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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第10课时 正态分布


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第十一章 计数原理和概率

第十一章

计数原理和概率

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第10课时

/>正态分布

第十一章

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2012· 考纲下载

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1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用. 2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从 正态分布的随机变量的概率. 3.记住正态总体在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ) 和(μ-3σ,μ+3σ)上取值的概率,并能在一些简单的实际 问题中应用该原则.

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请注意!

正态分布的考察为客观题,考查正态分布曲线的特 点,3σ 原则,难度不大.

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1.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 1 -?x-μ? e 2σ ,x∈(-∞,+∞) 函数 φμ,σ(x)=___________________________ 2πσ
2 2

(其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数)的图像为正态分布密 度曲线,简称正态曲线.

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(2)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴 上方 与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称;
x=μ 处达到峰值 1 ; ③曲线在 σ 2π 1 ④曲线与 x 轴之间的面积为__;

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μ ⑤当 σ 一定时,曲线随着__的变化而沿着 x 轴移动; 越小 ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ____,曲线 越大 越“高瘦”,σ______,曲线越“矮胖”.

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2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 若对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足
φμ,σ(x)dx P(a<X≤b)=_____________,则称 X 的分布为正态
X~N(μ,σ2) 分布,记作________________.
?b ? ? ?a

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(2)正态分布的三个常用数据
0.6826 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=________; 0.9544 ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=________;

③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974

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1.(课本习题改编)把一正态曲线 C1 沿着横轴方向向 右移动 2 个单位, 得到一条新的曲线 C2, 下列说法不正确 的是( )

A.曲线 C2 仍是正态曲线 B.曲线 C1,C2 的最高点的纵坐标相等

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C. 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的方差大 2 D. 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的均值大 2
答案 C

解析 只改变均值,不改变方差,所以选 C.

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1 -?x-μ? 2.正态分布函数 f(x)= e 2σ .其中 μ<0 的图像 2πσ
2 2

可能为(

)

答案 A

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解析 ∵f(x)图像的对称轴为 x=μ. ∴由图像知选项 A 适合.

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3.若随机变量 ξ 的概率分布密度函数是 φμ,σ(x)= 1 2π
?x+2?2 - · 8 e

,x∈R,则 E(2ξ-1)的值等于( B.4 D.-5

)

A.3 C.-4
答案
解析

D
∵Eξ=μ=-2,∴E(2ξ-1)=2Eξ-1=-5.

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4.设 ξ~N(0,1),且 P(ξ<1.623)=p,那么 P(- 1.623≤ξ≤0)的值是( A.p C.p-0.5
答案 C

) B.-p D.0.5-p

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解析 ∵P(ξ≥1.623)=1-p, 1 1 ∴P(-1.623≤ξ≤0)=2[1-2P(ξ≥1.623)]=2[1-2(1 -p)]=p-0.5.

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5.(2011· 湖北理)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A.0.6 C.0.3
答案 C

)

B.0.4 D.0.2

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解析 因为 μ=2,所以 P(ξ<4)=1-P(ξ≥4)=0.8, 1 可知 P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,所以 P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<4) 1 = ×(1-2×0.2)=0.3. 2

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题型一

正态分布的性质

例 1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且 该函数的最大值为 1 4 . 2π

(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; (2)求正态总体在(-4,4]内的概率.

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【解析】

(1)由于该正态分布的概率密度函数是一

1 个偶函数,所以其图像关于 y 轴对称,即 μ=0.由 = 2πσ 1 ,得 σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式 2π· 4 是

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φμ,σ(x)=

1 4



x2 - e 32

,x∈(-∞,+∞).

(2)P(-4<X≤4)=P(0-4<X≤0+4) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826.

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探究 1

解决此类问题的关键是正确理解函数解析

式与正态曲线的关系, 掌握函数解析式中参数的取值变化 对曲线的影响.

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思考题 1 已知某种零件的尺寸 ξ(单位:mm)服从正 态分布,其正态曲线在(0,80)上增函数,在(80,+∞)上 是减函数,且 f(80)= 8 1 2π .

(1)求概率密度函数; (2)估计尺寸在 72 mm~88 mm 间的零件大约占总数 的百分之几?

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【解析】 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在 (80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线 x=80 对 称,且在 x=80 处取得最大值. 1 1 因此得 μ=80, = ,所以 σ=8. 2π· 8 2π σ 1 故密度函数解析式是 φμ,σ(x)= 8 2π
?x-80?2 - 128 e

.

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(2)由 μ=80,σ=8,得 μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88, 所以零件尺寸 ξ 位于区间(72,88)内的概率是 0.6826. 因此尺寸在 72 mm~88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%.

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题型二
例 2

服从正态分布的概率计算

(1)(2012· 衡水调研卷)设随机变量 X~N(1,32),且

P(X≤0)=P(X>a-6),则实数 a 的值为________.

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【解析】 依题意得随机变量 X 的概率密度曲线关 0+?a-6? 于直线 x=1 对称;又由 P(X≤0)=P(X>a-6)得 2 =1,a=8.
【答案】 8

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(2)(2012· 广州调研)已知随机变量 x 服从正态分布 N(μ,σ2),且 P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-σ<x≤μ +σ)=0.6826,若 μ=4,σ=1,则 P(5<x<6)等于( A.0.1358 C.0.2716 B.0.1359 D.0.2718 )

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【解析】 由题知 x~N(4,1),作出相应的正态曲线, 如图,依题意 P(2<x≤6)=0.9544,P(3<x≤5)=0.6826, 即曲边梯形 ABCD 的面积为 0.9544,曲边梯形 EFGH 的 面积为 0.6826,其中 A、E、F、B 的横坐标分别是 2、3、 5、6,由曲线关于直线 x=4 对称,可知曲边梯形 FBCG 0.9544-0.6826 的面积为 =0.1359,即 P(5<x<6)=0.1359, 2 故选 B.

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【答案】

B

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探究 2 法:

关于正态总体在某个区间内取值的概率求

(1)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ -3σ<X≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面 积为 1.

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思考题 2 (2012· 郑州质测)已知随机变量 ξ 服从正态 分布 N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤-2)等于( A.0.16 C.0.68 B.0.32 D.0.84 )

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【解析】 ∵ξ~N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.84, ∴P(ξ≤-2)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=0.16,故选 A.
【答案】 A

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题型三
例 3

正态分布的应用

设在一次数学考试中,某班学生的分数服从 X~

N(110,202),且知满分 150 分,这个班的学生共 54 人.求这个 班在这次数学考试中及格(不小于 90 分)的人数和 130 分以上 的人数. 【思路】 要求及格的人数,即求出 P(90≤X≤150),而 求出概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式, 然后 利用对称性求解.
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【解析】 因为 X~N(110,202), 所以 μ=110,σ=20. P(110-20<X≤110+20)=0.6826. 所以,X>130 的概率为 1 (1-0.6826)=0.1587. 2

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所以,X≥90 的概率为 0.6826+0.1587=0.8413. 所以及格的人数为 54×0.8413≈45(人),130 分以上 的人数为 54×0.1587≈9(人).
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探究 3 正态分布的特点可结合图像记忆, 并可根据 μ 和 σ 的不同取值得到不同的图像,特别地,当 μ=0 时, 图像关于 y 轴对称.

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思考题 3 在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从一 个正态分布,即 ξ~N(90,100). (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(70,110)上的概率是多 少? (2)若这次考试共有 2000 名考生,试估计考试成绩在 (80,100)间的考生大约有多少人?

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【解析】 ∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ= 100=10. (1)由于正态变量在区间(μ-2σ, μ+2σ)内取值的概率 是 0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ +2σ=90+2×10=110, 于是考试成绩 ξ 位于区间(70,110) 内的概率就是 0.9544.

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(2)由 μ=90,σ=10,得 μ-σ=80,μ+σ=100. 由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内的取值的概率是 0.6826,所以考试成绩 ξ 位于区间(80,100)内的概率是 0.6826.一共有 2000 名考生, 所以考试成绩在(80,100)间的 考生大约有 2000×0.6826≈1365(人).

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1 . 熟 练 地 掌 握 正 态 密 度 曲 线 的 解 析 式 f(x) =
?x-μ? 1 - · 2σ ,x∈R.注意结构特点,特别是参数 σ 的一致 e 2π· σ
2 2

性. 2.理解正态曲线的形状特征,如对称轴、顶点变化 趋势等.

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3.若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. 4.在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是 把正态分布的两个重要参数 μ,σ 求出,然后确定三个区 间(范围): (μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)与已 知概率值进行联系求解.
第十一章 第10课时


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