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对一道物理竞赛题的商榷


教学研究 教学研究 对一道物理竞赛题的商榷 张 适 北京市育英学校,北京 100036 摘要:对一道常见的物理竞赛选择题进行了定量解析,指出了题目和原解析中存在的问题,并提出了修改建议。 关键词:物理竞赛题;位置;速度;坐标系 中图分类号:G634.7 文献标识码:A 文章编号:1671-5861(2015)22-0034-01 华东师范大学出版社的《物理竞赛教程(第四版)》

(高 一年级) (ISBN978-7-5617-2812-3/G· 1379) 中第 5 页例 1: 在地球赤道上的 A 处静止放置一个小物体,现在设想地 球对小物体的万有引力突然消失,则在数小时内,小物体相 对于 A 点的地面来说,将 ( ) A.水平向东飞去 B.原地不动,物体对地面的压力消失 C.向上并逐渐偏向西方飞去 D.向上并逐渐偏向东方飞去 E.一直竖直向上飞去 答案 C,原文详解略。 笔者认为原题和解析均有不妥之处,问题在于没有作定 量考虑,其理由如下: 1 对原题的定量分析 设地球球心为 O,自转角速度为 ω,赤道半径为 R,地 球赤道表面各点随地球自转做匀速圆周运动的线速度大小 v=ωR。若地面 A 处的物体突然不受地球引力作用时,相对 于地球将以 v 的速度沿 A 点的切线飞出,做匀速直线运动, 经时间 t,运动至 P 点,AP=vt=ωRt;地面上的 A 点随地球 自转运动至 B 点,地球半径转过的角度为 ωt,飞出的物体 与地球球心连线 PO 转过的角度为 θ,以图中物体飞出点为 坐标原点,水平向西为 x 轴,竖直向上为 y 轴,建立如图 1 所示的自然平面直角坐标系[1]。图中 P 的坐标为(x,y),由 图可得: 2 2 2 (1) PO ? AP ? OA ? R (? t ) ? 1 sin ? ? AP PO ? 动边向西运动,直到从西方落下;当 y<0 时,由于地球的遮 挡,人是不能看到物体的。若能再次看到时,它将从东方地 平线升起,再到西方落下??。 图2 问题是:物体离地后多长时间开始向下运动?由 (4)式 并不能直接求出答案,但可以由物体运动的速度分析有关情 况。为此,对(3)(4)两式求导,分别得到物体在水平方向和 竖直方向的分速度的表达为 vx ? dx dt dy dt ? R ? t sin ? t 2 (6) ?t (? t ) 2 ?1 , 2 vy ? ? R ? t cos ? t 2 (7) 2 cos ? ? OA PO ? 1 (? t ) ?1 (2) (3) (4) 当 vy=0 时,由(7)式可得 v y ? R ? t cos ? t ? 0 ,解得 除 t=0 外的有意义解为 t ? ( 2 k ? 1)? 2? ? 6 ( 2 k ? 1) x ? PO ? sin( ? t ? ? ) ? R (sin ? t ? ? t ? cos ? t ) y ? PO ? cos( ? t ? ? ) ? R ? R (cos ? t ? ? t sin ? t ) ? R ,其中,k =0、1、2、3?(8) 图1 (3)和(4)两式即为物体在坐标系 xoy 中关于参数为 t 的 轨迹方程,由上两式消去方程中的三角函数还可得到如下关 系式: x ? ( y ? R ) ? R (? t ? 1) 2 2 2 2 2 (5) 由(5)式可知,地面 A 处的物体突然不受地球引力作用 时,沿地球 A 点的切线飞出后,将做平面螺旋(阿基米德螺 旋)运动[2] 。取 R=

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