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一元二次不等式的解法


课题:一元二次不等式解法(一) 一元二次不等式的解法

一元二次不等式定义:
定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数 ? 是二次的不等式叫做一元二次不等式. ? 形如: 2 2

ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)

问题:如何解一元二次不等式呢?

一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解实
2

际上就是二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

与x轴交点的横坐标。

下面我们来研究如何应用二次函数的图 象以及一元二次方程来解一元二次不等 式。

新课讲解:“三个二次”的关系
对二次函数y=x2-x-6,当x为何值时,y=0?
当x为何值时,y<0? 当x为何值时,y>0?
由图象可知:

当x=-2或x=3时,y=0,即x2-x-6=0; 当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0; 当x<-2或x>3时,y>0,即x2-x-6>0; 若抛物线y=x2-x-6与x轴的交点是(-2,0)与(3,0), 一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2,x2=3
一元二次不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2<x<3} 一元二次不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}.

“三个二次”有怎样的关系?
y = ax2 + bx + c与x轴交点横坐标x1, x2
是 是 是 是 是 是

ax2 +

bx + c = 0 的解x1, x2

ax2 + bx + c < 0的解集 {x|x1< x < x2}端点值

例题讲解:例1 解不等式 2x2-3x-2>0.

1 x1 ? ? , x2 ? 2 2 解:方程2x -3x-2=0的解是 2

1 图象与x轴的交点坐标为: (? ,0), (2,0) 2 2 函数y=2x -3x-2的图象为: 由函数的图象可知
不等式2x2-3x-2>0.的解集为:
? ? 1 ? x x ? ? , 或x ? 2? 2 ? ?

例2.解不等式 4x2-4x+1>0.

1 解:方程4x2-4x+1=0的解是 x1 ? x2 ? 2
1 ( ,0) 图象与x轴的交点坐标为: 2 2
函数y= 4x -4x+1的图象为:

由图象可知不等式的解集是
? 1? ?x x ? ? 2? ?

例3. 已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0 的解集为{x │- 2 <x<3}, 求a-b的值.
分析:二次不等式的解是通过二次方程的 根来确定的, 由此可以理解为 a x2 +bx+6=0 的根为-2,3。

解:由条件可知 : 方程a x2 +bx+6=0的根-2,3 又解在两根之间; ∴a<0 ∵ 6 /a = -2× 3= -6 ∴ a=-1 ∵ -(b /a) = -2+3=1 ∴ b=1 则a-b=-2

例3 . 已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0 的解集为{x │- 2 <x<3}, 求a-b的值. 另解:由条件可知 : 方程 a x2 +bx+6=0的根-2、3 , 代入方程可得:
4a-2b+6=0 9a+3b+6=0 解方程组得: a=-1 b=1 则a-b=-2

a>0
方程: ax2+bx+c=0 的解情况 当⊿>0 时, 方程有两不等 的根 x1 ,x2 当⊿=0 时, 方程有一 根: x0 函数: y=ax2+bx+c 的图象 y 不等式的解集

ax2+bx+c>0

ax2+bx+c<0

x1 o
y

x2 x

{x∣x<x1 {x∣x1<x<x2 } 或 x> x 2 }

{ x∣x≠x0}
o x0 y x

? ?

当⊿<0 时, 方程无解
o x

R

动手实践
1. 课本第78页练习1,1 2. 解下列不等式.
(1)2 x 2 ? 13 x ? 20 ? 0 (3)4 x ? 4 x ? 1 ≤ 0
2

(2)7 x 2 ? 5 x ? 1 ? 0

课堂总结
解方程ax2 + bx + c = 0

画函数y = ax2 + bx + c 简图

由图像写出不等式的解集

再 见


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