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归纳推理 (1)


§1 归纳与类比

1.1 归纳推理

1

历史上,人们曾经有过制造永动机的美好愿
望,希望制造出一种不消耗能量的机器,永无休

止地为人类服务.人们提出过
许多永动机的设计方案.最早 永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的,后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.


2

滚珠永动机

软臂永动机

阿基米德螺旋永动机

磁力型永动机

3

从大量的失败案例中,科学界归纳出了一个结 论:不可能制造出永动机.后来,著名科学家罗蒙诺 索夫提出了能量守恒定律,从理论上说明了制造永 动机是不可能的. 在这里我们用到了数学中的什么原理?请进入 本节的学习!

4

歌德巴赫猜想: 即偶数=素数+素数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个素数之和” 歌德巴赫猜想的提出过程: 3+7=10,3+17=20,13+17=30,

改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 1 000=29+971, 8=3+5, 1 002=139+863, 10=5+5, ? 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ?,

5

这个结论是否正确呢?人们验证了许多偶 数,都满足这个规律,但是至今还没有得 到证明,这个结论仍然是猜想.

6

例1 在一个凸多面体中,试通过归纳猜想其顶点数、 棱数、面数满足的关系.

解:考察一些多面体,如图所示,将这些多面体的
面数(F)、棱数(E)、顶点数(V)列出,得到

表:

7

多面体 三棱锥 四棱锥

面数(F)

棱数(E)

顶点数(V)

五棱锥 三棱柱
五棱柱 立方体 八面体 十二面体

8

多面体 三棱锥 四棱锥

面数(F) 4 5

棱数(E) 6 8

顶点数(V) 4 5

五棱锥 三棱柱
五棱柱 立方体 八面体 十二面体

6 5
7 6 8 12

10 9
15 12 12 30

6 6
10 8 6 20

9

从这些事实中,可以归纳出:F+V-E=2
这就是著名的欧拉公式.
10

例2

如果面积是一定的,什么样的平面图形周长最

小?试猜测结论.

解:考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、
正八边形,它们的周长分别记作p3,p4,p6,p8,可得下表

p3

p4

p6

p8

4.56 4 3.72 3.64 归纳上述结果,可以发现:面积一定的正多边形中,
边数越多,周长越小.于是得到猜测:图形面积一定, 圆的周长最小.
11

思考:上述各例的推理过程中,它们的共同之处是 什么? 提示:在以上各例的推理过程中,它们的共同 之处是:根据一类事物中部分事物具有某种属 性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性.

我们将这种推理方式称为归纳推理.

12

归纳推理的含义 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意

由部分到整体、由 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论

归纳推理的结论不一定成立
13

例如法国数学家费马观察到

2 ? 1 ? 5, 22 2 ? 1 ? 17, 23 2 ? 1 ? 257, 24 2 ? 1 ? 65 537, 2n ? 费马猜想:任何形如 2 ? 1 ( n ? N )
数. 反例:2
25

21

的数都是素

? 1 ? 4 294 967 297 ? 641 ? 6 700 417.
14

点评:由归纳推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必 可靠.因此不一定正确.

1.观察 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52. 1+3+5+?+(2n-1)=n2 你能得出的一般性结论为__________________. 分析:观察各式两边数字特点可得
15

2.(2012·江西高考)观察下列各式:a+b=1, a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则

a10+b10=( C )
A.28 B.76 C.123 D.199

分析:由前几项发现规律,归纳猜想结果.

16

17

回顾本节课你有什么收获?

1.归纳推理的一般思维过程:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

2.归纳推理的特点 由部分到整体、个别到一般的推理;

以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
21

4 、已知数列{an}的第1项a1=1,且 an ?1

an ? 1 ? an

(n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.

an 解:分别把n=1,2,3,4代入 an ?1 ? 得 1 ? an 1 1 1 1 a 2 ? , a 3 ? , a4 ? , a5 ? 2 3 4 5 1 归纳: a n ? n 1 1 ? 1? 取倒数得 解法2 a a
n ?1 n
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