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北京西城区2016年高三一模数学(理)试卷


北京市西城区 2016 年高三一模试卷 数
第Ⅰ卷(选择题
合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 0} ,集合 B ? {n | n ? 2k ?1, k ? Z} ,则 A∩B=( (A){-1,1} (B){1,3} (C){-3,-1}
? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ?y ? 2 sin ?



学(理科)2016.4

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符



(D){-3,-1,1,3}
(? 为参数) ,则曲线 C

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 是( )

(A)关于 x 轴对称的图形(B)关于 y 轴对称的图形 (C)关于原点对称的图形(D)关于直线 y ? x 对称的图形 3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( (A) y ? x ? f ( x) (B) y ? xf ( x) (C) y ? x2 ? f ( x) (D) y ? x2 f ( x)
??? ? ??? ? 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =( ? 1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点能构成三



角形,则(



(A) m ? ?4 (B) m ? ?4 (C) m ? 1(D) m ? R 5. 执行如图所示的程序框图,若输入的 A, S 分别为 0, 1, 则输出的 S ? ( (A)4 (B)16 (C)27 (D)36 )

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1 6. 设 x ? (0, ) ,则“ a ? (??, 0) ”是“ log 1 x ? x ? a ”的( 2 2
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件



7. 设函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 ) ,且函数 f ? x ? 的部分 图象如图所示,则有( ) y

3π 5π 7π (A) f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 3 6 3π 7π 5π (B) f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 6 3 5π 7π 3π (C) f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 3 6 4 5π 3π 7π (D) f ( ) ? f (? ) ? f ( ) 3 4 6

O π

12

5π 6

x

8. 如图,在棱长为 a(a > 0) 的正四面体 ABCD 中,点 B1 , C1 , D1 分别在棱 AB , AC , AD 上,且 平面 B1C1D1 // 平面 BCD ,A1 为 D BCD 内一点, 记三棱锥 A1 - B1C1D1 的体积为 V, 设 对于函数 V = f ( x) ,则( ) B1 B C1 D A1

AD1 = x, AD

A D1

2 (A)当 x = 时,函数 f ( x) 取到最大值 3 1 (B)函数 f ( x) 在 ( ,1) 上是减函数 2 1 (C)函数 f ( x) 的图象关于直线 x = 对称 2

C 1 (D)存在 x0 ,使得 f ( x0 ) > VA- BCD (其中 VA- BCD 为四面体 ABCD 的体积) 3

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第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 10.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , a3 ? ?3 , a2 ? a4 ? 5 ,则
an ? ____;记 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 的最小值为____.

z1 ? ____. z2

11.若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近 2 a

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

线相切,则 a ? _____;双曲线 C 的渐近线方程是____. 12.一个棱长为 4 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几 何体的三视图如图所示,则该截面的面积是____. 俯视图

13. 在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等 5 人报名参加了 A, B, C 三个项目的志愿者工作,因工 作需要,每个项目仅需 1 名志愿者,且甲不能参加 A, B 项目,乙不能参加 B, C 项目,那 么共有____种不同的选拔志愿者的方案.(用数字作答) 14. 一辆赛车在一个周长为 3km 的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图 1 反映 了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系. s ( 图 1) ( 图 2) 根 据图 1,有以下四个说法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 在这第二圈的 2.6km 到 2.8km 之间,赛车速度逐渐增加; 在整个跑道中,最长的直线路程不超过 0.6 km; 大约在这第二圈的 0.4 km 到 0.6 km 之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶; 在图 2 的四条曲线(注:S 为初始记录数据位置)中,曲线 B 最能符合赛车的运动轨迹. s C s s s A B

D

其中,所有正确说法的序号是_____.

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三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 设 A ? (Ⅰ)若 a ? 7 ,求 b 的值; (Ⅱ)求 tan C 的值.

π , sin B ? 3sin C . 3

16. (本小题满分 13 分) 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试, 现从中随机抽取 40 名学生的测试成 绩,整理数据并按分数段 [40,50) ,[50, 60) ,[60, 70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 进行分组, 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).

各 12 分 10 数 8 段 6 人 4 数
2

14

? ?

?

? ? ? ?

O

45

55 6575

85

95 ?
?

体育成绩

? (Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” . 已知该校高一年级有

1000 名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生 中随机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率;
[80,90) , [90,100] (Ⅲ) 假设甲、 乙、 丙三人的体育成绩分别为 a, b, c , 且分别在 [70,80) ,

三组中,其中 a,b,c ? N .当数据 a, b, c 的方差 s 2 最小时,写出 a, b, c 的值.(结论不要 求证明)

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n

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17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形, AD //BC , ?BAD ? 90? ,四边形 CC1D1D 为矩形,已知

AB ? BC1 , AD ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 .
(Ⅰ)求证: BC1 // 平面 ADD1 ; (Ⅱ)若 DD1 ? 2 ,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)设 P 为线段 C1 D 上的一个动点(端点除外) ,判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直? 并说明理由. C1 A D D1

B

C

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? xe x ? ae x?1 ,且 f ?(1) ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 2 (k ? 2) 存在两不相等个正实数根 x1 , x2 ,证明:

| x1 ? x2 |? ln

4 . e

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : mx2 ? 3my 2 ? 1(m ? 0) 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)设点 A(3, 0) ,动点 B 在 y 轴上,动点 P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,若
| BA |?| BP | ,求四边形 OPAB 面积的最小值.

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20. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 和 {bn } 的项数均为 m,则将数列 {an } 和 {bn } 的距离定义为 ? | ai ? bi | .
i ?1 m

(Ⅰ)给出数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离; (Ⅱ)设 A 为满足递推关系 an ?1 ?
1 ? an 的所有数列 {an } 的集合,{bn } 和 {cn } 为 A 中的两 1 ? an

个元素,且项数均为 m,若 b1 ? 2 , c1 ? 3 , {bn } 和 {cn } 的距离小于 2016 ,求 m 的最大值; (Ⅲ)记 S 是所有 7 项数列 {an |1≤n≤7, an ? 0 或 1} 的集合, T ? S ,且 T 中任何两个 元素的距离大于或等于 3,证明: T 中的元素个数小于或等于 16.

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2016 年北京市西城区高三一模数学(理)试题答案

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