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课时限时检测60


2015 新课标高考总复习

数 学(理) 课时限时检测(六十) (时间:60 分钟 二项式定理

满分:80 分)命题报告 题号及难度

考查知识点及角度 通项公式及应用 二项展开式的系数与二项式系数 二项式定理的应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

基础 1,3,7 2,5 4

/>
中档 8,10 6,9

稍难

11,12

2? ? 1.(2013· 江西高考)?x2-x3?5 展开式中的常数项为( ? ? A.80 B.-80 C.40

)

D.-40

? 2 ?r ?-x3? =Cr 【解析】 设展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr (x2)5-r· x10-2r· (-2)r· x 5· 5· ? ?
-3r

=Cr (-2)r· x10-5r.若第 r+1 项为常数项,则 10-5r=0,得 r=2,即常数项 T3 5·

2 =C2 5(-2) =40.

【答案】

C

2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若 a1+a2+…+an=63,则展开式中系数 最大的项是( A.15x2 【解析】 ) B.20x3 C.21x3 D.35x2

令 x=1,得 2n=a0+a1+a2+…+an,

∵a0=C0 n=1,且 a1+a2+…+an=63, ∴2n=64,即 n=6, 则(1+x)n 的展开式有 7 项,展开式中系数最大的项是第 4 项,
3 3 T4=C3 6x =20x ,故选 B.

【答案】

B )

2? ? 3. 若二项式? x- x?n 的展开式中第 5 项是含 x2 的项, 则自然数 n 的值是( ? ? A.12 【解析】 B.16 C.8 D.10

2? n n-4 ? ?- x?4=24C4 T5=C4 · n( x) nx -6, 2 ? ?
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2015 新课标高考总复习

数 学(理)

n 依题意2-6=2,n=16. 【答案】 B )

2 2 n n 4.若 C1 nx+Cnx +…+Cnx 能被 7 整除,则 x,n 的值可能是(

A.x=4,n=3 C.x=5,n=4

B.x=4,n=4 D.x=6,n=5

2 2 n n n 【解析】 C1 nx+Cnx +…+Cnx =(1+x) -1,根据选项提供的数据检验知,

当 x=5,n=4 时,二项式能被 7 整除. 【答案】 C )

5.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则 a6=( A.112 【解析】 B.28 (x-1)8=[(x+1)-2]8 C.-28 D.-112

=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,
2 2 ∴a6=C2 8(-2) =4C8=112.

【答案】

A

6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最 大值为 a, (x+y)2m A.5 【解析】 ∴a=Cm 2m.
+1 同理,b=Cm 2m+1. +1 ∵13a=7b,∴13· Cm Cm 2m=7· 2m+1. +1

展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b, 则 m=( B.6 C.7 D.8

)

(x+y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 Cm 2m,

?2m?! ?2m+1?! ∴13· =7· . m!m! ?m+1?!m! ∴m=6. 【答案】 B

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7 . (2013· 四川高考 ) 二项式 (x + y)5 的展开式中,含 x2y3 的项的系数是 ________.(用数字作答) 【解析】
5-r r (x+y)5 展开式的通项是 Tr+1=Cr y, 5x

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2015 新课标高考总复习
2 3 2 3 令 r=3 得 T4=C3 5x y =10x y ,

数 学(理)

∴二项式(x+y)5 展开式中含 x2y3 项的系数是 10. 【答案】 10

8.(1-2x)5(1-3x)4 的展开式中按 x 的升幂排列的第 2 项等于________. 【解析】
1 (1-2x)5(1-3x)4=[1+C1 5(-2x)+…][1+C4(-3x)+…],

1 按 x 的升幂排列的第 2 项为 x 的一次项,它的系数为 C5 (-2)+C1 4(-3)=-

22,即展开式中按 x 的升幂排列的第 2 项等于-22x. 【答案】 -22x

9 . 若 (1 + x + x2)6 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 , 则 a2 + a4 + … + a12 = ________ . 【解析】 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a12=36,令 x=-1,则

a0-a1+a2-…+a12=1, 36+1 ∴a0+a2+a4+…+a12= 2 . 36+1 令 x=0,则 a0=1,∴a2+a4+…+a12= 2 -1=364. 【答案】 364

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 1 3 10.(10 分)已知二项式( x+ x)n 的展开式中各项的系数和为 256. (1)求 n;(2)求展开式中的常数项. 【解】
0 1 2 n (1)由题意得 Cn +Cn +Cn +…+Cn =256,

∴2n=256,解得 n=8. (2)该二项展开式中的第 r+1 项为 8-4r 3 8-r ?1?r ? x? =Cr Tr+1=Cr · x 3 , 8( x) 8· ? ? 8-4r 2 令 3 =0,得 r=2,此时,常数项为 T3=C8 =28. 3 11.(12 分)已知( x+x2)2n 的展开式的二项式系数的和比(3x-1)n 的展开式 1? ? 的二项式系数的和大 992,求?2x-x?n 的展开式中二项式系数最大的项. ? ?

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数 学(理)

【解】 =4n,

3 (1)令 x=1,则( x+x2)2n 的展开式各项系数之和为 f(1)=(1+1)2n

(3x-1)n 的展开式中各项的二项式系数之和为 2n,由题意知 4n-2n=992. ∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0, ∴2n=-31(舍)或 2n=32,∴n=5. 由于 n=5 为奇数,所以展开式中二项式系数最大项为中间两项,它们是 T3
-1 3 3 2 -1 =C2 52 x=80x,T4=-C52 x =-40x .

12.(13 分)设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)a1+a3+a5; (3)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2. 【解】 设 f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,

则 f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1, f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243. (1)∵a5=25=32, ∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31. (2)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5), 244 ∴a1+a3+a5= 2 =122. (3)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 =(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5) =f(1)×f(-1)=-243.

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