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山东省枣庄市第三中学2015-2016学年高二上学期学情调查(理)数学试题


枣庄三中 2015-2016 学年度高二年级第一学期学情调查 理科数学 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.命题“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 2 ? 0 ”的否定是( 2 A. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 2 ? 0
<

br />)

B. ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 )

C. ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0

2.下列有关命题的说法正确的是(

D.命题“若 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ”的逆命题为真 3.如果等差数列 {an } 中, a4 ? 3 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ( A.35 B.28 C.21 D.14 ) )

4.“ a ? c ? b ? d ”是“ a ? b 且 c ? d ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.抛物线 y ? ax 的焦点坐标是( A. (0,

1 ) 4a

B. (0, ?

1 ) 4a

C. (0, ? )

a 4

D. (0, )

a 4

o sC ? cc o s B a ? s i n 6.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若bc
的形状为( )

A

, 则 ?ABC

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 7.“方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( m ?1 3 ? m



A. 1 ? m ?

3 2

B. 1 ? m ? 2

C. 2 ? m ? 3

D. 1 ? m ? 3

8.双曲线 A.2

y 2 x2 ? ? 1 上的一点 P 到它一个焦点的距离为 4, 则点 P 到另一焦点的距离是 ( 9 16
C.10 或 2 D.14 )



B.10

9.已知直线 mx ? y ? 1 ? 0 交抛物线 y ? x2 于 A、B 两点,则 ?AOB (

A.为直角三角形 B.为锐角三角形 C.为钝角三角形 D.前三种形状都有可能

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 10.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0 表示的平面区域内存在点 P( x0 , y0 ) ,满足 ? y?m ?0 ?

x0 ? 2 y0 ? 2 ,求得 m 的取值范围是(
A. (??, )



4 3

B. (??, )

1 3

C. (??, ? )

2 3

D. (??, ? )

5 3

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知等比数列 {an } 是递增数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,若 a1 , a3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的
2

两个根,则 S6 ? . 12.已知 xy ? ( x ? y ) ? 1 (x,y 为正实数) ,则 x ? y 的最小值为 .

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 13.已知 F1 , F2 为椭圆 25 9

| F2 A | ? | F2 B |? 12 ,则 | AB |?
2

. .

14.若不等式 x ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是 15.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 ?ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? ,则 a 的值为 4

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分)已知命题 P: “ ?? x , 2 , ] 1 [
2 x? 0 a ?

” ,q:

2 “ ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” ,若“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知

sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C .
(1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a ? 1, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S. 18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的通项 an ? ? 项和 Sn .

?6n ? 5, n为奇数 ,求数列 {an } 的前 n n 2 , n 为偶数 ?

a1 ? 19.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 中,
数列 {cn } 满足: cn ? an ? bn . (1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

1 1 ,q ? , 设 bn ? 2 ? o 3 g l 4 4

1 4

* (n? N ) , an

20. (本小题满分 13 分)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆,年销售量为 10000 辆. 本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入 成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x( 0 ? x ? 1 ) ,则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同 时预计年销售量增加的比例为 0.60x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 G: 椭圆 G 于 A、B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1,过点 (m,0) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交 4

参考答案 1-5 BDCBA 11.63 6-10BABAC 13.8 14. ( ??, 2] 15.8

12. 3 ? 2 2

若“ p ? q ”是真命题,则 p 是真命题且 q 是真命题, 即?

?a ? ?2或a ? 1 ,∴ a ? ?2或a ? 1 . a ?1 ?

17.解: (1)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,

sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,
再由正弦定理可得: b ? ac ,所以 a,b,c 成等比数列.
2

(2)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b ? ac ? 2 ,
2

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

7 . 4

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 7 7 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

18.解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? ? ∴ Sn ? 2 ? 2 3 2 1? 4

当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有

n 项, 2

n n (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ? ? ∴ Sn ? 2 ? 2 3 2 1? 4
? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? , n为奇数 ? ? 2 3 所以, S n ? ? . n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) ,n为偶数 ? 2 3 ?
1 n * 4 ∵ bn ? 3log 1 an ? 2 , b1 ? 3log 1 a1 ? 2 ? 1 ,
4 4

19.解: (1)由题意知, an ? ( ) ( n ? N ) ,

∴ bn +1 ? bn ? 3log 1 an ?1 ? 3log 1 an ? 3log 1
4 4 4

an?1 ? 3log 1 q ? 3 , an 4

∴数列 {bn } 的等差数列; (2)由(1)知, an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N * ) ,
n

1 4

1 n * 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 Sn ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 1 n ?1 两式相减得: S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) ? ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 2 4 2 12n ? 8 1 n ?1 ? ( ) (n ? N * ) . ∴ Sn ? ? 3 3 4
∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ( n ? N ) , 20.解: (1)由题意得: y ? [12(1 ? 0.75x) ? 10(1 ? x)] ?10000 ? (1 ? 0.6x) , (0 ? x ? 1) , 整理得: y ? ?6000 x ? 2000 x ? 20000 , (0 ? x ? 1)
2

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须 y ? (12 ?10) ?10000 ? 0 , (0 ? x ? 1) 即 ?6000 x ? 2000 x ? 0 , (0 ? x ? 1) .
2

解得 0 ? x ?

1 1 ,所以投入成本增加的比例应在 (0, ) 范围内. 3 3

21.解(1)由已知得: a ? 2, b ? 1 ,所以 c ? a2 ? b2 ? 3 . 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) .

离心率为 e ?

c 3 . ? a 2

(2)由题意知: | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程为 x ? 1 ,点 A,B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |? 3 . 当 m ? ?1 时,同理可得 | AB |? 3 .

3 3 ) , (1, ? ) , 2 2

? y ? k ( x ? m) ? 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) .由 ? x 2 ,得 ? y2 ? 1 ? ? 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2mx ? 4k 2m2 ? 4 ? 0 .
设 A,B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m 4k 2 m 2 x x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切,得

| km | k ?1
2

? 1 ,即 m2 k 2 ? k 2 ? 1 . 4 3|m| , m2 ? 3

所以 | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

由于当 m ? ?1 时, | AB |? 3 , 所以 | AB |?

4 3|m| , m ? (??, ?1] ? [1, ??) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| 4 3 ? ? 2 ,且当 m ? ? 3 时, | AB |? 2 , 2 m ?3 | m| ? 3 |m|

所以 | AB | 的最大值为 2.


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