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数学必修2 第四章 圆与方程教案


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第四章 圆与方程
错误!未找到引用源。4.1.1

圆的标准方程

三维目标:
知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程 解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程:
1、情境设置:
在直角坐标系中, 确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形, 确定它的要素又是 什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是 否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:

2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都是常数, r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由
2 2 两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r ①

化简可得: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2
6

2



4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为圆的方程,得出结论。
2 2 2

方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究
例(1) :写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这

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个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

例(2) ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程 : 师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 可知,要确定圆的标准方程,可用待

C 的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) , 由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上, 因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 (教师板书解题过程。 )
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2) 、例(3)可得出 ? ABC 外接圆的标准方程的两 种求法: ①、根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.

练习:课本 p127 第 1、3、4 题 提炼小结:

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1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业:课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题

4.1.2 圆的一般方程
三维目标:
知识与技能 :
(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特 征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定

系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解 决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新, 勇于探索。

教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确
定方程中的系数,D、E、F.

教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具:多媒体、实物投影仪
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教学过程:
课题引入:
问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦, 得用直线的知识解决又有其简单的局限性, 那么这个问题 有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究:
请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得
2 2 2

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x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程是圆的方程.



反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?
E D ,- )为圆 2 2

(1)当 D2+E2-4F>0 时,方程②表示(1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以(心,
1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2

(2) D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 当 方程只有实数解 x ? ?

D E E D ,y ? ? , 即只表示一个点 (- , ) ; 2 2 2 2
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2 2 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形

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综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆

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只有当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,它表示的曲线才是圆,我们把形如 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆
2 的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y ? 4 2
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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的 方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆 的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的

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判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x2 ? 4 y2 ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这里的

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出 三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
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解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程, 可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0
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∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0

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r?

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2

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得圆心坐标为(4,-3). 或将 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,从而求出圆的 半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。
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2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线段 AB 的 2

中点 M 的轨迹方程。
2 分析: 如图点 A 运动引起点 M 运动, 而点 A 在已知圆上运动, A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y ? 4 。 点 2

建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

3? ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4, 且M是线段AB的重点,所以
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
2



因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上 运 动 , 所 以 点 A 的 坐 标 满 足 方 程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 , 即
2

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? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 ? y0 2 ? 4


2

把①代入②,得

p130
2 2 3 3 ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 ? ? ? ? 2? ? 2? ?

2

2

?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 小结 : 1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆)
2 2
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2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
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课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题

4.2.1
一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类;

直线与圆的位置关系

(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;

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(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心 (? 直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 3、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点: 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学设想 问 题 设计意图 启发学生由 图形获取判断直 线与圆的位置关 系的直观认知, 引 入新课. 2.直线与圆的位置关系有哪 几种呢? 得出直线与 圆的位置关系的 师:引导学生利用类比、归纳 的思想,总结直线与圆的位置关系 师生活动 师:让学生之间进行讨论、交 流, 引导学生观察图形, 导入新课. 生: 看图, 并说出自己的看法.
D E , ? )到 2 2

1.初中学过的平面几何中, 直线与圆的位置关系有几类?

几何特征与种类. 的种类,进一步深化“数形结合” 的数学思想. 问 题 设计意图 师生活动 生:观察图形,利用类比的方 法,归纳直线与圆的位置关系. 3.在初中,我们怎样判断直 线与圆的位置关系呢?如何用直 线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢? 使学生回忆 师:引导学生回忆初中判断直

初中的数学知识, 线与圆的位置关系的思想过程. 培养抽象概括能 力. 生:回忆直线与圆的位置关系 的判断过程.

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4.你能说出判断直线与圆的 位置关系的两种方法吗?

抽象判断直 线与圆的位置关

师:引导学生从几何的角度说 明判断方法和通过直线与圆的方程

系的思路与方法. 说明判断方法. 生:利用图形,寻找两种方法 的数学思想. 5.你能两种判断直线与圆的 位置关系的数学思想解决例 1 的问 题吗? 体会判断直 线与圆的位置关 系的思想方法, 关 注量与量之间的 关系. 6.通过学习教科书的例 1,你 能总结一下判断直线与圆的位置 关系的步骤吗? 使学生熟悉 判断直线与圆的 位置关系的基本 步骤. 生:阅读例 1. 师;分析例 1,并展示解答过 程;启发学生概括判断直线与圆的 位置关系的基本步骤,注意给学生 留有总结思考的时间. 生:交流自己总结的步骤. 师:展示解题步骤. 7.通过学习教科书上的例 2, 你能说明例 2 中体现出来的数学思 想方法吗? 进一步深化 “数形结合” 的数 学思想. 师:指导学生阅读并完成教科书上 的例 2,启发学生利用“数形结合” 的数学思想解决问题. 生:阅读教科书上的例 2,并完成 第 137 页的练习题. 问 题 设计意图 明确弦长的 运算方法. 师生活动 师:引导并启发学生探索直线 与圆的相交弦的求法. 生:通过分析、抽象、归纳, 得出相交弦长的运算方法. 9.完成教科书第 136 页的练 习题 1、2、3、4. 巩固所学过 的知识, 进一步理 解和掌握直线与 圆的位置关系. 师:引导学生完成练习题. 生:互相讨论、交流,完成练 习题. 师:指导学生阅读教科书上的 例 1. 生: 新闻记者教科书上的例 1, 并完成教科书第 136 页的练习题 2.

8.通过例 2 的学习,你发现 了什么?

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10.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过直线与圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何求出直线与圆的相交弦长? 作业:习题 4.2A 组:1、3.

4.2.2
一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解圆与圆的位置的种类;

圆与圆的位置关系

(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长; (3)会用连心线长判断两圆的位置关系. 2、过程与方法 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 3、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点: 重点与难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系. 三、教学设想 问 题 设计意图 结合学生已 有知识以验, 启发 学生思考, 激发学 师生活动 教师引导学生回忆、举例,并 对学生活动进行评价;学生回顾知 识点时,可互相交流.

1.初中学过的平面几何中, 圆与圆的位置关系有几类?

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生学习兴趣. 2.判断两圆的位置关系,你 有什么好的方法吗? 引导学生明 确两圆的位置关 系, 并发现判断和 解决两圆的位置 问 题 设计意图 关系的方法. 教师引导学生阅读教科书中的 相关内容,注意个别辅导,解答学 生疑难,并引导学生自己总结解题 的方法. 师生活动 学生观察图形并思考,发表自己的 解题方法. 3.例 3 你能根据题目,在同一个直角 坐标系中画出两个方程所表示的 圆吗?你从中发现了什么? 4.根据你所画出的图形,可 以直观判断两个圆的位置关系.如 何把这些直观的事实转化为数学 语言呢? 进一步培养 学生解决问题、 分 析问题的能力. 利用判别式 来探求两圆的位 置关系. 5.从上面你所画出的图形, 你能发现解决两个圆的位置的其 它方法吗? 进一步激发 学生探求新知的 精神,培养学生 培养学生 “数 教师应该关注并发现有多少学

形结合”的意识. 生利用“图形”求,对这些学生应 该给予表扬.同时强调,解析几何 是一门数与形结合的学科. 师: 启发学生利用图形的特征, 用代数的方法来解决几何问题. 生:观察图形,并通过思考, 指出两圆的交点,可以转化为两个 圆的方程联立方程组后是否有实数 根,进而利用判别式求解. 师:指导学生利用两个圆的圆 心坐标、半径长、连心线长的关系 来判别两个圆的位置. 生:互相探讨、交流,寻找解 决问题的方法,并能通过图形的直 观性,利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径.

6.如何判断两个圆的位置关 系呢?

从具体到一 般地总结判断两 个圆的位置关系 的一般方法.

师:对于两个圆的方程,我们 应当如何判断它们的位置关系呢? 引导学生讨论、交流,说出各 自的想法,并进行分析、评价,补 充完善判断两个圆的位置关系的方 法.

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7.阅读例 3 的两种解法,解 决第 137 页的练习题.

巩固方法, 并 培养学生解决问 题的能力.

师:指导学生完成练习题. 生:阅读教科书的例 3,并完成第 137 页的练习题. 师生活动 师:引导并启发学生相交弦所 在直线的方程的求法. 生:通过判断、分析,得出相 交弦所在直线的方程.





设计意图 得出两个圆 的相交弦所在直 线的方程.

8.若将两个圆的方程相减, 你发现了什么?

9.两个圆的位置关系是否可 以转化为一条直线与两个圆中的 一个圆的关系的判定呢? 10.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考:

进一步验证 相交弦的方程.

师:引导学生验证结论. 生:互相讨论、交流,验证结 论.

(1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系? 作业:习题 4.2A 组:4、7.

4.2.3
一、教学目标 1、知识与技能

直线与圆的方程的应用

(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化 为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 3、情态与价值观

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让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力. 二、教学重点、难点: 重点与难点:直线与圆的方程的应用. 三、教学设想 问 题 设计意图 启发并引导 学生回顾直线与 圆的位置关系, 从 而引入新课. 2.解决直线与圆的位置关系, 你将采用什么方法? 理解并掌握 直线与圆的位置 关系的解决办法 与数学思想. 师:引导学生通过观察图形, 回顾所学过的知识,说出解决问题 的方法. 生:回顾、思考、讨论、交流, 得到解决问题的方法. 问 题 设计意图 指导学生从 直观认识过渡到 数学思想方法的 选择. 2. 师: 分析例 4 并展示解题过程, 启发学生利用坐标法求,注意给学 生留有总结思考的时间. 4.你能分析一下确定一个圆 的方程的要点吗? 使学生加深 对圆的方程的认 识. 5.你能利用“坐标法”解决 例 5 吗? 巩固“坐标 法” ,培养学生分 析问题与解决问 题的能力. 教师引导学生分析圆的方程 中,若横坐标确定,如何求出纵坐 标的值. 师:引导学生建立适当的平面 直角坐标系,用坐标和方程表示相 应的几何元素,将平面几何问题转 化为代数问题. 生:建立适当的直角坐标系, 师生活动 师:指导学生观察教科书上的 图形特征,利用平面直角坐标系求 解. 生: 自学例 4, 并完成练习题 1、 师生活动 师:启发学生回顾直线与圆的 位置关系,导入新课. 生:回顾,说出自己的看法.

1.你能说出直线与圆的位置 关系吗?

3.阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的 问题?

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探求解决问题的方法. 6.完成教科书第 140 页的练 习题 2、3、4. 使学生熟悉 平面几何问题与 教师指导学生阅读教材,并解 决课本第 140 页的练习题 2、 4. 3、 教

代数问题的转化, 师要注意引导学生思考平面几何问 加深 “坐标法” 的 解题步骤. 7.你能说出练习题蕴含了什 么思想方法吗? 反馈学生掌 握 “坐标法” 解决 问题的情况, 巩固 所学知识. 8.小结: (1)利用“坐标法”解决问 问 题 对知识进行 归纳概括, 体会利 设计意图 用 “坐标法” 解决 师:指导学生完成练习题. 生:阅读教科书的例 3,并完成第 师生活动 教师引导学生自己归纳总结所 学生独立解决第 141 页习题 4.2A 第 8 题,教师组织学生讨论 交流. 题与代数问题相互转化的依据.

题的需要准备什么工作? (2)如何建立直角坐标系, 才能易于解决平面几何问题? (3)你认为学好“坐标法” 解决问题的关键是什么? (4)建立不同的平面直角坐 标系,对解决问题有什么直接的影 响呢? 作业:习题 4.2B 组:1、2.

实际问题的作用. 学过的知识, 组织学生讨论、 交流、 探究.


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