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2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第二节圆的方程及点线圆的位置关系模拟创新题文


【大高考】 2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第二 节 圆的方程及点、线、圆的位置关系模拟创新题 文 新人教 A 版
选择题 1.(2016·河南洛阳统考)直线 y+4=0 与圆(x-2) +(y+1) =9 的位置关系是( A.相切 C.相离 B.相交且直线不经过圆心 D.相交且直线经过圆心
2 2

)

解析 圆心(2,-1)到直线 y=-4 的距离为|-4-(-1)|=3,而圆的半径为 3,所以直 线与圆相切,选 A. 答案 A 2.(2015·聊城模拟)当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 5的圆的方程为( A.x +y -2x+4y=0 C.x +y +2x-4y=0
2 2 2 2

) B.x +y +2x+4y=0 D.x +y -2x-4y=0
2 2 2 2

解析 该直线可整理为 a(x+1)+(-x-y+1)=0,故定点 C 为(-1,2),所求圆的标准 方程为(x+1) +(y-2) =5,即 x +y +2x-4y=0. 答案 C 3.(2015·黑龙江佳木斯第三次调研)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关 系为( A.内切 ) B.相交 C.外切
2 2 2 2 2 2 2 2 2

D.相离

解析 两圆圆心间的距离 d= (2+2) +1= 17,两圆半径的差为 1,和为 5,因为 1 < 17<5,故两圆相交,选 B. 答案 B 4.(2015·东营模拟)设 P(x,y)是圆(x-2) +y =1 上的任意点,则(x-5) +(y+4) 的最 大值为( A.6 ) B.25 C.26
2 2 2 2 2 2

D.36

解析 由题意可知 (x-5) +(y+4) 的最大值为(5,-4)到(2,0)的距离 5+1=6, 故(x-5) +(y+4) 的最大值为 36. 答案 D 创新导向题 直线与圆相交问题 5.直线 x- 3y-2=0 将圆(x-1) +y =1 分割成的两段弧长之比为( A.1∶1 B.1∶2
2 2 2 2

)

1

C.1∶3

D.1∶4 1 1 = = r, 1 +(- 3) 2 2
2 2

解析 圆心坐标为(1,0),半径 r=1,圆心到直线的距离 d=

|1-0-2|

则劣弧所对的圆心角为 120°,则优弧所对的圆心角为 240°,所以两段圆弧长之比为 1∶2. 答案 B 直线与圆相切问题 6.已知圆 C 的方程为 x +y +8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点 为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围为________. 解析 圆 C 的圆心坐标为(-4,0),半径 r=1,由题意,圆心到直线 y=kx-2 的距离小 于或等于 2, |-4k-2| 即 ≤2, k2+1 4 解得- ≤k≤0. 3
2 2

? 4 ? 答案 ?- ,0? ? 3 ?
专项提升测试 模拟精选题 一、选择题 7.(2016·吉林长春质量监测)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 解析 |m+1+n+1-2| (m+1) +(n+1)
2 2 2 2

)

=1 得 m+n+1=mn≤? 2

?m+n? , ? ? 2 ?

2

即:(m+n) -4(m+n)-4≥0,得 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. 答案 D 8.(2016·石家庄质量检测)若圆(x-5) +(y-1) =r (r>0)上有且仅有两点到直线 4x+ 3y+2=0 的距离等于 1,则实数 r 的取值范围为( A.[4,6] C.[5,7] ) B.(4,6) D.(5,7)
2 2 2

2

|20+3+2| 解析 利用圆的几何性质求解.因为圆心(5, 1)到直线 4x+3y+2=0 的距离为 5 =5,又圆上有且仅有两点到直线 4x+3y+2=0 的距离为 1,则 4<r<6,故选 B. 答案 B 9.(2015·淄博模拟)过直线 2x+y+4=0 和圆(x+1) +(y-2) =4 的交点, 并且面积最小 的圆的方程为( )
2 2

26 12 37 2 2 A.x +y + x- y+ =0 5 5 5 26 12 37 2 2 B.x +y + x- y- =0 5 5 5 26 12 37 2 2 C.x +y - x- y+ =0 5 5 5 26 12 37 2 2 D.x +y - x- y- =0 5 5 5 26 2 2 2 解析 将 y=-4-2x 代入(x+1) +(y-2) =4 整理得: 5x +26x+33=0, x1+x2=- , 5

y1+y2=-4-2x1-4-2x2= ,弦长=2

12 5

2 -?
2

?|2+0+0+4|?2 4 5 ? = 5 ,满足条件面积 2 2 +1 ? ?

26 12 37 2 2 最小的圆为两交点的中点为圆心,弦长为直径的圆,故圆的方程为 x +y + x- y+ 5 5 5 =0. 答案 A

二、填空题 10.(2015·山东胶东示范校质量检测)已知直线 y=-x+a 与圆 C:x +y -4x+4y+4=0 相交于 A,B 两点,且△ABC 的面积 S=2,则实数 a=________. 解析 圆 C 的方程可化为(x-2) +(y+2) =4, 所以 C(2, -2), r=2.设∠ACB=θ (0<θ < 1 1 π π ), 则△ABC 的面积 S= ×r×rsin θ = ×2×2sin θ =2, 解得 sin θ =1, 故θ = . 2 2 2 θ 所以△ABC 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形,故圆心到直线的距离 d=rcos = 2. 2 |2+(-2)-a| 由点 C 到直线 x+y-a=0 的距离公式得 d= = 2,整理得|a|=2,故 a 2 =2 或 a=-2. 答案 2 或-2 三、解答题
3
2 2 2 2

?1 ? 11.(2014·长沙 3 月模拟)已知 A? ,0?,点 B 是 y 轴上的动点,过 B 作 AB 的垂线 ?4 ?
l 交 x 轴于点 Q,若AP+AQ=2AB,M(4,0).
(1)求点 P 的轨迹方程; (2)是否存在定直线 x=a, 使得以 PM 为直径的圆与直线 x=a 的相交弦长为定值?若存在, 求出定直线方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 B(0,t),Q(m,0),由题可得 kAB·kBQ=-1,
2

→ →



∴m=-4t , ∴Q(-4t ,0), 1 ? → ? 1 ? → ? 2 设 P(x,y),则AP=?x- ,y?,AQ=?-4t - ,0?, 4 ? ? 4 ? ? → ? 1 ? 2AB=?- ,2t?, ? 2 ? → → → ∵AP+AQ=2AB, 1 ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? ∴?x- ,y?+?-4t - ,0?=?- ,2t?, 4 ? ? 2 ? 4 ? ? ? ∴x=4t ,y=2t, ∴y =x,此即点 P 的轨迹方程. (2)存在.由(1)知,点 P 的轨迹方程是 y =x. 设 P(y ,y),∵M(4,0),则以 PM 为直径的圆的圆心为 T?
2 2 2 2 2

?y +4,y?,以 PM 为直径的圆与 2? ? 2 ?

2

直线 x=a 的相交弦长 L= 2 =2

?y +4-4? +?y-0? -?y +4-a? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
(a-4)(y -a)+
2

2

2

2

2

2

y2
4

=2

?a-15?y2-a(a-4). ? 4? ? ?

15 15 15 若 a 为常数,则对于任意实数 y,L 为定值的条件是 a- =0,即 a= ,此时 L= , 4 4 2 15 15 ∴存在定直线 x= ,使得以 PM 为直径的圆与直线 x= 的相交弦长为定值. 4 4 创新导向题 直线与圆相交弦长问题 12.圆 C:(x-1) +y =25,过点 P(2,-1)作圆的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线 的四边形的面积是( )
4
2 2

A.10 13 C.10 23
2 2

B.9 21 D.9 11

解析 因为圆的方程为(x-1) +y =25,所以圆心坐标为 C(1,0),半径 r=5,因为 P(2, -1)是该圆内一点, 所以经过 P 点的直径是圆的最长弦, 且最短的弦是与该直径垂直的弦. 1 因为|PC|= 2, 所以与 PC 垂直的弦长为 2 25-2=2 23.因此所求四边形的面积 S= × 2 10×2 23=10 23. 答案 C 直线与圆,圆与圆综合求解问题 13.已知点 G(5,4),圆 C1:(x-1) +(y-4) =25,过点 G 的动直线 l 与圆 C1 相交于 E,F 两点,线段 EF 的中点为 C. (1)求点 C 的轨迹 C2 的方程; (2)若过点 A(1,0)的直线 l1 与 C2 相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x +2y+2=0 的交点为 N,求证|AM|·|AN|为定值. (1)解 圆 C1 的圆心为 C1(1,4),半径为 5. → → 设 C(x,y),则C1C=(x-1,y-4),CG=(5-x,4-y), → → 由题设知C1C·CG=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0, 即(x-3) +(y-4) =4. (2)证明 直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx-y-k=0. 由?
? ?kx-y-k=0, ? ?x+2y+2=0
2 2 2 2

得 N?

?2k-2,- 3k ?, ? 2k+1? ?2k+1

y=kx-k ? ? 又直线 C2M 与 l1 垂直,由? 1 y-4=- (x-3) ? k ?
3 4k +2k? ?k +4k+ , 得 M? 2 2 1 + k 1+k ? ? ? 3 1+k → → 2|2k+1| 2 |AM|·|AN|=AM·AN= · 1+k · =6. 2 1+k |2k+1| 即|AM|·|AN|为定值 6.
2 2 2

5


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