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2.2.3


2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1

复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

b
a a

b
O. B

o.
a+b A B
A

a+b
C

>2

复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b

a

-b

a

b

o.
A B A

o.
a-b

B

3

已知非零向量a,作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a a O A a B a C -a -a -a

N

M

Q

P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? (?a) ? (?a) ? (?a) 记作 ? 3a

3a与a的方向相同 3a ? 3 a

? 3a与a的方向相反 ? 3a ? 3 a
4

思考1:如图,设点M为△ABC的重心, uuu uuu r r D为BC的中点,那么向量 BD 与 BC , uuu uuuu r r A D与 DM 分别有什么关系?
A M B D C

5

对于任意一个三角形, 三角形的三条高的交点叫做垂心, 三角形的三条中线的交点所为重心, 三角形的三条角平分线的交点叫内心, 三角形的三条中垂线的交点叫外心

6

思考1:如图,设点M为△ABC的重心, uuu uuu r r D为BC的中点,那么向量 BD 与 BC , uuu uuuu r r A D与 DM 分别有什么关系?
A

uuu 1 uuu r r BD = BC 2

M B D C

uuu r uuuu r A D = - 3DM

7

一、向量的数乘运算的定义: ? ?? 实数?与向量a的积是一个确定的向量,记为? a,
其方向和长度规定如下: ? ? (1) a ? ? a ; ?

? ? (2) 当? ? 0, ? a与a 的方向相同;当? ? 0, ? ? ? ? ? a的方向与a的方向相反;当? ? 0,? a ? 0.
注意:比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
8

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3(2a )

? b ?

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

a

? ? 2a ? 2b

? 2b
9

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? 2a

二、数乘向量的几何意义:

? ?a

? ? 数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 ? ? ? 方向放大或缩短.若 a ? 0 ,当 ? ? 1时,沿 a 的方 ? 向放大了 ? 倍.当〈?〈 时, a 的方向缩短了 倍. ? 0 1 沿 ? ?1 当? ? ?1时,沿 a 的反方向放大了? 倍.当 〈?〈0时, ? 沿 a 的反方向缩短了 ? 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
10

三、向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,

(1)(? a ) ? ( ?? )a; ?

?

?

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? 特别地:(? ?) ? ? ?a a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 11

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

例1:计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )

? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c

(4)(t1 ? t 2 )(c ? b) ? (t1 ? t 2 )(c ? b)

? 2t1 b ? 2t 2 c

12

uuu r uuu r 思考2:若存在实数λ ,使 A B = l BC , 则A、B、C三点的位置关系如何? uuu r uuu r A B = l BC A、B 、C 共线
思考3:如图,若P为AB的中点,则 uuu uuu r uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何?
O

r uuu 1 uuu uuu r r OP = (OA + OB ) 2
A
P B
13

定理 向量

? ? 有且仅有一个实数 ? ,使得 b ? ? a .
例2.如图:已知 AD ? 3 ? AB , DE ? 3BC , 试判断 AC 与 AE 是否共线.
E

? b

与非零向量

? a

共线

?

解:? AE ? AD ? DE ? 3 AB ? 3 ? BC

C A B D
14

? 3?AB ? BC ?

? 3 ? AC
∴ AC与 AE 共线.

例3: 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。 提示:设AB = a BC = b

D

C

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2

N A M B

15

练习

? (1).设 a

是非零向量,? 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 ? ? a 的方向相反 C. ? a ? a
2

的方向相同 D. ? a ? ? a B. a与? a (2).下列四个说法正确的个数有( C ).
? 对于实数 和向量a、 m b ,恒有m(a ? b ? ma ? mb; ) ? 对于实数 、n和向量a m ,恒有 m ? n)a ? ma ? na; ( ? 若ma ? mb(m ? R),则有a ? b; ? 若ma ? na(m、n ? R), a ? 0, 则有m ? n;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

16

例4:若

? ? 其中a , b

3m ? 2n ? a

m ? 3n ? b ?? ? 是已知向量,求 m , n

分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过 解方程组获得

解:记 3m ? 2n

? a ①, ? 3n ? b m


2 1 a ? b, 5 5 2 1 b? a 5 5
17

3②得 3m ? 9n ? 3b ③
3 2 1 3 ①-③得 n ? 11 a ? 11 b, ? m ? 11 a ? 11 b

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

例5 如图所示,已知 OA ' ? 3OA , A ' B ' ? 3 AB , 说明 向量 OB 与 OB 的关系.
'

B

'

解: 因为 OB' ? OA' ? A' B'

B

? 3OA ? 3 AB
? 3(OA? AB)

o A

A

'

? 3OB 所以, ' 与OB 共线同方向,长度是OB 的3倍 OB 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?
18

练习

1. 在?ABC 中,设D为边BC的中点,求证:
解:因为

1 (1) AD ? ( AB ? AC ) (2)3AB ? 2BC ? CA ? 2 AD 2
AD ? AB ? BD



1 ? AB ? BC 2

1 1 ? AB ? ( AC ? AB ) ? ( AB ? BC ) 2 2

(2) 原式左边 ?







AB ? 2 AB ? 2BC ? CA ? AB ? 2 AC ? CA

? AB ? AC ? 2 AD ? 右边
所以,所证等式成立
19


B D

解2: 过点B作BE,使 BE ? AC 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中 点,则D也是AE中点.

C 由向量加法平行四边形法则有

E

AB ? AC ? AE ? 2 AD 1 ? AD ? ( AB ? AC ) 2
20

例6: 如图,在 ?OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA ? a, ? b, 请用

a, b表示向量 , . OC DC

B

?D b ?E A 的联系,为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a, b

a

解:因为A是BC的中点,所以

O

C

2 2 5 DC ? OC ? OD ? OC ? OB ? 2a ? b ? b ? 2a ? b 3 3 3
21

1 OA ? (OB ? OC ), 即OC ? 2OA ? OB ? 2a ? b. 2

练习
1 (1) D是?ABC 中BC 边上一点,且 BD ? BC ,设 AB ? a, AC ? b, 3 A 则AD等于 C ) (

1 A. ( a ? b) 3 1 C. (2a ? b) 3

1 B. (b ? a ) 3 1 D. ( 2b ? a ) B 3

D

C

(2) 在平行四边形ABCD中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC,M为BC的

1 1 中点,则 MN 等于______ b ? a? 4 4
分析:由

1 所以 AN ? 3NC , 得4 AN ? 3 AC ? (a ? b)AM ? a ? b, 3 , 2 3 1 1 1 MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 22 4 2 4 4

课堂小结:
一、①λ

a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa

②向量共线定理

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

直线AB∥直线CD
23

AB与CD不在同一直线上

作业:

P91 9、12、13

24


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