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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:1章 反馈练习]


反馈练习
一、选择题 1.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C [解析] 当 a=2 时,直线 2x+2y=0,显然平行于 x+y=1,若直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行,则须满足 a-2=0,得 a=2. 2.(2013· 四川文,4)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x ∈B,则( ) B.? p:?x?A,2x∈B D.? p:?x?A,2x?B )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.? p:?x∈A,2x∈B C.? p:?x∈A,2x?B [答案] C

[解析] 由命题 p:?x∈A,2x∈B 得? p:?x∈A,2x?B. 3.命题 p:x=π 是 y=|sinx|的一条对称轴,q:2π 是 y=|sinx|的最小正周期,下列新命 题: ①p∨q;②p∧q;③? p;④? q.其中真命题有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 由题意知 p 真 q 假,则①④为真命题,故选 C. 4.条件 p:“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍”;条件 q:“直线 l 的斜 率为-2”,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 注意当直线经过原点时,两个截距均为零,斜率值可以任意. 5.(2012· 福建理,3)下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,ex0≤0 a C.a+b=0 的充要条件是 =-1 b [答案] D [解析] 由指数函数的性质知,A 错误. 当 x=3 时,23<32,知 B 错误,由 a=b=0 时 a+b=0,知 C 错误,故选 D. ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

B.1 个 D.3 个

B.?x∈R,2x>x2 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

6.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 a?M,则 b?M C.若 a?M,则 b∈M [答案] D

)

B.若 b?M,则 a∈M D.若 b∈M,则 a?M

[解析] 即原命题的逆否命题,结论的否定 b∈M 作条件,条件的否定 a?M 作结论,故 选 D. 7.“a>b>0”是“a2+b2>2ab”成立的( A.必要不充分条件 C.充分且必要条件 [答案] B [解析] ∵a>b>0,∴a2+b2-2ab=(a-b)2>0, ∴由 a>b>0?a2+b2>2ab, 由 a2+b2>2ab?(a-b)2>0?/ a>b>0,故选 B. ) ) B.充分不必要条件 D.不充分且不必要条件

8.若 a,b 均为非零向量,则“a⊥b”是“|a+b|=|a-b|”的( A.充要条件 C.充分而不必要条件 [答案] A B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

→ [解析] 由 a⊥b,则如图 OABC 是矩形,即可推得|OB|=|a+b|=|a- → b|=|CA|. 反之若|a+b|=|a-b|,平方得 a· b=0, 可推得 a⊥b. 综上可得“a⊥b”是“|a+b|=|a-b|”的充要条件. 9.(2013· 银川一中模拟)有下列命题: ①设集合 M={x|0<x<3}, N={x|0<x<2}, 则“x∈M”是“x∈N”的充分而不必要条件; ②若 p∧q 是假命题,则 p,q 都是假命题;
2 ③命题 P:“?x0∈R,x0 -x0-1>0”的否定? P:“?x∈R,x2-x-1≤0”.

则上述命题中为真命题的是( A.①② C.③ [答案] C [解析]

) B.①③ D.②③

①错误,“x∈M”是“x∈N”的必要而不充分条件;因为“且”命题满足一

假即假,故 p 和 q 至少有一个为假命题,故②错误;由命题的否定的定义可判断③正确,综 上可知只有③为真命题,故选择 C.

1 3 10.如果不等式|x-a|<1 成立的充分非必要条件是 <x< ,则实数 a 的取值范围是( 2 2 1 3 1 3 A. <a< B. ≤a≤ 2 2 2 2 3 1 C.a> 或 a< 2 2 [答案] B [解析] |x-a|<1?a-1<x<a+1, 1 3? 由题意知? ?2,2? (a-1,a+1),则有 故选 B. 11. 设 a、 b、 c 表示三条直线, α、 β 表示两个平面, 则下列命题中逆命题不成立的是( A.已知 c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β B.已知 b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 b⊥a C.已知 b?β,若 b⊥α,则 β⊥α D.已知 b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c [答案] C 3 1 D.a≥ 或 a≤ 2 2

)

?a-1≤2, ? 3 ?a+1≥2.

1

1 3 且等号不同时成立,解得 ≤a≤ , 2 2

)

[解析] A 的逆命题是:已知 c⊥α,若 α∥β,则 c⊥β,真命题;B 的逆命题是已知 b ?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥a,则 b⊥c,是真命题;D 的逆命题是已知 b?α,c?α, 若 b∥c,则 c∥α,是真命题. π ? 2π 12.“θ= ”是“tanθ=2cos? ?2+θ?”的( 3 A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A π ? 2π +θ [解析] 解法一:∵θ= 为方程 tanθ=2cos? 2 ? 的解, ? 3 π ? 2π ∴θ= 是 tanθ=2cos? ?2+θ?成立的充分条件; 3 π ? 8π 又∵θ= 也是方程 tanθ=2cos? ?2+θ?的解, 3 π ? 2π ∴θ= 不是 tanθ=2cos? ?2+θ?的必要条件,故选 A. 3 π ? 解法二:∵tanθ=2cos? ?2+θ?, 1 ∴sinθ=0 或 cosθ=- , 2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π ? ∴方程 tanθ=2cos? ?2+θ?的解集为
? ? 2 ? A=?θ? ?θ=kπ或θ=2kπ±3π,k∈Z , ? ? ?2π? 显然? 3 ? A,故选 A. ? ?

二、填空题 13.命题 p:若 a、b∈R,则 ab=0 是 a=0 的充分条件;命题 q:函数 y= x-3的定 义域是[3,+∞),则“p∨q”、“p∧q”、“? p”中是真命题的为________. [答案] p∨q,? p [解析] p 为假命题,q 为真命题,故 p∨q 为真命题,? p 为真命题. 14.已知 a,b 为两个非零向量,有以下命题: ①a2=b2;②a· b=b2;③|a|=|b|且 a∥b.其中可以作为 a=b 的必要不充分条件的命题是 ________.(将所有正确命题的序号填在题中横线上) [答案] ①②③ [解析] 显然 a=b 时①②③成立,即必要性成立. 当 a2=b2 时,(a+b)· (a-b)=0,不一定有 a=b; 当 a· b=b2 时,b· (a-b)=0,不一定有 a=b; |a|=|b|且 a∥b 时,a=b 或 a=-b,即①②③都不能推出 a=b. 15.已知命题 p:函数 y=-x2+mx+1 在(-1,+∞)上单调递减;命题 q:函数 y=mx2 +x-1<0 恒成立.若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则 m 的取值范围是________. 1 [答案] (-2,- ) 4 m m [解析] 函数 y=-x2+mx+1 图象的对称轴为 x= ,由条件 ≤-1,∴m≤-2,即命 2 2 题 p:m≤-2;
?m<0 ? ∵函数 y=mx2+x-1<0 恒成立,∴? , ?Δ=1+4m<0 ?

1 1 ∴m<- ,∴命题 p:m<- , 4 4 ∵p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真, 1 p 真 q 假时,无解;p 假 q 真时,-2<m<- , 4 1 ∴m 的取值范围是(-2,- ). 4 ? 16. 为激发学生的学习兴趣, 老师上课时在黑板上写出三个集合: A={x| ?x-1 <0}, x

1 B={x|x2-3x-4≤0}, C={x|log x>1}; 然后叫甲、 乙、 丙三位同学到讲台上, 并将“( 2

)”

中的数字告诉他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能确定该数.以下是甲、乙、 丙三位同学的描述: 甲:此数为小于 6 的正整数, 乙:A 是 B 成立的充分不必要条件, 丙:A 是 C 成立的必要不充分条件. 若老师评说三位同学都说得对,则“( [答案] 1 [解析] 1 集合 B={x|-1≤x≤4},集合 C={x|0<x< }.由甲的描述可设括号内的数为 2 )”中的数应为________.

1 a(a>0),故集合 A={x|0<x< }.根据乙、丙的描述可得集合 A、B、C 的关系是:C A B, a 1 1 1 故 ∈( ,4],所以 a∈[ ,2).又 a 为正整数,所以 a=1. a 2 4 三、解答题 17.将下列命题改写为“若 p,则 q”的形式.并判断真假. (1)偶数能被 2 整除; (2)奇函数的图象关于原点对称; (3)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角不相等. [解析] (1)若一个数是偶数,则它能被 2 整除.真命题. (2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题. (3)在同圆或等圆中,若两个角是同弧或等弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题. 18.写出命题“x2+x≤0,则|2x+1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它 们的真假. [解析] 逆命题:若|2x+1|<1,则 x2+x≤0 为真. 否命题:若 x2+x>0,则|2x+1|≥1 为真. 逆否命题:若|2x+1|≥1,则 x2+x>0,为假. 19.分别写出由下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的新命题, 并判断新命题的真假. (1)p:正多边形有一个内切圆;q:正多边形有一个外接圆; (2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线互相平分. [解析] (1)p 或 q:正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆. p 且 q:正多边形既有一个内切圆,也有一个外接圆. 非 p:正多边形没有内切圆. ∵p 真 q 真,∴p 或 q,p 且 q 为真,? p 为假.

(2)p 或 q:平行四边形的对角线相等或互相平分. p 且 q:平行四边形的对角线相等且互相平分. 非 p:存在一个平行四边形的对角线不相等. 因为 p 是假命题, q 是真命题, 所以“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题, “非 p” 为真命题. 20.已知 p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0(a>0),若 p 是 q 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. [解析] p:A={x|x<-2 或 x>10},q:B={x|x<1-a 或 x>1+a,a>0},如图.

依题意,p?q,但 q ?/ p,说明 A B,则有 a>0 ? ? ?1-a≥-2 ,且等号不同时成立,解得 0<a≤3. ? ?1+a≤10 ∴实数 a 的取值范围是 0<a≤3.
2 21.设命题 p:?x∈R,x2-2x>a;命题 q:?x0∈R,x0 +2ax0+2-a=0 如果命题“p

或 q”为真,“p 且 q”为假,求 a 的取值范围. [解析] 由命题 p 可知 x2-2x=(x-1)2-1>a 恒成立, ∴a<-1. 由命题 q 可知方程 x2+2ax+2-a=0 有实数根, ∴Δ=(2a)2-4(2-a)≥0, 解得 a≤-2 或 a≥1. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 与 q 一真一假. 当 p 真 q 假时,有-2<a<-1,当 p 假 q 真时,有 a≥1. ∴a 的取值范围是(-2,-1)∪[1,+∞). 22.已知:p:|5-3x|≤1,q:x2+(m-3)x+2-m≤0,若? p 是? q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围. 4 [解析] 由|5-3x|≤1 得-1≤5-3x≤1,即 ≤x≤2. 3 由 x2+(m-3)x+2-m≤0 知(x-1)[x-(2-m)]≤0, 当 2-m=1,即 m=1 时, 不等式 x2+(m-3)x+2-m≤0 的解集为{x|x=1}. 当 2-m>1,即 m<1 时,不等式 x2+(m-3)x+2-m≤0 的解集为{x|1≤x≤2-m}. 当 2-m<1,即 m>1 时,不等式 x2+(m-3)x+2-m≤0 的解集为{x|2-m≤x≤1}.

由题意知 p 是 q 的充分不必要条件, 4 当 m=1 时,{x| ≤x≤2}?{x|x=1},不满足题意,故舍去. 3 4 当 m<1 时,{x| ≤x≤2} {x|1≤x≤2-m}?2≤2-m?m≤0. 3 所以 m≤0 时符合题意. 4 当 m>1 时,{x| ≤x≤2}不可能是{x|2-m≤x≤1}的真子集. 3 综上所述,m 的取值范围是 m≤0.


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