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2012年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答


中学生数学 ·2 高中) 0 1 2 年 9 月上 · 第 4 4 9 期(

2 0 1 2 年北京市中学生数学竞赛 高一年级复赛试题及参考解答
试 题
一、 填空题 ( 满分 4 每小题 8 分 ) 0分,
4 2 3 x +3 6的 图 像 与 平 行 于 轴 函 数 y= x -1 1. x ( ) ( ) x-3 x+2



数解 , 并对这组正整数解验证 1 4 4│ a b c. ( 四、 满分 1 在边 长 都 是 正 整 数 的 三 角 形 中 , 周长 5分) 是2 0 0 9 的三角形与周长是 2 0 1 2 的三角形哪一种的数 量多?说明理由 . ( 五、 满分1 在 锐 角 △A 5 分) B C 中, O 是 外 心, I是内 心, 连接 A I, B I 和C I 的 直 线 交 △A B C 的外接圆分别

的直线y= 则c 能取到的所有值 的 乘 c 恰有一个交点 . 积等于 . 如图 1, 锐角 △A 2. B C内 接于 半 径 为 R 的 ⊙O, H 是

数 学 竞 赛 之 窗

S r ( 2 于点 A1 , 求 证 : △ABC = . 其中 R 是 B 1 和 C 1. S△A1B1C1 R
) B C 外接圆的半径 , r 是 △A B C 内切圆的半径 . △A

B C 的垂心 , A O 的延长线 △A
与B 若 OH ⊥ C 交 于 点 M, 则 OM A O, B C=1 0, O A =6, = . 二次 函 数 y=a 3. x +b x


参考答案
4 2 x -1 3 x +3 6 解   函数 y= 的定义域是 x≠ - 1. ( ) ( ) x-3 x+2

+ c的 图 像 与 x 轴 有 两 个 交 那么判别式 Δ 的值是

图1

顶 点 为 C,如 果 △A 点 A 和 B, C B 恰 是 直 角 三 角 形, . 如图 2, 半圆 O 的 半 径 为 4. 1, A C ⊥A B 于 A, B D ⊥A B于 且A B, C=2, B D =3, P 是半圆 上任意一点 , 则封闭图形 A B D-

4 2 x -1 3 x +3 6 将分子因式分解并约分 , 等 x≠3, 2, y= ( ) ( ) x-3 x+2 2 2 价于 y=x 其图像 是 抛 物 线 y=x +x-6, +x-6 挖

) ) , 和( 所 以 直 线 y= 去点 ( -2,-4 3, 6 c与挖去两个 ( 当且仅当c 取 -6 抛物 点的抛物线恰有一个交点 , . 2 5
2 线 y=x 以 及 -4, 共 三 个 值, +x-6 顶 点 纵 坐 标 ) 6,

其积为 1 5 0. 解   添线如图 1, 2. 则 △A 且 AH =C OH ∽△ONM , F=2 ON ,

P C 的 面 积 的 最 大 值 为
. 和为 1 5. 1 1的两个自然数

OM AH C F 2 ON , 所以 = = = ON A O A O A O
图2
2 2 2 ( ( ) 1 1 2 ON2 2 O B -BN2 ) 2 6 -5 = . OM = = = A O A O 6 3 2 解   因为二次函数 y= 3. a x + b x+ c 的 图 像 与x 2 轴有两个交点 A 和 B , 所以 Δ= b -4 a c>0.

π y 使得 等 式 槡 x 和y, c o s +槡 x y 2 x

x π 满足这个条件的一组自然数 ( 是 s i n =0 成立 , x, y) 2 y
. ( 二、 满分1 如 图 3, 5 分) 在 △A B C 中 ,∠A C B= , 以B 9 0 ° A C=3, B C=4, 为中心 , 将 △A B C 顺时针 旋转 , 使 点 A 落 在C B延
图3

, , 设 A( x 0) B( x 0) 1, 2,
2 b 4 a c- b , C - , 2 a 4 a





根据韦 达 定 理 x 1 +x 2= -

b, c, x x 1 2= a a
2 则( x x 1 -x 2) = ( 1 +

长线上的点 A1 处 , 此时点 C 落 在 点 C1 的 位 置 .连 接

A A1 , C C C C B 于 D, A A1 交 B C 1 相交 于 O, 1 交A 1 于
求四边形 B E, D O E 的面积 .
2 ( ( ) 三、 满分 1 如果整 数 a、 5分) 1 b 和c 满 足 关 系 式a 2 2 求证 : + b =2 c -2, 1 4 4│ a b c. 2 2 2 ( ) 试写出不定方程 a 2 + b =2 c -2 的 一 组 正 整

2 x x x - 2 ) -4 1 2=

( a )- a





c 4

图4

2 b -4 a c 不妨设 则 = . a>0, 2 a

z x s s . c b t . c n k i . n e t z x s s h i n a o u r n a l . n e t . c n       网址 :                  电子邮箱 : @c p j

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中学生数学 ·2 高中) 0 1 2 年 9 月上 · 第 4 4 9 期(
2 b -4 a c 槡 A B= x . x 1- 2 = a 2 2 4 a c- b b -4 a c, | 槡 所以  | = 4 a 2 a 2 得槡 b -4 a c=2. 2 因此 , b -4 a c=4. Δ=

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1 5 因此列得方程组 : 5×3= , 2

x+y= , x= , 烄 1+1 烄 6 4 1 3 解之 , 得 烅2 烅 5 4 5 1 5 1 0 5 + x+y= . . y= 6 3 2 2 2 烆1 烆 5
1 0 5 答: 四边形 B D O E 的面积是 . 5 2
2 2 ( ) , 三、 证明   因 为 1 只 须 证 9│a 1 4 4=3 ×4 b c

( (

2 5

) )

2 7

2 4

解 如 图 2 所 示, 作C 则 △C 4. E⊥B D 于 E, E D , 所 以 ∠O 当五边形 A A O. C D =9 0 ° B D P C 的面 ≌△C 积S 取最大值时 , 要 △C 即三角形的 PD 的 面 积 最 小 , 高 PH 最小 , 由图可知 O 所以高 P+PH ≥OH ≥O C. 最小为 O 又求得 C 所以 C-O P=槡 D=槡 5-1, 5, ) 5+槡 5( 5-1 5 槡 槡 S S S . = A B D P C= A B D C- C P D =5- 2 2 解   要 使 等 式 成 立, 考虑特殊角的三角函数 5.

并1 6│ a b c 即可 . 先证 9│ 由于 不 被 3 整 除 的 整 数 的 平 方 被 3 a b c. 除余 1, 被 3 整除的整数 的 平 方 仍 被 3 整 除 . 从而被3 除余 2 的整数一定不是平方数 .
2 2 如果 a, 则等式 左 边 的 a 被 b 都不被 3 整除 , + b 2 2 等式右边 , 若c 被3整 除, 则2 3 除余 2; c -2 被 3 除 2 2 若c 被 3 除于 1, 则2 由此可得 , 余 1, c -2 被 3 整除 . 2 2 2 等式 a 因 此 a, + b =2 c -2 恒 不 能 成 立 . b 和c 要 满 2 2 2 足关系式a + b =2 c -2, a, b中至少有一个被3整

π π y 当 y 值, 观察 c 不 o s , x 时, c o s =c o s π= -1, y=2 2 x 2 x
原式 妨按 y=2 x 进行实验 , c o s + 2 s i n x x 槡 2 x 槡 2×2 x 2 x x π π 左边 =槡 c o s + 2 s i n x x 2 x 槡 2×2 x 2 x π

x π

除. 若 a, 显然a 更有9 b 都为 3 的倍数 , b为 9的 倍 数,
2 2 若 a, 则a 被3除 a b c. b 只有一个 为 3 的 倍 数 , + b │ 2 2 2 又 a, 就有 余 1. b 和c 要 满 足 关 系 式a + b =2 c -2, 2 2 因 此c 被 3 整 除, 所 2 c -2 被 3 除 余 1, c被 3 整 除.

π =槡 c o s s i n x x 2 π+ 槡 4
2 槡 =-槡 x+ 槡 x× =0 2 2 = 右边 .

以 9│ a b c.
2 2 再证 1 由 a, 6│a b c. b 和c 满 足 关 系 式 a +b = 2 可知 a, 因 为 若 a, c -2, b 的 奇 偶 性 相 同. b一奇一 2 2 2 2 则a 为 奇 数, 而2 矛 盾! 所 以 偶, +b c -2 为 偶 数 ,

x π π y 恰合于 槡 令 x+y= c o s +槡 s i n =0 的 要 求 . x y 2 x 2 y
所以 x=3 7, 4. 1 1 1, y=7 即, 合于题设条 件 的 一 组 自 然 数 ( 的是( x, 3 7, y) ) 7 4 . 二 、解   易 知 ∠A 所以等腰 B A1 = ∠C B C 1, 且 ∠O B A1 ∽ 等腰 △C B C A B= ∠O C B, △A 1, 所 以 B、 连B 有 ∠A C、 A、 O 四 点 共 圆, O, O B= , 且 B、 O 为A B 中点 , O、 C A1 也共圆 . 9 0 ° 1、
2 2 2 由勾股定理得 A A1 = 槡 = A C +C A2 +9 3 1= 槡

必需 a, b 的奇偶性相同 .
2 2 2 , 若 a, 则a 即2 b 同为奇数 , + b m o d 8) c -2 ≡2( 2 ( ) , ( ) , 进而得c m o d 8 m o d 8 ≡2 ≡2 2 与c 是平方数矛盾!所以只能 a, 此 b同为偶数. 2 ( ) , 时a + b m o d 4 ≡0 2 2 2 ( ) , , 即2 进 而 得c 此时 c -2≡0 m o d 4 m o d 4) ≡1(

c 为奇数 ,
2 ( ) , 因此c m o d 8 ≡1 2 2 ( ) ( ) 进而得 2 c -2≡2 c -1 m o d 1 6 . ≡0 2 2 2 2 2 , 由a 同 余 式a + b =2 c -2≡0( m o d 1 6) + b ≡

3 所以 A O= 3槡 1 0, 1 0. 槡 2 容易 发 现 △C 设 S△CDB D B ∽ △A1B E ∽ △AD O, 5 , 4 5 再设 则 S△A1EB =2 有 =x, x S△ADO = x, S B D O E= y, 1 6 3 2

( ) 当且仅当 a, 因此 1 0 m o d 1 6 b 同为 4 的倍数 . 6│a b? ) 因为 ( 所以 1 1 6│ a b c. 9, 1 6 =1, 4 4 a b c.   ( ) 例子   2 a=1 2, b=4, c=9 时 ,
2 2 2 1 2 +4 =2×9 -2.

而a b c=1 2×4×9=4 3 2=1 4 4×3, 即1 4 4│1 2×4×9. 四、 解   理由 : 设 自 然 数 k≥n≥m 是 周 长 为 2 0 0 9 的三角形边长 , 则自然数 k+1, n+1, m +1 是 周 长 为

S△ACA1 =

1 2 7 ) 又C ×3× ( 4+5 = . O 平 分 △A C A1 的 2 2

1 2 7 而 1 面积 , 因此 S△C = S△ACA1 = , S△ABA1 = × O A 1 2 4 2

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中学生数学 ·2 高中) 0 1 2 年 9 月上 · 第 4 4 9 期( 这 样 的 三 角 形 存 在, 因为由不 2 0 1 2 的三角形 的 边 长 , , 即, 每 等式 m+ n> k 推出 ( m+1) +( n+1) k+1) >( 个周长为 2 0 0 9 的三角形都有周长为 2 0 1 2 的三角形与 之对应 . 所以 , 如果 我 们 再 证 明 每 个 周 长 为 2 0 1 2的三角 形都有周长 为 2 命题的论断 0 0 9 的 三 角 形 与 之 对 应. 将被证明 . 设 K≥N ≥ M 是 周 长 为 2 0 1 2 的 三 角 形 的 边 长, 则 ① 它的所有边长大于 1. 实际上 , 三角 形 的 每 条 边 大 于另两边的差 , 所以如果某边长为 1, 那么两条另外的 并且在这种情况下三角形的周 边应当是彼此相等的 , 长是奇数 . 由此( M -1) +( N -1) K ②M +N >K, ≥( ) 等式成 立 时 , 我 们 得 到 M + N +K =2 奇 -1 . K +1(   , 它等 于 2 这 意 味 着 数 M -1, 数) 0 1 2, N -1 和 K -1 中两个较小数的和大于 第 三 个 , 且这些数是某个三角 形三边的长 . 所以周长是 2 0 0 9 的三角形与周长是 2 0 1 2 的三角 形的数量一样多 . 同理可得 B B C B C C C B 1 1, 1 ⊥A 1 1, 1 ⊥A 1 1. 下面用两种方法计算六边形 A B C A B C . 1 1 1 的面积 S 注 意 到 △A B C I B C B C ∠A 1 1 ≌ △ 1 1 ( 1 1 = , 因此 I B C B C C C B I C B ∠ ∠A 1 1, 1 1 =B 1 1, 1 1 = ∠ 1 1) ; 所以S 同 理, AH1 =I H1 , =2 S S = A B I C B I C B C I A 1 1 1 1 1 1 , 相加得 2 S S =2 S . A I C C A I B B I A 1 1 1 1 1 1

S=S S S S S A B I C + B C I A + C A I B =2 B I C + C I A + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S S A I B =2 A B C . 1 1 1 1 1
另一 方 面 , 连O 由垂 A, O B O C, O A1 , O B, O C 1, 1, 径定理得 O 则 B C, O A1 ⊥B C, O C B. 1 ⊥A 1 ⊥A

数 学 竞 赛 之 窗

S=S S +S O A B C+ O B C O C A 1 1A 1B
= = 1( O B C+O C B+ O A1 -B C) 1 -A 1 -A 2

R( A C+A B+B C) 2

R×S A B C = . r
所 以,

R×S A B C r



︵ 五、 证明   如 图 5, 由 于I 是 内 心, 易 知 A1 是B C ︵ ︵ 的中点 , 连接 A B C的 中 点 , C B的 中 点 . B 1 是A 1 是A 1,
则 有 A1B =C B C, C A1 , A1B, B C C A, A1 , B C= 1 1, 1 1

, 2 S A C 1B 1 1

S r 即 ABC =2 . SA1B1C1 R

图5

A B C A=B C 1, 1 1.
设A A1 交 B C B B C C C 1 1 于 H1 , 1 交A 1 1 于 H2 , 1 , 交 A1B 可得 ∠AH1B 因此 A 0 ° A1 ⊥ 1 于 H3 , 1 =9 ( 北京数学会普及委员会提供 )

檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪

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