x) ? 1 .试判断 f ( x) 在 (0, ? ?) 上的单调性,并说明理由.

x 5、 已知 f ( x) 是定义在 R ? 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . y
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(1)求证: f (1) ? 0 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; (2)若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f (

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1 )?2. x ?3

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