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新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)


新疆师范大学附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={x|y=﹣ M∩N=() A.{x|0<x≤1} },集合 N={y|y=e ,x∈R}(e 是自然对数的底数) ,则
x

B.{x|0<x<1}
2


C.{x|0<x<1}

D.?

2. (5 分)己知 a∈R,则“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)该试题已被管理员删除 4. (5 分)下列命题中正确的是() A.命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1>0” B. 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题: 2 2 C. 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0” D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 5. (5 分)设 a=4 ,b=log40.1,c=0.4 ,则() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b
0.1 0.1 2 2

D.b>c>a

6. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,则该几何体的体积等于()

A.4

B. 3

C. 2

D.

7. (5 分)若向量 与 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2, = + ,则有() A. ⊥ B. ⊥ C. ∥ D. ∥

8. (5 分)如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 ,则? 处的关系式是()

A.y=x

3

B.y=3

﹣x

C.y=3
2

x

D.y=

9. (5 分)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4,则△ POF 的面积为() A. B. C. 2 D.3

10. (5 分)若函数 是() A.(﹣∞,2) B.
2

是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围

C.(0,2)

D.

11. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() B. C. D.

12. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为() A.﹣47 B.﹣48 C.﹣49 D.﹣50

二、填空题(题型注释)
2 2

13. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 z=x +y 的最小值是.

14. (5 分) 若直线 y=kx﹣1 与圆 x +y =1 相交于 P、 Q 两点, 且∠POQ=120° (其中 O 为原点) , 则 k 的值为.

2

2

15. (5 分)定义行列式运算

=a1b2﹣a2b2,将函数 f(x)=

的图象向左平移

t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为. 16. (5 分)在△ ABC 中,∠A=60°,BC= 积为 1,则 AC 边的长为. ,D 是 AB 边上的一点,CD= ,△ CBD 的面

三、解答题(题型注释) 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log4(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,Tn= 小的正整数 n 的值. 18. (12 分)对某校 2014-2015 学年高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名 学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表 和频率分布直方图如下: 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计 M 1 (1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参 加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.
* *

+

+ …+

,求使 Tn≥

成立的最

19. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相 切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 ? =﹣ ,求 k 的值.

21. (12 分)已知函数

,其中 a>0.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若直线 x﹣y﹣1=0 是曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值; 2 (Ⅲ)设 g(x)=xlnx﹣x f(x) ,求 g(x)在区间[1,e]上的最大值. (其中 e 为自然对数的 底数) 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:
2

ρsin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

l 与 C 分别交于 M,N. 24.设函数,f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+2n≥4.

选修题选修 4-l:几何证明选讲 22. (10 分)已知,在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,△ ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2BE. (Ⅰ)求证:BC=2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

新疆师范大学附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={x|y=﹣ M∩N=() A.{x|0<x≤1} },集合 N={y|y=e ,x∈R}(e 是自然对数的底数) ,则
x

B.{x|0<x<1}

C.{x|0<x<1}

D.?

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中 x 的范围确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交集即 可. 解答: 解:由 M 中 y=﹣ ,得到 1﹣x≥0,即 x≤1,

∴M={x|0<x≤1}, x 由 N 中 y=e ,x∈R,得到 y>0,即 N={y|y>0}, 则 M∩N={x|0<x≤1}, 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)己知 a∈R,则“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 若 a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数,可得
2 2

,解得 a=﹣1.即可判断出.

解答: 解:若 a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数,则

2

,解得 a=﹣1.

∴“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”必要也不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义,属于基础题. 3. (5 分)该试题已被管理员删除 4. (5 分)下列命题中正确的是() A.命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1>0” B. 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题: 2 2 C. 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0” D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出原命题的否定判断 A;直接判断原命题的真假得到命题“若 cosx=cosy,则 x=y” 的逆否命题的真假; 写出命题的否命题判断 C; 举例说明命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题判断 D. 解答: 解:命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1≥0”,命题 A 为假命题; 当 cosx=cosy 时,x 与 y 要么终边相同,要么终边关于 x 轴对称, ∴命题“若 cosx=cosy,则 x=y”为假命题,则其逆否命题是假命题,命题 B 为假命题; 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0,命题 C 为真命题; 所有菱形的四边相等, ∴命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题,命题 D 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了原命题、否命题、逆否命题的写法与真 假判断,是中档题. 5. (5 分)设 a=4 ,b=log40.1,c=0.4 ,则() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b
0.1 0.1 2 2 2 2 2 2

2

D.b>c>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数、对数函数的性质求解. 0.1 0 解答: 解:∵a=4 >4 =1, b=log40.1<log41=0, 0.1 0 0<c=0.4 <0.4 =1. ∴a>c>b. 故选:C. 点评: 本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对 数函数的性质的合理运用. 6. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其侧视图是等边三角形,则该几何体的体积等于()

A.4

B. 3

C. 2

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据已知三视图,我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四棱锥,结合三视图 中标识的数据,我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高,代入棱锥体积公式即可得到答案. 解答: 解:由已知三视图我们可得:几何体为四棱锥,棱锥以俯视图为底面以侧视图高为 高 由于侧视图是以 2 为边长的等边三角形,故 h= 结合三视图中标识的其它数据,S 底面= ×(1+2)×2=3 故 V= ×S 底面×h= 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积,其中根据已知三视图,结合简单 几何体的结构特征易判断出几何体的形状,和相关的几何量(底面边长,高)是解答本题的关 键.

7. (5 分)若向量 与 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2, = + ,则有() A. ⊥ B. ⊥ C. ∥ D. ∥

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 求两个向量的数量积 ,利用向量的分配律展开,将向量的平方用向量模的平方

表示,再利用向量的数量积公式求出值;利用向量垂直的充要条件得到判断结论. 解答: 解:∵ ∴ 故选 A 点评: 解决向量的特殊关系问题,一般考虑向量的数量积是否为 0;考虑向量是否存在数乘 关系. = = =1﹣1=0

8. (5 分)如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 ,则? 处的关系式是()

A.y=x

3

B.y=3

﹣x

C.y=3

x

D.y=

考点: 循环结构. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 根据程序框图可知,程序运行时,列出数值 x 的变化情况,从而求出当 x=﹣1 时, 输出的 ,从而选出答案即可. 解答: 解:当 x=3 时,因为 x>0, 所以 x=x﹣2,∴x=1, 即 x=x﹣2,x=﹣1,x=﹣1 时, y= , ∴?代表 3 . 故选 C. 点评: 本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环 结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 9. (5 分)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4,则△ POF 的面积为() A. B. C. 2 D.3 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标, 利用|PF|=4, 求得 P 点的横坐标, 代入抛物线方程求得纵坐标,代入三角形面积公式计算. 解答: 解:由抛物线方程得:抛物线的准线方程为:x=﹣1,焦点 F(1,0) , 又 P 为 C 上一点,|PF|=4,∴xP=3,
2 x

代入抛物线方程得:|yP|=2 ∴S△ POF= ×|0F|×|yP|= .



故选:B. 点评: 本题考查了抛物线的定义及几何性质,熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题 的关键.

10. (5 分)若函数 是() A.(﹣∞,2) B.

是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围

C.(0,2)

D.

考点: 函数单调性的性质;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由函数是单调减函数,则有 a﹣2<0,且注意 2(a﹣2)≤ .

解答: 解:∵函数

是 R 上的单调减函数,



∴ 故选 B 点评: 本题主要考查分段函数的单调性问题,要注意不连续的情况. 11. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() B. C. D.
2

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用导数的几何意义赇 出 f(x)=x +x,从而得到 an=
2

=

=

,由

此利用裂项求和法能求出 S2014. 2 解答: 解:∵f(x)=x +bx,∴f′(x)=2x+b ∵直线 3x﹣y+2=0 的斜率为 k=3, 2 函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,

∴f′(1)=2+b=3,解得 b=1, ∴f(x)=x +x, ∴an= = = , )=1﹣ = ,
2

∴Sn=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ∴S2014= .

故选:B. 点评: 本题考查数列的前 2014 项的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数的 几何意义和裂项求和法的合理运用. 12. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为() A.﹣47 B.﹣48 C.﹣49 D.﹣50 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知列式求出等差数列的首项和公差, 求出前 n 项和, 代入 nSn 后利用导数求最小 值. 解答: 解:设数列{an}的首项为 a1,公差为 dd,则 S10= ① S 联立①②,得 ∴ 令 f(n)=nSnnSn,则 令 f′(n)=0,得 nn=0 或 当 ∴当 . 时,f′(n)<0,
*



.② , . , .

时,f′(n)>0,0<n<

时,f(n)取最小值,而 nn∈N ,又 ff(6)=﹣48,ff(7)=﹣49,

∴当 nn=7 时,ff(nn)取最小值﹣49. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和,考查了利用导数求函数的最值,是中档题. 二、填空题(题型注释)
2 2

13. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 z=x +y 的最小值是 .

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由约束条件作出可行域如图,然后由 z=x +y 的几何意义求其最小值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如,

z=x +y 的最小值为定点 O 到直线 x+y=1 的距离的平方, 等于 .

2

2

故答案为: . 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 14. (5 分) 若直线 y=kx﹣1 与圆 x +y =1 相交于 P、 Q 两点, 且∠POQ=120° (其中 O 为原点) , 则 k 的值为± . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出弦心距 d= ,再由题意可得 cos = = ,求得 k 的值.
2 2

解答: 解:弦心距 d=

=

,再由题意可得 cos

= = =



解得 k=± , 故答案为:± . 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于 基础题.

15. (5 分)定义行列式运算

=a1b2﹣a2b2,将函数 f(x)= .

的图象向左平移

t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为

考点: 矩阵与向量乘法的意义. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由题意求得 ( f x) =﹣2sin (2x﹣ (x+t)﹣ ]为奇函数,可得 2t﹣ ) , 把它的图象变换后对应的函数解析式 y=﹣2sin[2

=kπ,k∈z,由此求得 t 的最小值. = cos2x﹣sin2x=﹣2sin(2x﹣ ) , ],

解答: 解:由题意可得函数 f(x)=

把它的图象向左平移 t(t>0)个单位,得到的图象对应的函数为 y=﹣2sin[2(x+t)﹣ 由于 y=﹣2sin[2(x+t)﹣ ∴t 的最小值为 故答案为: . , ]=﹣sin(2x+2t﹣ )为奇函数,∴2t﹣ =kπ,k∈z.

点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中根据已知中行列式运算 法则及辅助角公式,求出函数的解析式是解答本题的关键. 16. (5 分)在△ ABC 中,∠A=60°,BC= 积为 1,则 AC 边的长为 . ,D 是 AB 边上的一点,CD= ,△ CBD 的面

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ BDC 中,通过三角形的面积,求出 cos∠DCB,由余弦定理求出 cos∠BDC,即可 求解∠DCB,然后在△ ADC 中,由正弦定理可求 AC. 解答: 解:∵BC= sin∠DCB=
2 2

,CD=

,△ CBD 的面积为 1,

sin∠DCB=1,

.cos∠DCB=
2

BD =CB +CD ﹣2CD?CBcos∠DCB=4,BD=2, △ BDC 中,由余弦定理可得 cos∠BDC= ∴∠BDC=135°,∠ADC=45° ∵△ADC 中,∠ADC=45°,A=60°,DC= 由正弦定理可得, , = ,

∴AC= 故答案为:

. .

点评: 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用,解题的关键是熟 练掌握基本知识 三、解答题(题型注释) 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log4(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,Tn= 小的正整数 n 的值. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)n=1 时,易求 a1= ,当 n≥2 时,Sn+ an=1①,Sn﹣1+ an﹣1=1②,①﹣②可 得数列递推式,由此可判断{an}是等比数列,从而可求 an. (Ⅱ)由(1)可求得 bn,利用裂项相消法可求得 Tn,然后可解得不等式 Tn≥ 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1,由 S1+ a1=1?a1= , 当 n≥2 时,Sn+ an=1①,Sn﹣1+ an﹣1=1②, ①﹣②,得 =0,即 an= an﹣1, 得到答案;
* *

+

+ …+

,求使 Tn≥

成立的最

∴{an}是以 为首项, 为公比的等比数列. 故 an= =3 (n∈N ) ; = , =﹣(n+1) , , + ≥ + …+ ?n≥2014, =( )+( )+…+( )= ,
*

(Ⅱ)由(1)知 1﹣Sn+1= bn=log4(1﹣Sn+1)= = Tn=

故使 Tn≥

成立的最小的正整数 n 的值 n=2014.

点评: 本题考查由数列递推式求通项、数列求和、等比数列的概念及不等式,考查学生综 合运用知识解决问题的能力,裂项相消法对数列求和是 2015 届高考考查的重点内容,要熟练 掌握. 18. (12 分)对某校 2014-2015 学年高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名 学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表 和频率分布直方图如下: 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计 M 1 (1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参 加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频数、频率和样本容量的关系,可求 M=40,故 m 值可求,进而求 ;

(2)由(1)可得,参加社区服务的次数不少于 20 次的学生为 5 人,从中任选 2 人,共有 10 种不同的结果,写出这 10 个基本事件,事件“至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内” 的对立事件为“选出的 2 人都在区间[20,25)内”,数出结果数,代入古典概型的概率计算公 式,利用对立事件概率公式来求. 解答: 解: (1)由分组[10,15)内的频数是 10,频率是 0.25 知, 分 因为频数之和为 40,所以 10+25+m+2=40,m=3.p= = 因为 a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以 a= . 4分 =0.125 6分 =0.25,所以 M=40.2

(2)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 3+2=5 人, 设在区间[20,25)内的人为{a,b,c},在区间[25,30)内的人为{e,d}.

则任选 2 人共有(a,b) , (a,c) , (a,e) , (a,d) , (b,c) , (b,e) , (b,d) , (c,e) , (c, d) , (e,d) ,10 种情况,8 分 而两人都在[20,25)内共有(a,b) , (a,c) , (a,e) ,3 种,10 分 至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率 p=1﹣ = . 12 分

点评: 本题考查古典概型以及频率分布直方图的应用,考查计算能力. 19. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 连结 AC1 交 A1C 于点 F, 连结 DF, 则 BC1∥DF, 由此能证明 BC1∥平面 A1CD. (2)由已知得 AA1⊥CD,CD⊥AB,从而 CD⊥平面 ABB1A1.由此能求出三菱锥 C﹣A1DE 的体积. 解答: (1)证明:连结 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点, 连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 不包含于平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解:因为 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, 得∠ACB=90°, ,
2 2


2

,A1E=3,

故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以三菱锥 C﹣A1DE 的体积为: = =1.

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三菱锥的体积的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意空间思维能力的培养.

20. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)过点(1, ) ,且长轴长等于 4.

(Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相 切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 ? =﹣ ,求 k 的值.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (I)由题意长轴长为 4 求得 a 的值,在有椭圆 C: + =1(a>b>0)过点(1, )

建立方程求解即可; (II)由于圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,利用直线与圆相切的 从要条件得到一个等式, 把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想, 根据 立 k 的方程求 k. 解答: 解: (I)由题义长轴长为 4,即 2a=4,解得:a=2, ∵点 在椭圆上,∴ 解得:b =3
2

?

=﹣ 建

椭圆的方程为:



(II)由直线 l 与圆 O 相切,得:

设 A(x1,y1)B(x2,y2)
2 2 2





整理得: (3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0,




2



∴y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2) +m =
2

=



=

∵m =1+k ∴

2

2



解得: ∴

, .

点评: 此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程,还考查了直线方程与椭圆方程联立 之后的整体代换设而不求,还有求解问题时方程的思想.

21. (12 分)已知函数

,其中 a>0.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若直线 x﹣y﹣1=0 是曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g(x)=xlnx﹣x f(x) ,求 g(x)在区间[1,e]上的最大值. (其中 e 为自然对数的 底数) 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (Ⅰ)先求导函数,直接让导函数大于 0 求出增区间,导函数小于 0 求出减区间即 可; (Ⅱ)直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即 可求实数 a 的值; (Ⅲ)先求出 g(x)的导函数,分情况讨论出函数在区间[1,e]上的单调性,进而求得其在区 间[1,e]上的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)′因为函数 ,
2

∴f′(x)=

=

f′(x)>0?0<x<2,f′(x)<0?x<0,x>2, 故函数在(0,2)上递增,在(﹣∞,0)和(2,+∞)上递减.

(Ⅱ)设切点为(x,y) , 由切线斜率 k=1= ,?x =﹣ax+2,①
2 3

由 x﹣y﹣1=x﹣

﹣1=0?(x ﹣a) (x﹣1)=0?x=1,x=±



把 x=1 代入①得 a=1, 把 x= 代入①得 a=1, 把 x=﹣ 代入①得 a=﹣1, ∵a>0. 故所求实数 a 的值为 1 (Ⅲ)∵g(x)=xlnx﹣x f(x)=xlnx﹣a(x﹣1) , ∴g′(x)=lnx+1﹣a,且 g′(1)=1﹣a,g′(e)=2﹣a. 当 a<1 时,g′(1)>0,g′(e)>0,故 g(x)在区间[1,e]上递增,其最大值为 g(e)=a+e (1﹣a) ; 当 1<a<2 时,g′(1)<0,g′(e)>0,故 g(x)在区间[1,e]上先减后增且 g(1)=0,g (e)>0.所以 g(x)在区间[1,e]上的最大值为 g(e)=a+e(1﹣a) ; 当 a>2 时,g′(1)<0,g′(e)<0,g(x)在区间[1,e]上递减,故最大值为 g(1)=0. 点评: 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性,是 2015 届高考的常考题型. 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:
2 2

ρsin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

l 与 C 分别交于 M,N. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用极坐标与普通方程的关系式,可得 C 为抛物线方程,消去参数 t,可得直 线 l 的方程; (2)由|PM|=|t1|,|MN|=|t1﹣t2|,|PN|=|t2|成等比数列,可转化为关于 a 的等量关系求解. 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ) 曲线 C: ρsin θ=2acosθ, 可得 ρ sin θ=2aρcosθ, 它的直角坐标方程为 y =2ax (a>0) ;

,消去 t,可得 x﹣y﹣2=0,

直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0. 4分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 2 t ﹣2(4+a) t+8(4+a)=0 (*) △ =8a(4+a)>0.

设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|. 2 2 由题设得(t1﹣t2) =|t1t2|,即(t1+t2) ﹣4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) ,t1t2=8(4+a)>0,则有 2 (4+a) ﹣5(4+a)=0,得 a=1,或 a=﹣4. 因为 a>0,所以 a=1. 10 分 点评: 本题考查参数方程与极坐标的应用,基本知识的考查. 24.设函数,f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+2n≥4.

考点: 绝对值不等式的解法;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=2,不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5.由绝对值的意义可得﹣1 和 4 到 1、2 的距 离之和正好等于 5,从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5 的解集. (Ⅱ) 由f (x) ≤1 求得 a﹣1≤x≤a+1, 再根据 f (x) ≤1 的解集为[0, 2], 可得 a=1, 再根据 m+2n= (m+2n) ( + )=2+ + ,利用基本不等式证得要证的不等式.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=2,不等式 f(x)≥5﹣|x﹣1|,即|x﹣2|+|x﹣1|≥5. 由绝对值的意义可得,|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到 1、2 的距离之和,而﹣1 和 4 到 1、2 的距离之和正好等于 5, 故|x﹣2|+|x﹣1|≥5 的解集为(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) . (Ⅱ)由 f(x)≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1,求得 a﹣1≤x≤a+1, 再根据 f(x)≤1 的解集为[0,2],可得 a=1. 故有 + =1(m>0,n>0) ,∴m+2n=(m+2n) ( + = 时,等号成立,故 m+2n≥4 成立. )=2+ + ≥4,

当且仅当

点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,属于基础 题. 选修题选修 4-l:几何证明选讲 22. (10 分)已知,在△ ABC 中,D 是 AB 上一点,△ ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2BE. (Ⅰ)求证:BC=2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

考点: 与圆有关的比例线段;弦切角. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)连接 DE,证明△ DBE∽△CBA,即可证明 BC=2BD; (Ⅱ)先求 DE,利用 CD 是∠ACB 的平分线,可得 DA=1,根据割线定理求出 BD. 解答: (Ⅰ)证明:连接 DE,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, 所以∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA, 所以△ DBE∽△CBA,即有 又 AB=2BE,所以 BC=2BD (Ⅱ)由(Ⅰ)△ DBE∽△CBA,知 又 AB=2BE,∴AC=2DE, ∵AC=2,∴DE=1, 而 CD 是∠ACB 的平分线,∴DA=1, 设 BD=x,根据割线定理得 BD?BA=BE?BC 即 x(x+1)= (x+1)[ (x+1)+1],解得 x=1,即 BD=1. …(10 分) , …(5 分) ,

点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.


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