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两角和与差的余弦公式(公开课)


两角和与差的余弦公式
上大附中 数学组 季风 1.教学目标 (1)知识与技能:掌握两角和与差的余弦公式及其初步应用。 (2)过程与方法:讨论探究,小组交流。 (3)情感、态度与价值观:学会合作交流,成长探究意识。 2.教学重点和难点 : 两角和与差的余弦公式的推导;掌握和应用两角和与差的余弦公式。 3.教学过程 (一)引入
师:在之前的学习中,我们通过单位圆上

角终边的对称和旋转等角度共同研究了多组诱导公式(课件展示) ,
y ( P P') 2kπ+α o 1 x

第一组诱导公式
sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα, tan(2kπ+α)=tanα, cot(2kπ+α)=cotα. (k是整数) P

y

第三组诱导公式
sin(π+α)= sinα, α cos(π+α)= cosα, 1 x P
'

第五组诱导公式
y
π

P

'

2

α

π+α o

α o

P 1 x

tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα.

π 2 π cos( 2 π tan( 2 π cot( 2 sin(

α)=cosα, α)=sinα, α)=cotα, α)=tanα.

y P

第二组诱导公式
sin(-α)= sinα, α o -α 1 x cos(-α)=cosα, tan(-α)= tanα, cot(-α)= cotα. y P'

第四组诱导公式
π-α o P α sin(π α)= sinα, P cos(π α)= cosα, 1 x tan(π α)=tanα, cot(π α)=cotα.
'

第六组诱导公式
y
π 2 +α

P α 1 x

o

P'

π sin( +α)=cosα, 2 π cos( +α)= sinα, 2 π tan( +α)= cotα, 2 π cot( +α)= tanα. 2

师:公式记忆的口诀是? 学生(众) :奇变偶不变,符号看象限。 (1’) 师:很好。可以发现,这些公式都是关于一个角“ ? ”以及特殊角的恒等式。但从更一般的角 度来看,在三角比的计算和化简中,常要用角 ? 、 ? 的三角比来表示( ? + ? )和( ? - ? )

的三角比,比如(板书: ) 师:它们分别称为两角和的正弦、两角差的正弦、两角和的余弦、两角差的余弦,本节课我们先来学习两角差的余 弦展开公式(板书: cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? 。再补标题:两角和与差的余弦公式的探究。 )(1.5’)

sin(α+β)= sin(α β)= cos(α+β)= cos(α β)=

(二)公式证明的学习和讨论
师:请同学们,打开书本至 51 页,仔细阅读该公式的证明,并能复述该段证明。 (5’) 师:请各位同学在学案上,默写出该段证明,并请***同学板演。 (4’) 师:这里有三个问题(PPT)请大家以前后 4 人为一个小组,展开讨论. 1、试概括证明中的主要步骤。 2、试提炼证明中的数学思想。 3、公式结构和记忆方法。 学生和老师:步骤:1、建系、构造单位圆(指出这是重要的构造方法) 、设角及设点,用三角比来表示点的坐标。 2、三角形旋转“ ? ? ” ,构造出角“ ? - ? ” ,设出相应的两点的坐标。 3、距离为不变量,构造等式,化简得出两角差的余弦公式。
1

数学思想:1、数形结合,2、算两次 记忆方法:谐音:哭哭笑笑,前后异号。 (8’) 师:有无其他的想法,请提出来交流。 虽然结果对任意角其实是成立的, 但是证明过程并不对任意角都合适, 比如 ? ? 不能作为三角形的内角,怎么对书本证明做补充呢?(课件展示) 证: (I)如果角 ? 、 ? 的终边在坐标轴上,由诱导公式可知,此时两角差的余弦公式成立。 (II)如果角 ?、? ? ,由书本证明可知,此时两角差的余弦公式成立。 (0,?) (III)如果角 ? ? (? ,2? ), ? ? ,因为 ? ? ? ? (0, ? ) ,由(II)可知,角 ? ? ? , ? 适合两角差的余弦公式 (0, ?)

7? ? ?? , , 由于 ? ? ? ? ? , 4 3

成立,

cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ,可知此时两角差的余弦公式成立。 ? cos(? ? ? ) ? cos(? ) cos ? ? sin(? ) sin ?

(IV)如果角 ?、? ? (? ,2? ) ? ? - ? ? (0, ? ), ? - ? ? (0, ? ) ,由(II)可知,

cos[(? ? ? ) ? ( ? ? ? )] ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) , 可知此时两角差的余弦公式成立。 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
(V)如果角 ?、? ? [0,2? ] ,则必存在整数 k , n, 使得? ? 2k?、? ? 2n? ? [0,2? ] ,由(I) (II) (III) (IV)可 知,此时两角差的余弦公式成立。 综上所述, cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? 对任意角 ? 、 ? 都成立。 师:现在我们可以放心使用“两角差的余弦公式” 。 (10’)

(三)公式应用和练习
1、在两角差的余弦公式中,用 ? ? 代替 ? .可得到两角和的余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 2、例 1、利用两角和与差的余弦公式,求 cos15? 、 cos75? 的值.

解: cos15? ?

6? 2 、 cos75? ? 4

6? 2 4

[说明]可以选择不同的角及公式,例如, cos15? ? cos(60? ? 45?) 、

cos15? ? cos(45? ? 30?) ; cos75? ? cos(120? ? 45?) 、 cos75? ? cos(45? ? 30?)
例 2、化简: cos? cos(60? ? ? ) ? sin ? sin(60? ? ? )
? 解:原式= cos(? ? 60 ? ? ) = cos 60 ?
?

1 2
A cos(α-β) D β

[说明]两角差的余弦公式逆用. 3、P54 练习 1(1) (2) 、2(1) (2) (3) ,4

(四)小结 (五)作业

思考题:解释无字证明 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 。 B
2

α

1
cosβ sinβ?tanα

C


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